Racine d'un polynôme
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Racine d'un polynôme
Posté le 02-07-08 à 23:00
Posté par 
Arcangel Arcangel
Eh bien jai eu plusieurs réponses qui m'ont bien aidé oui!
Merci a tous meme si vous etes parti un peu... a coté lol
bah je me suis lancé sur les polynomes du 2nde degré et en meme temps sur les fonctions, je crois que cest assez lié non? donc sur ca cava la jai compris pour linstant! apres (désolé pour les accents mais je suis en Espagne donc jai pas les bonnes touches) apres je sais pas trop dans que je me lancerai...
ah juste une question! cette définition je lai pas bien saisit...
"a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x)."
*** message déplacé ***
Edit Coll : nouveau titre après déplacement
Arcangel ArcangelEh bien jai eu plusieurs réponses qui m'ont bien aidé oui!
Merci a tous meme si vous etes parti un peu... a coté lol
bah je me suis lancé sur les polynomes du 2nde degré et en meme temps sur les fonctions, je crois que cest assez lié non? donc sur ca cava la jai compris pour linstant! apres (désolé pour les accents mais je suis en Espagne donc jai pas les bonnes touches) apres je sais pas trop dans que je me lancerai...
ah juste une question! cette définition je lai pas bien saisit...
"a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x)."
*** message déplacé ***
Edit Coll : nouveau titre après déplacement
re : Programme 1ere S Posté le 02-07-08 à 23:15
Posté le 02-07-08 à 23:15Posté par Arcangel Arcangel
super! maintenant que je me met a parler plus personne ne parle... lol cest pas grave cest pas grave XD
*** message déplacé ***
Arcangel Arcangelsuper! maintenant que je me met a parler plus personne ne parle... lol cest pas grave cest pas grave XD
*** message déplacé ***
re : Programme 1ere S Posté le 02-07-08 à 23:20
Posté le 02-07-08 à 23:20Posté par Mariette Mariette 
Non non je suis encore là :
Ca veut dire que si P s'annule en a, on peut factoriser par (x-a).
Exemple :
=x³-x²+5x-5)
P(1)=0 donc on peut trouver un polynôme Q tel que P(x)=(x-1)Q(x). Autrement dit, on peut trouver trois réels a, b et c tels que :
=x³-x²+5x-5=(x-1)(ax^2+bx+c))
*** message déplacé ***
Mariette Mariette Non non je suis encore là :
Ca veut dire que si P s'annule en a, on peut factoriser par (x-a).
Exemple :
P(1)=0 donc on peut trouver un polynôme Q tel que P(x)=(x-1)Q(x). Autrement dit, on peut trouver trois réels a, b et c tels que :
*** message déplacé ***
re : Programme 1ere S Posté le 02-07-08 à 23:25
Posté le 02-07-08 à 23:25Posté par Arcangel Arcangel
daccord compris! encore un truc juste... comment ca si P sannule en a?
*** message déplacé ***
Arcangel Arcangeldaccord compris! encore un truc juste... comment ca si P sannule en a?
*** message déplacé ***
re : Programme 1ere S Posté le 02-07-08 à 23:33
Posté le 02-07-08 à 23:33Posté par Arcangel Arcangel
ah ui, enfin toute derniere question parce que jai bien compris!
comment on fait pour trouver Qx?
*** message déplacé ***
Arcangel Arcangelah ui, enfin toute derniere question parce que jai bien compris!
comment on fait pour trouver Qx?
*** message déplacé ***
re : Programme 1ere S Posté le 03-07-08 à 02:58
Posté le 03-07-08 à 02:58Posté par Epicurien Epicurien
Deux possibilités (à ma connaissance) :
Soit par identification
Soit par division euclidienne de polynomes
*** message déplacé ***
Epicurien EpicurienDeux possibilités (à ma connaissance) :
Soit par identification
Soit par division euclidienne de polynomes
*** message déplacé ***
re : Programme 1ere S Posté le 03-07-08 à 07:52
Posté le 03-07-08 à 07:52Posté par Mariette Mariette
2:58 ! ce n'est pas une heure pour faire des maths !!!
En fait il en existe au moins une autre : la méthode de Hörner.
Concentrons-nous sur l'identification, mais plutôt dans un nouveau topic.
*** message déplacé ***
Mariette Mariette 2:58 ! ce n'est pas une heure pour faire des maths !!!
En fait il en existe au moins une autre : la méthode de Hörner.
Concentrons-nous sur l'identification, mais plutôt dans un nouveau topic.
*** message déplacé ***
Factorisation d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 08:12
Posté le 03-07-08 à 08:12Posté par Mariette Mariette
Bonjour,
histoire de clarifier les choses, je réponds ici à la question posée là.
La question est : comment fait-on pour factoriser un polynôme par (x-a).
La réponse est : par identification des coefficients
Le principe : deux polynômes sont égaux ssi leurs coeficients le sont.
Exemple :=x^3-x^2+5x-5)
qui s'annule en 1. On sait donc qu'il existe trois réels a, b, et c tels que pour tout réel x =(x-1)(ax^2+bx+c))
.
On va développer cette expression :
(ax^2+bx+c)=ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c=ax^2+(b-a)x^2+(c-b)x-c)
C'est donc égal à P(x) (pour tout réel x) ssi a=1 et b-a=-1 et c-b=5 et -c=-5
ce qui donne a=1, b=0 et c=5. On a donc pour tout x réel :
=(x-1)(x^2+5))
une remarque : on tombe sur un système d'inconnues a,b,c comportant 4 équations, donc une de "trop" : ce système est surdéterminé, ce qui est très confortable puisque ça nous donne une équation de "vérification".
Des question Arcangel ? (ou d'autres
)
si tu n'as pas de questions, répond quand même pour faire passer ce topic au vert.
*** message déplacé ***
Mariette Mariette Bonjour,
histoire de clarifier les choses, je réponds ici à la question posée là.
La question est : comment fait-on pour factoriser un polynôme par (x-a).
La réponse est : par identification des coefficients
Le principe : deux polynômes sont égaux ssi leurs coeficients le sont.
Exemple :
On va développer cette expression :
C'est donc égal à P(x) (pour tout réel x) ssi a=1 et b-a=-1 et c-b=5 et -c=-5
ce qui donne a=1, b=0 et c=5. On a donc pour tout x réel :
une remarque : on tombe sur un système d'inconnues a,b,c comportant 4 équations, donc une de "trop" : ce système est surdéterminé, ce qui est très confortable puisque ça nous donne une équation de "vérification".
Des question Arcangel ? (ou d'autres
)si tu n'as pas de questions, répond quand même pour faire passer ce topic au vert.
*** message déplacé ***
re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 10:54
Posté le 03-07-08 à 10:54Posté par Coll Coll 
Bonjour,
JFF...
Après la méthode par identification, la méthode par division euclidienne.
Soit le polynôme P(x) = x3 + 4x2 + 3x - 2
Il a une racine "évidente" qui est x = -2
en effet :
(-2)3 + 4(-2)2 + 3(-2) - 2 = -8 + 16 -6 -2 = 0
donc ce polynôme P(x) est divisible par (x + 2) et on peut écrire
P(x) = (x + 2) Q(x)
Calcul de Q(x) par la division euclidienne des polynômes :
&&&&&\;x^2&\,+\,&2x&\,-\,&1 \\ &&&2x^2&\,+\,&3x \\ &&-(&2x^2&\,+\,&4x&) \\ &&&&\,-\,&x&\,-\,&2 \\ &&&-(&\,-\,&x&\,-\,&2&) \\&&&&&0&&0 \end{tabular})
Et donc Q(x) = x2 + 2x - 1
Je poste cet "exercice de LaTeX" avant de présenter la méthode de Horner.
Coll Coll Bonjour,
JFF...
Après la méthode par identification, la méthode par division euclidienne.
Soit le polynôme P(x) = x3 + 4x2 + 3x - 2
Il a une racine "évidente" qui est x = -2
en effet :
(-2)3 + 4(-2)2 + 3(-2) - 2 = -8 + 16 -6 -2 = 0
donc ce polynôme P(x) est divisible par (x + 2) et on peut écrire
P(x) = (x + 2) Q(x)
Calcul de Q(x) par la division euclidienne des polynômes :
Et donc Q(x) = x2 + 2x - 1
Je poste cet "exercice de LaTeX" avant de présenter la méthode de Horner.
re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 11:08
Posté le 03-07-08 à 11:08Posté par Coll Coll
La méthode de Horner :
Dans la première ligne d'un tableau : les coefficients du polynôme P(x)
Dans la seconde ligne ceux du polynôme quotient.
Chaque case de la seconde ligne est calculée comme
. la somme
. du produit de la case située à sa gauche par la racine x0
. et du coefficient situé dans la case du dessus.
Je reprends le même exemple
P(x) = x3 + 4x2 + 3x - 2
la racine x0 = -2
\;&1&4&3&-2 \\ \hline \;Q(x)\;& \;1\;&\;1(-2)+4\,=\,2\;& \;2(-2)+3\,=\,-1\;&\;-1(-2)-2\,=\,0\;\\ \hline \end{tabular})
Les coefficients du polynôme quotient Q(x) sont donc 1, 2 et -1
Q(x) = x2 + 2x - 1
P(x) = (x - x0) Q(x)
x3 + 4x2 + 3x - 2 = (x + 2)(x2 + 2x - 1)
Coll Coll La méthode de Horner :
Dans la première ligne d'un tableau : les coefficients du polynôme P(x)
Dans la seconde ligne ceux du polynôme quotient.
Chaque case de la seconde ligne est calculée comme
. la somme
. du produit de la case située à sa gauche par la racine x0
. et du coefficient situé dans la case du dessus.
Je reprends le même exemple
P(x) = x3 + 4x2 + 3x - 2
la racine x0 = -2
Les coefficients du polynôme quotient Q(x) sont donc 1, 2 et -1
Q(x) = x2 + 2x - 1
P(x) = (x - x0) Q(x)
x3 + 4x2 + 3x - 2 = (x + 2)(x2 + 2x - 1)
re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 11:41
Posté le 03-07-08 à 11:41Posté par Coll Coll
Bonjour gui_tou
Merci. J'avais prévenu : JFF... parce que cela prend un certain temps et que ce n'est guère possible que pour une
quasi déserte !
Coll Coll Bonjour gui_tou
Merci. J'avais prévenu : JFF... parce que cela prend un certain temps et que ce n'est guère possible que pour une
quasi déserte !re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 14:33
Posté le 03-07-08 à 14:33Posté par Mariette Mariette
Ah oui, joli
Je fais l'inspectrice des travaux finis en signalant que si on applique la méthode de Hörner sur un réel quelconque x, dans la dernière case (là on Coll a obtenu 0) on obtient P(x).
On peut même montrer que c'est comme ça que l'on minimise les calculs nécessaires à obtenir une image par un polynôme (mode minute culturelle off
)
Mariette Mariette Ah oui, joli
Je fais l'inspectrice des travaux finis en signalant que si on applique la méthode de Hörner sur un réel quelconque x, dans la dernière case (là on Coll a obtenu 0) on obtient P(x).
On peut même montrer que c'est comme ça que l'on minimise les calculs nécessaires à obtenir une image par un polynôme (mode minute culturelle off
)re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 15:15
Posté le 03-07-08 à 15:15Posté par Coll Coll
Bonjour Mariette,
Je t'ai mis un tel bazar ce matin que j'ai cherché à me racheter un peu pour ne pas me faire (trop) tirer les oreilles...
Coll Coll Bonjour Mariette,
Je t'ai mis un tel bazar ce matin que j'ai cherché à me racheter un peu pour ne pas me faire (trop) tirer les oreilles...
re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 15:50
Posté le 03-07-08 à 15:50Posté par Coll Coll
On ne se lasse pas du LaTeX
Soit le polynôme P(x) = c3x3 + c2x2 + c1x + c0
Le tableau de calcul de P(a), donc pour la valeur x = a de la variable, devient :
\;& \;c_3\;&\;c_3a+c_2\;& \;(c_3a+c_2)a+c_1\;&\;((c_3a+c_2)a+c_1)a+c_0\;\\ \hline \end{tabular})
Exemples, toujours avec P(x) = x3 + 4x2 + 3x -2
c'est-à-dire avec
c3 = 1
c2 = 4
c1 = 3
c0 = -2
Pour x = -2 le calcul est fait plus haut (message de 11 h 08) et le résultat est P(-2) = 0 (x = -2 est racine du polynôme)
Pour x = -1
\;& \;1\;&\;3\;& \;0\;&\;-2\;\\ \hline \end{tabular})
et donc P(-1) = -2
Pour x = 1
\;& \;1\;&\;5\;& \;8\;&\;6\;\\ \hline \end{tabular})
et donc P(1) = 6
etc.
Coll Coll On ne se lasse pas du LaTeX
Soit le polynôme P(x) = c3x3 + c2x2 + c1x + c0
Le tableau de calcul de P(a), donc pour la valeur x = a de la variable, devient :
Exemples, toujours avec P(x) = x3 + 4x2 + 3x -2
c'est-à-dire avec
c3 = 1
c2 = 4
c1 = 3
c0 = -2
Pour x = -2 le calcul est fait plus haut (message de 11 h 08) et le résultat est P(-2) = 0 (x = -2 est racine du polynôme)
Pour x = -1
et donc P(-1) = -2
Pour x = 1
et donc P(1) = 6
etc.
re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 18:30
Posté le 03-07-08 à 18:30Posté par Arcangel Arcangel
eh bien je ne garderai que la premiere reponse!
Merci Coll, mais pour linstant ces méthodes me restent... incomprhensibles! lol
Je mavance un peu sur le programme de 1ere S, et je ne suis pas encore a la! jai eu un ti peu de mal deja a comprendre la premiere methode donc les deux dernieres je prefere les garder pour un peu plus tard... lol
mais merci!
Cest gentil surtout quand il me prend lenvie de faire des maths a 3h du mat... hehe XD
Arcangel Arcangeleh bien je ne garderai que la premiere reponse!
Merci Coll, mais pour linstant ces méthodes me restent... incomprhensibles! lol
Je mavance un peu sur le programme de 1ere S, et je ne suis pas encore a la! jai eu un ti peu de mal deja a comprendre la premiere methode donc les deux dernieres je prefere les garder pour un peu plus tard... lol
mais merci!
Cest gentil surtout quand il me prend lenvie de faire des maths a 3h du mat... hehe XD
re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 18:44
Posté le 03-07-08 à 18:44Posté par matovitch matovitch
Trop bien toute les méthodes ! Je crois que ce topic mérite vraiment d'entrer dans mes favoris !
matovitch matovitchTrop bien toute les méthodes ! Je crois que ce topic mérite vraiment d'entrer dans mes favoris !
re : Racine d'un polynôme Posté le 03-07-08 à 18:57
Posté le 03-07-08 à 18:57Posté par Coll Coll
Bonsoir à tous,
Je n'ai rien fait d'autre que de mettre en images les idées de Mariette...
Arcangel >> Tu sais faire une division (autrement qu'à la calculette ) ; donc tu dois pouvoir comprendre la division euclidienne des polynômes.
x3 + 4x2 divisé par x + 2
le résultat est x2
x + 2 multiplié par x2 vaut x3 + 2x2
x3 + 4x2 moins x3 + 2x2 il reste 2x2
on "abaisse" 3x
2x2 + 3x divisé par x + 2
le résultat est 2x
x + 2 multiplié par 2x vaut 2x2 + 4x
2x2 + 3x moins 2x2 + 4x il reste -x
on "abaisse" -2
-x -2 divisé par x + 2
le résultat est -1
x + 2 multiplié par -1 vaut -x - 2
-x - 2 moins -x - 2 il reste 0
A faire toi-même doucement ; tu verras que ce n'est pas difficile !
Coll Coll Bonsoir à tous,
Je n'ai rien fait d'autre que de mettre en images les idées de Mariette...
Arcangel >> Tu sais faire une division (autrement qu'à la calculette
) ; donc tu dois pouvoir comprendre la division euclidienne des polynômes.x3 + 4x2 divisé par x + 2
le résultat est x2
x + 2 multiplié par x2 vaut x3 + 2x2
x3 + 4x2 moins x3 + 2x2 il reste 2x2
on "abaisse" 3x
2x2 + 3x divisé par x + 2
le résultat est 2x
x + 2 multiplié par 2x vaut 2x2 + 4x
2x2 + 3x moins 2x2 + 4x il reste -x
on "abaisse" -2
-x -2 divisé par x + 2
le résultat est -1
x + 2 multiplié par -1 vaut -x - 2
-x - 2 moins -x - 2 il reste 0
A faire toi-même doucement ; tu verras que ce n'est pas difficile !
re : Racine d'un polynôme Posté le 04-07-08 à 03:15
Posté le 04-07-08 à 03:15Posté par Epicurien Epicurien
Trés joli , merci ! Je connaissais pas la méthode de Horner ...shame on me..
Epicurien EpicurienTrés joli , merci ! Je connaissais pas la méthode de Horner ...shame on me..
re : Racine d'un polynôme Posté le 04-07-08 à 08:32
Posté le 04-07-08 à 08:32Posté par Coll Coll
Bonjour Epicurien,
Cette méthode est normalement connue et appliquée par les programmeurs parce que c'est celle qui :
. permet le calcul d'un polynôme avec le nombre minimal d'opérations ;
. 1ère conséquence : diminue les erreurs d'arrondi (ou de troncature) en machine ;
. 2ème conséquence : diminue le temps de calcul.
Coll Coll Bonjour Epicurien,
Cette méthode est normalement connue et appliquée par les programmeurs parce que c'est celle qui :
. permet le calcul d'un polynôme avec le nombre minimal d'opérations ;
. 1ère conséquence : diminue les erreurs d'arrondi (ou de troncature) en machine ;
. 2ème conséquence : diminue le temps de calcul.
re : Racine d'un polynôme Posté le 04-07-08 à 11:13
Posté le 04-07-08 à 11:13Posté par Mariette Mariette
Et en plus à la main, elle limite les erreurs de calcul surtout avec les complexes
Mariette Mariette Et en plus à la main, elle limite les erreurs de calcul surtout avec les complexes
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