défintion formelle de la limite

Posté par fakir151 fakir151

Bonjour tout le monde,

Bon voila dans le topic: "Programme de 1ere S", Mariette a donné la vrai définition des limites et vu que cela m'interesse et que lucas n'a toujours pas posté, je le fait à sa place. En effet un mathilien avait proposé de l'expliquer. Voici la définition :



fakir

Posté par gui_tou gui_tou

Re

La vraie bonne définition c'est :

Posté par lucas951 lucas951

Ah oui ! J'avais pas encore le temps, désolé...

Si, comme moi, vous ne savez pas ce que ça veut dire, regardez l'astuce :

\forall \epsilon \in \]0;+\infty[, \exist \eta \in \mathbb{R}, \forall x \in I, |x-alpha|<\eta\Longrightarrow |f(x)-l|<\alpha

Il suffit de regarder ce que veulent dire les expressions

Posté par lucas951 lucas951

Avec celle de gui_tou ça donne :

\forall \epsilon \in {\bb R}^*_+, \,\exist \eta \in {\bb R}^*_+, \,\forall x \in I, \,|x-\alpha|<\eta\,\Longrightarrow\, |f(x)-l|<\epsilon

Posté par gui_tou gui_tou

En choisissant n'importe quel réel strictement positif, on est toujours capable d'en trouver un autre tel que :

pour tout , point de l'intervalle I,
si la distance séparant de est inférieure à , alors la distance séparant de est inférieure à

Vu que la définition est valable quel que soit , elle est valable quand tend vers 0.

Ainsi on dit que la distance séparant de peut être rendue aussi faible que l'on veut.

Posté par gui_tou gui_tou

Euh Lucas, c'est gentil mais c'est pas les \forall ou les \Longrightarrow qui vont expliquer la définition

Posté par lucas951 lucas951

Pour ça, il y a le tutorial du latex...

Posté par fakir151 fakir151

J'ai pas tres bien compris mais déja je m'interroge sur le sens de :



cela veut il dire x appartient à I ou cela veut il dire autre chose?

fakir

Posté par gui_tou gui_tou

Oui oui, x appartient à I, et x est pris quelconque

Posté par lucas951 lucas951

C'est comme si on disait "Soit le point A sur la droite d" ?

Posté par fakir151 fakir151

ok merci, je m'y replonge

Posté par Quent225 Quent225

Bonjour,
Voici une définition, suivie d'un schéma, si ça peut vous aider,... la définition vient du programme belge, d'où la différence...
On traite ici le cas d'une limite finie en un réel:

ssi

Posté par Mariette Mariette

c'est le schéma que j'étais en train de cherhcer dans mes archives !

Bonjour et merci Quent225.

Ca montre bien la chose :

on peut imposer à f(x) d'être aussi prêt de b (=l) qu'on veut (c'est le "pour tout epsilon") en imposant à x d'être assez prêt de a (=alpha) (assez prêt : "il existe delta = eta"). Et il n'y aura pas de f(x) qui se baladeront trop loin de l.

Posté par Quent225 Quent225

vive pstricks, n'est-ce pas?

Posté par gui_tou gui_tou

Mariette, je suis assez perplexe quant à l'autre topic ^^

On fixe d'abord le epsilon avant de dire qu'il existe eta tel que .. |x-a|<eta

plusieurs eta peuvent vérifier la condition

mais aucun ne peut être négatif ... nan ?

Posté par otto otto

Penses y deux secondes, si eta était négatif, alors |x-a| le serait, ça irait mal, non ?
La phrase se lit de gauche à droite, donc tu fixes epsilon et ton eta dépend de epsilon.

Posté par Mariette Mariette

on est d'accord qu'il peut y avoir plusieurs éta solutions. Ce que je dis c'est que si je choisis un eta négatif, alors mon implication est toujours vraie puisque dans A implique B mon A sera toujours faux.

Donc si on laisse à éta le droit d'être négatif, il va en profiter et on aura toujours au moins les éta négatif solutions quel que soit le choix de epsilon.

_{je vais manger, mais je reviens dans la soirée pour plus d'explications}

Posté par gui_tou gui_tou

Okédac c'est très clair, merci otto et Mariette