Différentiabilité

Posté par shelzy01 shelzy01

Bonjour à tous
J'ai un exercice, mais je ne sais pas si ce que j'ai fait est correct, pouvez vous me corriger, merci d'avance pour votre aide

Soit f : R² -> R, la fraction rationnelle f(x,y) = (x³ - y³) (x²+y²)^-1, prolongée en (0,0) par f(0,0) = 0. Etudier la fonction f au voisinage de (0,0) et répondez aux questions suivantes:

1/. f est elle continue en (0,0) ?

j'ai fait un changement de variables en coordonnée polaire en posant: x = rcos
et y = rsin quand r tend vers 0 et on trouve que f(x,y) = f(0,0) quand x tend vers 0 et quand y tend vers 0
donc f est continue en (0,0).

2/. admet-elle des dérivées partielles en (0,0) ?

f/x (0,0)= lim (1/h) ( f(h,0)-f(0,0) ) quand h tend vers 0 = 1
(car lim quand h -> 0 , h³/h³ = 1)

f/x (0,0)= lim (1/h) ( f(0,h)-f(0,0) ) quand h tend vers 0 = -1
(car lim quand h -> 0 , - h³/h³ = -1)

donc comme f/x (0,0)

f/y (0,0) f n'admet pas de dérivées partielles en (0,0).

est-ce que ce que j'affirme est juste ?
en attente de votre réponse.....merci

Posté par Tigweg Tigweg

Salut (re!) shelzy01!


Tout ce que tu dis est juste...sauf la conclusion! (et aussi "f(x,y) = f(0,0) quand x tend vers 0 ": il faut remplacer le signe = par "tend vers", mais je pense que c'est une coquille).



Les dérivées partielles existent bien en (0;0), mais rien ne les oblige à être égales pour exister!



En fait le couple formé de ces deux dérivées partielles va constituer le seul couple-candidat pour voir si f est différentiable en 0: si elle l'est, alors nécessairement on aura:






Mais je pense que c'est l'objet de la question suivante!

Posté par shelzy01 shelzy01

Bonsoir Tigweg  !!

Ah oui, je viens de comprendre la différence, donc les dérivées partielles existent en un point donné lorsqu'on obtiens quelque chose (un nombre).

et la question suivante on demande:

f est-elle différentiable en (0,0) ?
non, car malgrés l'existence des dérivées partielles comme 1-1, f n'est pas différentiable en (0,0).

c'est ça ? (Je pense ).

Petite question:
si on aurait obtenu:
f/x(0,0)=1 et f/y(0,0)=1, dans ce cas f aurait été différentiable, c'est ça ?

Merci pour ton aide

(Précision: pour la différentiabilité je l'aurais prouvé avec la formule etc...)

Posté par Tigweg Tigweg

En fait, je crois que tu es en train de faire une grave confusion, shelzy01:

Quand on veut prouver qu'une fonction réelle f n'est pas dérivable en un point a, il suffit de prouver que les dérivées à droite et à gauche de f en a ne sont pas égales.Réciproquement, si elles sont égales, alors f est dérivable en a.

Quand on veut prouver qu'une fonction de deux variables x et y n'est pas différentiable en un point (a;b), il suffit de prouver qu'il existe une direction (un vecteur) dans laquelle f n'est pas dérivable.

La dérivée partielle par rapport à x coïncide avec la dérivée directionnelle selon le vecteur (1;0), celle par rapport à y coïncide avec la dérivée directionnelle selon le vecteur (0;1).


Mais la différentiabilité de f en (a;b) n'est en rien liée à une certaine stabilité des dérivées directionnelles en ce point.


La différentielle de f:R²->R en (a;b), si elle existe, est une application linéaire de R² dans R, autrement dit une matrice-ligne de format 2X1, autrement dit un couple de deux nombres.


Ces deux nombres n'ont donc pas plus de raison d'être égaux qu'une forme linéaire d'être un multiple de la forme (x;y)->x+y.


Mais comme je te le disais hier soir, ce n'est pas non plus parce que f est dérivable selon x et selon y en (a;b) que f y est forcément différentiable.



A ce stade, on sait seulement que si f est différentiable en (a,b), alors        


Pour prouver que cela est faux, il s'agit donc de prouver qu'il n'existe aucune fonction              de limite 0 en (0;0) telle que pour tout (x,y) assez proche de (0;0) on ait:






soit





Passe en polaires, c'est assez immédiat.

Posté par shelzy01 shelzy01

Bonjour Tigweg

Ok !! , je viens de comprendre mes erreurs, c'est vrai je ne me souvenais plus de ceci:


Donc f n'est pas différentiable car lorsqu'on passe en coordonnée polaire on obtiens:

(x,y) =  (rcos,rsin) = (cos³ - sin³ - cos + sin) et ceci quand r tend vers 0 0

Voilà je pense avoir tout compris, je t'en remercie, surtout pour tous ces  détails , merci et bonne journée

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour shelzy01,

tout-à-fait d'accord avec ta conclusion, je tombe sur la même fonction

Avec plaisir!