Intersection de cercles

Posté par Eric__01 Eric__01

Bonjour,
Quelqu'un aurait-il la réponse :
Soient 2 cercles C1(O1,R1) d'aire A1 et C2(O2,R2) d'aire A2 tel que O2 soit sur C1.
Exprimer R2 (rayon de C2) en fonction de R1 afin que l'intersection des aires A1 "inter" A2 soit égale à la moitié de A1.

Merci d'avance...

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour,

le plan étant muni du produit scalaire, définissons le repère    orthonormé direct tel que    .

Donne les coordonnées dans ce repère des deux centres, et les équations des deux cercles, puis observe que la figure admet l'axe des centres comme axe de symétrie.

Trouve les coordonnées de l'unique point d'intersection P d'ordonnée positive des deux cercles, puis calcule "l'aire du haut" en effectuant la somme de deux intégrales. La valeur obtenue est la moitié de la valeur cherchée.

Posté par Eric__01 Eric__01

Merci Tigweg pour cette réponse et ces étapes de résolutions...

Posté par Tigweg Tigweg

Avec plaisir Eric__01, dis-moi si tu t'en sors!

Posté par Tigweg Tigweg

Je voulais écrire "du produit scalaire usuel", pardon

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

on peut aussi ne pas traiter cette question avec les intégrales, si l'outil "intégrale" n'est pas requis ou connu...

Posté par Tigweg Tigweg

Re mikayaou

Tu as entièrement raison et j'ai hésité à en faire mention lors de ma première réponse, néanmoins on a besoin des fonctions trigonométriques réciproques à la place, dont l'étude se fait toujours après celle du calcul intégral.
De plus, une approximation ne semble pas suffire dans ce cas précis puisqu'on cherche à résoudre une équation (je pense avec une valeur exacte à la clé) en fonction de deux réels R1 et R2.
Dans tous les cas, le calcul intégral me paraissait donc plus indiqué.

Posté par mikayaou mikayaou

je ne me souviens plus, dans le problème de la chèvre, avoir utilisé de fonctions réciproques de fonctions trigos...

Posté par Tigweg Tigweg

Tu en as besoin pour déterminer l'angle du secteur angulaire, non?

Posté par mikayaou mikayaou

il ne me semble pas : je crois me souvenir d'une équation transcendante à résoudre graphiquement

mais je peux confondre avec un autre exo...

Posté par Tigweg Tigweg

Attends je vérifie, j'ai ça dans mon vieux Terracher 1èS de 1990.

Posté par Tigweg Tigweg

Voilà!

Tu as raison, mais on n'obtient qu'une approximation de la solution.

En appelant a l'angle (P et Q points d'intersection des cercles), Monsieur Terracher obtient les équations:

Posté par Tigweg Tigweg

Remplace pi par a dans la deuxième équation.

Posté par mikayaou mikayaou

c'était un truc plus simple, avec un changement de variable judicieux

je crois d'ailleurs l'avoir lu sur l'île...

Posté par Tigweg Tigweg

Ah ben si tu retrouves...

Posté par mikayaou mikayaou

oui, un truc du genre :

R2/R1 = 2sin(alpha/2) avec alpha solution de : sin(alpha) + (pi - alpha)cos(alpha) = pi/2

mais ça ressemble étrangement au tien...

Posté par mikayaou mikayaou

avec une solution du type R2 = 1,228.R1

Posté par mikayaou mikayaou

plutôt R2 = 1,158.R1

Posté par Tigweg Tigweg

Ah oui mais là ce ne sont plus que des valeurs aprochées!

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

C'est le problème bien connu de la corde de la chèvre.
Trouver la longueur de la corde de la chèvre, fixée au bord d'un champ circulaire, pour que la chèvre puisse brouter au maximum la moitié du champ.



_{Je crois me rappeler, que L 1.15873 R}

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour gloubi,

oui c'est exactement ça!



Euh, tu te rappelles vraiment ce genre de choses?

Posté par gloubi gloubi

Oui Tigweg,

J'ai passé deux heures dessus il y a bientôt 35 ans, mais ça m'a marqué.
J'écris 1.15873 mais en fait, c'est 1.158727 ou 1.158728, jai oublié

_{En plus c'est vrai ...}

A+,

Posté par Tigweg Tigweg

Je suis très impressionné!!!

Posté par mikayaou mikayaou

la valeur de 1,228 correspond au même problème mais, cette fois-ci dans l'espace

l'intersection de la sphère de rayon R2 avec celle de rayon R1 donnant la moitié du volume de celle du rayon R1

et il faut alors que R2 = 1,228.R1

Posté par mikayaou mikayaou

salut gloubi

et ça peut même se généraliser avec des hyperespaces et on montre que la limite pour n espaces, avec n tendant vers l'infini, donne R2 = R1.racine(2)

Posté par Tigweg Tigweg

Je suis de plus en plus impressionné!!
La démonstration m'intéresserait mikayaou, tu l'as en stock quelque part?

Posté par mikayaou mikayaou

je te l'envoie par mail, Tigweg

Posté par Tigweg Tigweg

Avec plaisir!

_{Quelle belle besace d'énigmes en tout genre tu possèdes là, mika!!}

Posté par mikayaou mikayaou

reçu ?

Posté par mikayaou mikayaou

trop peu accessibles pour faire des JFF sympa : trop élitistes

Posté par mikayaou mikayaou

mêêêê, y'a pas d'mais !