Forum : analyse :
Continuité d'une fonction définie par une série

Bonjour

On définit la fonction par (l'espace de départ est l'espace des réseaux de R2, muni de sa topologie naturelle)

J'ai déjà montré que g₂ convergait absolument, et uniformément sur tout compact, mais cela suffit-t-il pour dire que g₂ est continue?
Que faut-il de plus?

Peu importe si vous ne connaissez pas la topologie de l'espace des réseaux de R2, j'aimerais savoir s'il y a un résultat général concernant la continuité d'une fonction définie par une série.

Merci

Fractal

D'après ce post -> il semblerait que la convergence uniforme sur tout compact, ainsi que la continuité des termes de la série suffise pour que la somme soit continue.
Pourriez-vous confirmer ou infirmer?

Parce que dans le document que j'ai ils disent, après avoir montré la convergence absolue et la convergence uniforme sur tout compact :

citation :
On en déduit facilement que l'application g2 est bien définie et continue pour la topologie de Chabauty (en séparant la série en une partie finie et un reste uniformément majoré sur un voisinage compact du réseau, et en approchant les points de ce réseau dans la partie finie par des points du réseau voisin)

Peut-être qu'il faut des hypothèses supplémentaires sur l'espace topologique de départ, et que du coup ils préfèrent redémontrer que la convergence uniforme sur tout compact implique la continuité dans cet espace topologique particulier?

Merci

Fractal

salut Fractal,

citation :
il semblerait que la convergence uniforme sur tout compact, ainsi que la continuité des termes de la série suffise pour que la somme soit continue.

oui ce résultat existe.

Oki
Mais il y a sans doute des hypothèses sur l'espace de départ (du genre localement compact, ou quelque chose comme ça)?
Est-ce que tu te rappelle grosso modo l'idée de la démo?

Fractal

Pour une suite de d'applications continues de métrique dans métrique, si les converge uniformément sur tout compact de ,
la suite converge uniformément et la limite est continue.

Pour le montrer, on utilise le fait que la continuité en un point de "est conservée" par passage à la limite uniforme,
et que pour une application avec métrique et espace topologique, la continuité de dans est équivalente à la continuité sur tout compact de .  

D'accord

Et on a bien besoin de la compacité locale de X pour pouvoir dire dans le cas général que la continuité de f sur X est équivalente à la continuité de f sur tout compact.

Merci

Fractal

je viens de vérifier la preuve sur le Choquet,
il n'y a apparemment pas besoin de compacité locale de X, juste du fait que X soit un espace métrique, afin de pouvoir utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité.

Je pense que si on veut généraliser un peu plus, on pourrait dire que X admet une base locale dénombrable de voisinages en tout point.

Je viens de trouver sur wiki que la continuité sur tout compact impliquait la continuité globale lorsque X est localement compact ou bien lorsque sa topologie est définie par une métrique ^^
Donc on a tous les deux raison, nos conditions marchent toutes les deux

Fractal

ok, problème tranché

merci pour l'information.

c'est quoi la topologie naturelle de ?

On peut y mettre la topologie de Chabauty, qui est une topologie sur l'ensemble des fermés d'un espace topologique définie ainsi :

citation :
Si X est un espace topologique localement compact, et F(X) l'ensemble des fermés de X, la topologie de Chabauty sur F(X) est la topologie dont les ouverts sont les unions d'intersections finies de parties de la forme où K est un compact de X et où U est un ouvert de X.

Pour les réseaux on peut aussi le voir plus simplement en remarquant que n'est autre que , et en y mettant la topologie quotient.

Fractal

Dans le genre topologie tordue...

Meuh non
On voit bien ce que ça veut dire que deux réseaux soient proches, c'en est juste une formalisation ^^
M'enfin, mieux vaut travailler avec (ou dans le cas des réseaux unitaires) c'est quand même plus sympathique ^^

Fractal

Il y a même encore plus simple tu peux travailler dans HxC*, ou H es le demi plan de poincaré, et en fait si tu quotiente par la realtion d'equivalence definissant deux resaux equivalents ssi ils sont homotétiques alors tu peux juste travailler dans H le demi plan de poincaré.

C'est ce qu'on fait dans la pratique... LA fait que quotienté par la relation d'homotétie se justifie quand on s'interresse aux courbes ellitptiques (ce qui m'a l'air d'etre le cas ici ) car deux courbes ellitptiques C/L et C/L' sont isogénes (et diffeomorphes en tant que groupe analytiques complexe) ssi L et L' sont homotétiques.

citation :
ce qui m'a l'air d'etre le cas ici

Même pas

Je m'intéresse aux réseaux unitaires de R².
On peut utiliser g₂ et g₃ (qui viennent de la théorie des courbes elliptiques, je te l'accorde) afin de montrer que est homéomorphe à S₃ privé du noeud de trèfle.
De plus, (c'est sans doute la même chose que ce que tu viens de dire) est également homéomorphe au fibré tangent unitaire de qui est muni naturellement d'une structure de variété riemanienne (lui provenant de celle de H), ce qui permet de s'intéresser au flot géodésique sur . Ce flot se transporte alors dans où il s'exprime simplement par la multiplication à gauche par la matrice et on l'appelle alors le flot modulaire.
On peut ensuite s'intéresser aux orbites périodiques de ce flot, qui par homéomorphisme avec S₃ privé du noeud de trèfle puis par projection stéréographique s'identifient à des noeuds plongés dans
Il se trouve qu'il y a alors correspondance parfaite entre ces noeuds (appellés noeuds modulaires) et les noeuds de Lorenz qui sont les orbites périodiques d'un certain système d'équations aux dérivées partielles.

Vaste programme, je ne sais pas si je pourrai en plus trouver des trucs à dire sur les courbes elliptiques ^^



Fractal

TIPE ou quoi?

Voui ^^
J'aurai sans doute pas le temps de parler précisément de tout ça de façon approfondie, mais j'aimerais bien pouvoir aller quand même assez loin
En tous cas c'est super intéressant comme sujet

Fractal

J'adore j'ai rien compris

Mais bon courage

Salut à tous !

Ah oui, la topo c'est très intéressant. Alors qu'on y ajoute de l'algèbre et qu'on utilise un vocabulaire de géométrie j'en doute pas.
Bon courage en tous cas!

kéké >> Tkt, j'ai pas compris grand chose non plus. Ya des moments comme ça où on se dit que Galois c'est vraiment simple.

citation :
kéké >> Tkt, j'ai pas compris grand chose non plus. Ya des moments comme ça où on se dit que Galois c'est vraiment simple.

En général je comprends pas grand chose non plus dans tes topics de théorie de Galois ou de géométrie algébrique

En fait rien que la première ligne de ce que j'ai dit est un résultat intéressant en soi.
Vous m'accordez que l'on peut munir d'une topologie naturelle.
Maintenant si je prends R³, que je fais un noeud à l'axe des abscisses (le noeud de trèfle, c'est à dire le noeud le plus simple que l'on puisse faire avec une ficelle) et que je considère l'espace topologique constitué par R³ privé de son axe des abscisses noué, alors topologiquement c'est exactement la même chose que .

Le reste est un peu plus technique, et plus long à expliquer en détail ^^

Fractal

C'est kro marrant, j'adoooooore ça. Tu nous tiendras informé hein? J'aime bien lire les trucs marrants surtout quand j'y comprends rien.

Promis

_{Mais euh, te fais pas d'illusion, c'est pas pour tout de suite non plus}

Fractal

D'ailleurs, ce résultat ainsi que la correspondance entre nœuds modulaires et nœuds de Lorenz est illustré ici -> avec des animations partout de trucs qui tournent dans tous les sens (), sans trop de maths compliquées à comprendre

Et le plus beau est quand même à la fin, où ils montrent une autre dynamique sur l'espace des réseaux unitaires de R2, pour laquelle plus le temps avance plus la courbe se met à remplir tout l'espace (voir le lien ci-dessus), et

citation :
It is known that the the family of curves ct tends to fill the space in a “uniform” way but the quantitative estimate of the velocity of this phenomenon is equivalent to the famous Riemann hypothesis, one of the most enticing open questions in mathematics!

C'est quand même beau les maths !

Fractal

Ah oui quand même RH...

J'y connais rien en topologie, mais question cucu : tout ça ça a une application "concrête" ?

citation :
J'aurai sans doute pas le temps de parler précisément de tout ça de façon approfondie, mais j'aimerais bien pouvoir aller quand même assez loin

Oui on a que 10 minutes quoi

Meeuuuuhhh non, JFF mon vieux! Tu connais beaucoup d'applications de Galois en physique toi? C'est pareil, même combat. Enfin, on va laisser le spécialiste s'exprimer.

Non mais Galois ça permet quand même de démontrer des résultats liés à des trucs simples comme le théorème d'Abel. Donc là je me demande si hors mis la beauté mathématique on pouvait y trouver des utilisations dans des choses plus basiques.

Ayoub -> Je te rassure, je n'ai strictement aucune idée de ce que l'hypothèse de Riemann vient faire là

Kévin ->

citation :
Oui on a que 10 minutes quoi

Nan, aux ENS le jury nous pose directement des questions sur le rapport qu'on aura rendu, sans exposé préalable.
C'est juste que je compte mettre dans mon rapport uniquement ce que je maîtrise parfaitement, donc j'espère pouvoir avoir le temps de maîtriser le plus de choses possibles là dessus.

Pour les applications pratiques, ce pas que je m'en fiche, mais bon
Comme l'a dit Redman, les réseaux sont déjà très fortement liés aux courbes elliptiques (car une courbe elliptique est une fonction méromorphe doublement périodique, donc l'ensemble de ses périodes est un réseau).
Le système dynamique de Lorenz a été découvert lors d'une modélisation de l'atmosphère, et sa très forte sensibilité aux conditions initiales est à relier à l'effet papillon par exemple.
De plus le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent de H/PSL(2,Z) (qui correspond au flot de Lorenz, c'est à dire au truc qui quand on lui donne le temps qu'il fait nous dit quel temps il fera demain (en très très très simplifié )), et peut être défini sur n'importe quelle surface (variété différentielle), et il se trouve que la sensibilité aux conditions initiales est directement lié à la courbure de la surface, et plus précisément au fait qu'elle soit hyperbolique.

Je ne dis pas que ça a des applications pratiques directes, mais c'est en tous cas fortement relié à pas mal d'autres domaines des mathématiques, en particulier la théorie des système dynamiques qui provient directement de la physique.

Je cite une phrase d'un élève de l'ENS dans son mémoire de magistère à propos de cet exemple précis :

citation :
[...] Or le flot modulaire préserve une forme de volume naturelle. La théorie des systèmes ergodiques préservant le volume s'y applique donc, et on peut s'attendre a de nouveaux résultats concernant cet exemple central en théorie des systèmes dynamiques.

Fractal

J'allais oublier : qu'est-ce qu'un cristal si ce n'est un réseau, ou une réunion de réseaux?

C'est d'autre part en passant par la dynamique sur les réseaux que Margulis a démontré la conjecture d'Oppenheim, une conjecture d'arithmétique restée ouverte pendant près d'un demi siècle.

Fractal

D'accord merci Guillaume