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topologie quotient

   
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#msg1927119 Posté le 01-07-08 à 23:19
Posté par Profilromu romu

Bonsoir,

j'ai quelques soucis avec la topologie quotient:

Dans l'espace euclidien \mathbb{R}^n, on considère la boule unité fermée B[O,1] et la relation d'équivalence \mathcal{R} définie par

x\mathcal{R}y si x=y ou (x,y)\in S^{n-1}\times S^{n-1}.

Je ne vois pas comment montrer que B[O,1]/S^{n-1} est homéomorphe à S^n

Merci pour votre aide
re : topologie quotient#msg1927122 Posté le 01-07-08 à 23:41
Posté par ProfilFractal Fractal

Bonsoir

Je pense qu'on peut d'abord montrer que 3$B[0,1]/S^{n-1} est homéomorphe à 3$\mathbb{R}^n\cup\{+\infty\} avec une application strictement croissante qui envoie [0,1[ sur [0,+oo[, puis par projection stéréographique on aura que 3$\mathbb{R}^n\cup\{+\infty\} est homéomorphe à 3$S^n.

Sans garantie.

Fractal
re : topologie quotient#msg1927123 Posté le 01-07-08 à 23:45
Posté par Profilromu romu

bonsoir Fractal,

merci pour cette réponse, je vais suivre ta piste.

re : topologie quotient#msg1927124 Posté le 01-07-08 à 23:47
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Salut romu,

tu quotientes ta boule unité par la relation R en fait?

Je ne comprends pas le sens de ton quotient sinon.
re : topologie quotient#msg1927125 Posté le 01-07-08 à 23:47
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Salut Fractal
re : topologie quotient#msg1927126 Posté le 01-07-08 à 23:50
Posté par ProfilFractal Fractal

Salut Tigweg
Oui, il quotiente la boule unité par la relation R.
Quand on quotiente un espace topologique X par la relation d'équivalence qui consiste à identifier tous les points d'une partie A en un seul, on note souvent l'espace quotient X/A, pour simplifier, la relation d'équivalence étant sous entendue.

Fractal
re : topologie quotient#msg1927127 Posté le 01-07-08 à 23:51
Posté par Profilromu romu

Salut Greg,

oui désolé j'ai oublié de préciser, je quotiente par \mathcal{R} et je note B[O,1]/S^{n-1} l'espace quotient (on identifie tous les points de la sphère).

re : topologie quotient#msg1927128 Posté le 02-07-08 à 00:02
Posté par ProfilTigweg Tigweg

OK, en fait dans ces conditions il vaut mieux considérer l'application de ]-1;1[ dans R définie par       4$\rm f(x)=\tan(\fr{\pi}2.x)  
re : topologie quotient#msg1927129 Posté le 02-07-08 à 00:06
Posté par Profilromu romu

mais pourquoi vous considérez des fonctions réelles alors que le problème se situe dans \mathbb{R}^n, j'ai du mal à saisir le lien
re : topologie quotient#msg1927135 Posté le 02-07-08 à 00:17
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Je retire ce que j'ai dit, Fractal avait raison de se limiter à [0;1[.

Tout vecteur      4$\rm vde        4$\rm B[0;1]      privé de      4$\rm S^{n-1}       s'écrit de manière unique sous la forme    4$\rm x.u      avec      4$\rm || u||=1      et         4$\rm 0\le x<1      .

On pose alors     4$\rm \phi(x.u)=f(x).u      pour tout x entre -1 et 1  et    4$\rm\phi(u)=+\infty

pour tout vecteur u de la sphère-unité.
re : topologie quotient#msg1927138 Posté le 02-07-08 à 00:32
Posté par Profilromu romu

Ok c'est déjà un peu plus clair, merci greg,

je regarde ça plus en détail.

re : topologie quotient#msg1927142 Posté le 02-07-08 à 00:34
Posté par ProfilTigweg Tigweg

C'est Fractal qui a eu toutes les idées, mais avec plaisir!
re : topologie quotient#msg1927144 Posté le 02-07-08 à 00:40
Posté par ProfilTigweg Tigweg

D'ailleurs j'aurais dû écrire (00h17) :

Citation :
On pose alors       4$\rm%20\phi(x.u)=f(x).u         pour tout x entre 0 et 1
re : topologie quotient#msg1927149 Posté le 02-07-08 à 00:49
Posté par ProfilFractal Fractal

Et si vous aimez les grosses formules moches, voici explicitement l'homéomorphisme recherché :

Pour tout 3$(x_1,...,x_n)\in B(0,1)/S^{n-1} on pose 3$S = \Bigsum_{i=1}^nx_i^2 pour simplifier les notations.
Alors 3$f : (x_1,...,x_n)\maps\(\fr{2x_0S(1-S)}{S^3+(1-S)^2},...,\fr{2x_nS(1-S)}{S^3+(1-S)^2},\fr{S^3-(1-S)^2}{S^3+(1-S)^2}\) est un homéomorphisme de 3$B(0,1)/S^{n-1} dans 3$S^n.

Je vous laisse le plaisir de vérifier que f est bien définie, bijective, continue et de réciproque continue

Sauf erreur ^^

Fractal

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