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Calcul de chainette entre deux points

Bonjour,

Après plusieurs recherches (internet et l'ile) je n'ai pas trouvé de réponse à mon problème.

Je cherche à exprimer l'équation d'un cable pendu entre deux points A et B d'un repère soumis à son poids propre.

Ceci ressemble beaucoup à l'équation de la chainette ( Y = k.cosh(X/k) de mémoire) mais je n'arrive pas à exprimer cette équation en fonction des coordonnées des points A et B.
L'équation ci dessus correspond à une chainette centrée sur le repère (O,i,j) hors je cherche à l'exprimer entre des points A(xa, ya) et B(xb, yb) sans connaitre d'avance le point le plus bas.

Les données d'entrées sont :
-Les coordonnées des points
-La longueur de la chainette
-La densité linéique du cable

Le top serait aussi d'obtenir une équation me permettant de connaitre la tension en chaque point du cable (mais ca c'est une autre histoire...)

Pour info, voici divers site qui traite du problème de la chainette ( mais centrée sur le repère) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEnette
http://www.mathcurve.com/courbes2d/chainette/chainette.shtml
http://serge.mehl.free.fr/anx/catena.html

Je remercie d'avance quiconque pourra m'aider.

Bonjour,

voilà un problème intéressant !

En effet, dans le cas où les points A et B ont la même ordonnée, alors le problème est bien connu et on tombe sur l'équation de la chainette.

Par contre, si les 2 points de fixations ne sont pas à la même ordonnée, il est vrai qu'on ne trouve pas facilement la solution de ce problème.

Je me demande même si la solution explicite existe vraiment ...

Peut-être que non !

Il faudrait reprendre l'équation différentielle de ce problème, et bien suivre sa résolution. Mais je crois qu'on utilise à un moment le fait que la dérivée est nulle entre les 2 points A et B, ce qui est évidemment faux s'ils ne sont pas à la même hauteur.

Le problème des équa. diff., c'est qu'un petit grain de sable peut faire qu'on ne sait plus les résoudre.

Cela dit, on peut toujours le faire de manière numérique et calculer point à point la courbe.

Bonjour jamo,

Avant tout merci de t'être interessé à mon problème.

Tu semble confirmer mes premières impressions, pas facile...

De formation mécanique, je tente actuellement de résoudre le problème en appliquant le principe fondamental de la statique sur une portion du câble de la facon suivante :
Force extérieurs = Tension du cable à gauche + tension du cable à droite + poids du cable.

C'est une piste mais le problème reste ouvert...

Bonne chance à tous et merci encore.

Oui, la méthode dont tu parles est celle utilisée pour tomber sur l'équation différentielle.

On la trouve d'ailleurs dans un des liens que tu as donné :

Mais le problème généralisé que tu proposes ne possède plus de symétrie, donc la résolution de l'équation ne peut plus se faire de la même manière, et je pense qu'on ne peut tout simplement plus la résoudre !

A toi de voir si ton objectif est de vraiment trouver l'équation de la courbe de manière explicite ou non ...

Bonjour

Le résultat n'est-il pas encore une chaînette?
Supposons que je suspende une corde à deux points de même ordonnée, son équation est celle d'une chaînette. Ensuite j'attrape la corde n'importe où (pasà un point de même ordonnée qu'un point d'attache), rien ne bouge, et je coupe ce qui dépasse, rien ne bouge non plus, donc on a bien toujours une chaînette, non?

Fractal

Peut-etre ...

Appelons A et B les extrémités.

Dans un premier temps, il sont à la même hauteur, donc le minimum se situe exactement au milieu.

Gardons le point A fixe, et "descendons" le point B. Le minimum sera-t-il plus prés de A ou de B maintenant ? Réponse : du point B.

Donc, ça resterait cohérent si on déplacait le point B sur la chainette ...

Mais est-ce exactement la même chose ? Je ne sais pas, il faudrait creuser ...

Je ne parlais pas de descendre le point B mais juste d'attraper le point B' situé un peu plus bas que le point B, pour lâcher le point B un peu après. Ça me semble à peu près cohérent.

De plus pour l'équation différentielle, c'est quelque chose de local, donc pourquoi est-ce qu'elle dépendrait de la hauteur des points d'attache?

Fractal

Bonjour
je me rappelle avoir fait ce calcul quand je préparais l'agreg (à l'époque il y avait une option méca ...), je me rappelle que ce n'était pas évident du tout, mais je serais, plus de 20 ans plus tard, bien incapable de le refaire

Bonjour à ceux que je n'ai pas encore salué,

Merci de me rassurer lafol, même si tu ne te rappel pas de la démonstration, ton post me laisse penser que l'obtention d'une équation explicite est possible.

Cependant, te rappellerais tu si la tension de la corde était une donnée de départ ou peut on la trouver en fonction des données indiquées dans mon premier post (voir ci dessous)?

Les données d'entrées souhaitées sont :
-Les coordonnées des points
-La longueur de la chainette
-La densité linéique du câble

Bonne chance à tous.

Dans le lien :

Il n'est pas présumé que les 2 points d'attache sont à la même altitude.

Les calculs ont été menés en prenant le point bas (inconnu) comme origine du repère, néanmoins, en fin de calcul, la formule du cas général (avec origine du repère ailleur qu'au point bas) est donnée :

y = (k/2).[e^((x+C1)/2) + e^(-(x+C1)/2)] + C2

Soit si on préfère :

y = k.ch((x+C1)/2) + C2

Il y a là 3 constantes qui restent à définir, soit k, C1 et C2.

Connaissant les coordonnées des points d'attache A(X1 ; Y1) et B(X2 ; Y2), on a alors :

Y1 = k.ch((X1+C1)/2) + C2
Y2 = k.ch((X2+C1)/2) + C2

Et en calculant la longueur du cable entre les abscisses X1 et X2 par S(de X1àX2) de racinecarrée((1 + f'(x))² dx avec f(x) = k.ch((x+C1)/2) + C2 (ce qui ne présente pas de difficulté), la longueur du câble étant connue, on a une 3 ème relation (ici liant k et C1)

On a donc un système de 3 équations, à 3 inconnues C1, C2 et k qui résolu permet alors d'écrire l'équation de la courbe du câble.
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Sauf distraction ou bêtise, à vérifier.

Bien vu J-P,

J'avais bien vu la formule finale données dans ce lien (sous réserve que le calcul inclu dans ce dernier soit juste) cependant je n'avais pas la dernière relation.

Relation que je n'ai d'ailleur toujours pas comprise. Comment calcule tu la longueur du cable? Avec une abscisse curviligne (s?).

Pourrais tu m'expliciter ta démarche?

Ensuite, il ne me semble pas que le lien contienne d'erreur de calcul cependant, je n'arrive pas à faire le lien entre certaines lignes

Par exemple commentl'auteur peut il passer de 1/k.rad(dx²+dy²) à dx/k.rad(1+dy²)

Le calcul contenu dans le lien te parait il correct?

Merci d'avance

La longueur d'une portion de courbe plane d'équation y = f(x) sur un intervalle [X1 ; X2] est donnée par :



Avec f(x) = k.ch((x+C1)/2) + C2

f '(x) = (k/2).sh((x+C1)/2)

...

Je n'ai pas été plus loin, la présence du facteur (k/2) dans l'expression de f '(x) pourrait bien rendre le calcul un peu laborieux.
Il devrait bien y avoir un mathématicien sur le site pour dire si c'est faisable ou non.
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citation :
Par exemple comment l'auteur peut il passer de 1/k.rad(dx²+dy²) à dx/k.rad(1+dy²)

Ce n'est pas tout à fait cela qui est fait:

(1/k).racine((dx)²+(dy)²)
Ici, dx et dy sont considérés comme des infiniments petits et donc :

(1/k).racine((dx)²+(dy)²) = (1/k).(dx/dx).racine((dx)²+(dy)²)
(1/k).racine((dx)²+(dy)²) = (1/k).dx * racine[((dx)²+(dy)²)/(dx)²]
(1/k).racine((dx)²+(dy)²) = (1/k).dx * racine(1+(dy/dx)²)
(1/k).racine((dx)²+(dy)²) = (1/k).dx * racine(1+y'²)

Ce genre de transformations hérisse parfois, bien à tort, certains mathématiciens.
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Merci pour toutes ces précisions, je pense maintenant être sur la bonne voie.

Je m'en vais donc poster un nouveau topic afin de résoudre l'intégrale

Je ne manquerai pas de resposter ici si ma recherche aboutie.

Merci à tous.

Bonjour,

Dans le cadre de la résolution d'un problème mécanique (celui de la chainette merci encore J-P), je cherche à résoudre l'intégrale suivante :

L=(1+f'(x)²).dx entre x₁ et x₂

Avec

f(x) = k/2.cosh((x+C₁)/k)+C₂

La résolution de ce type d'intégrale n'étant pas mon fort, je me permet de vous soliciter.

Merci d'avance

*** message déplacé ***

salut sopalin

tu aurais du upper ton message initial

ça risque s'être interprété comme du multipost...



*** message déplacé ***

Bonjour sopalin,

si je comprends bien, il s'agit de calculer la longueur d'un arc de chaînette.
Néanmoins, il y a une ambiguité dans l'écriture de ton équation : on ne sait pas si c'est :
f(x) = (k/2).cosh((x+C1)/k)+C2
ou
f(x) = k/(2.cosh((x+C1)/k))+C2
ou
f(x) = k/(2.cosh((x+C1)/k)+C2)
ce qui donnerait des résultats très différents.
On peut supposer que la première écriture est la bonne (les deux autres ne sont pas les équations de vraies chaînettes)
Supposons donc que ton équation est :
f(x) = (k/2).cosh((x+C1)/k)+C2
Là encore, il faut se poser la question : n'y a-t-il pas une erreur dans ton calcul qui a conduit à cette équation ?
En effet, le calcul de la longueur d'arc de chainette serait aisé et classique si l'équation était :
f(x) = k.cosh((x+C1)/k)+C2
f'(x)=sinh((x+C1)/k)
1+(f')²=(cosh((x+C1)/k))²
Sqrt(1+(f')²)=cosh((x+C1)/k))
Une primitive est k.sinh((x+C1)/k))
La longueur d'arc entre x1 et x2 est
k.sinh((x2+C1)/k))-k.sinh((x1+C1)/k))
Par contre, si l'équation est :
f(x) = (k/2).cosh((x+C1)/k)+C2
l'intégrale ne s'exprime pas avec les fonctions usuelles. Il faut passer par une fonction spéciale "elliptique incomplète". C'est d'un niveau plus élevé. Dans ce cas, en pratique, on préfère généralement trouver le résultat approché (aussi précis que l'on veut) par calcul numérique direct de l'intégrale (il existe de nombreuses méthodes d'intégration numérique). C'est plus simple que de faire d'abord le calcul littéral pour trouver la formule et ensuite d'être obligé de calculer numériquement la fonction elliptique incomplète.

*** message déplacé ***

Bonjour,

Impressionant ... Merci JJa

En effet, il s'agissait bien de calculer la longueur d'un arc de chainette et le raisonement de JJa était parfait.

-L'équation est bien :f(x) = k.cosh((x+C1)/k)+C2 autant pour moi.

Donc la solution est :

k.sinh((x2+C1)/k))-k.sinh((x1+C1)/k))

Merci encore à JJa qui, non content de trouver la solution, trouve aussi les erreurs d'énoncés!!

*** message déplacé ***

Si tu es arrivé à la forme générale de l'équation:

,

tu peux y appliquer les conditions et pour obtenir 2 relations faisant intervenir et .

Ensuite, tu peux considérer le cable dans son ensemble et étudier les efforts qui s'exercent dessus à l'équilibre: son poids et les composantes verticales de la réaction des supports en A et B qui compensent ce poids. La réaction est égale à la tension dans le cable en chacun de ces points. Si l'on appelle la composante verticale de la tension, on doit pouvoir écrire:



Soit encore :



En remplaçant par l'expression de , on obtient une troisième relation qui fait intervenir uniquement cette fois. Combine les deux premières relations obtenues pour en obtenir une nouvelle qui ne dépend également que de , puis combine celle-ci avec la troisième pour faire disparaître . Tu obtiens finalement une équation où la seule constante inconnue est . Je pense que cette équation doit être résolue numériquement (ce qui se fait assez facilement de toute façon) et donne accès à la valeur de (et donc ). On en déduit ensuite directement puis .