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Matrice trigonalisable

   
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maths supMatrice trigonalisable

#msg1928617 Posté le 04-07-08 à 13:18
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonjour

Je me souviens de l'énoncé d'un exercice, mais j'ai oublié la résolution, pouvez-vous m'aider ?

Citation :
Soit 3$A\in\mathcal{M}_n({\bb R}) telle que 3$\chi_A soit scindé. Montrer que 3$\rm\fbox{Tr(A^2+A+I)\ge{4$\fr{3n}{4}


Soit 3$A\in\mathcal{M}_n({\bb R}) telle que son polynôme caractéristique soit scindé dans 3$\bb R. Donc 3$A est trigonalisable.

Il existe une matrice inversible 3$P et une matrice triangulaire 3$T tq : 3$A=PTP^{-1

Ensuite il y a une histoire de 3$\lambda^2+\lambda+1=\(\lambda+\fr12\)^2+\fr34\ge\fr34 mais je ne sais plus ce qu'est 3$\lambda ...

Merci
re : Matrice trigonalisable#msg1928620 Posté le 04-07-08 à 13:24
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Salut

Soit T une matrice trigonale semblable à A.

On a 3$\rm A^{2}+A+I=PT^{2}P^{-1}+PTP^{-1}+I=P\(T^{2}+T+I\)P^{-1}

D'où :
3$\rm tr(A^{2}+A+I)=tr(T^{2}+T+I)

En notant 3$\rm \lambda_{i} les n valeurs propres de A (distinctes ou non), on a :
3$\rm tr(T^{2}+T+I)=\Bigsum_{i=0}^{n} (\lambda_{i}^{2}+\lambda_{i}+1\)\ge \Bigsum_{i=0}^{n} \frac{3}{4}=\frac{3}{4}n

re : Matrice trigonalisable#msg1928621 Posté le 04-07-08 à 13:24
Posté par Profilinfophile infophile

Hello

Valeur propre ?
re : Matrice trigonalisable#msg1928622 Posté le 04-07-08 à 13:24
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut Guillaume

On sait que la trace ne dépend pas de la base dans laquelle on se place. D'où il vient que Tr(A²+A+I)=Tr(T²+T+I).

Tu vois toujours pas d'où vient le "l²+l+1"?

re : Matrice trigonalisable#msg1928623 Posté le 04-07-08 à 13:24
Posté par Profilinfophile infophile

Arf grillé salut Jord
re : Matrice trigonalisable#msg1928624 Posté le 04-07-08 à 13:24
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Waouh, pas mal le grillage!

re : Matrice trigonalisable#msg1928626 Posté le 04-07-08 à 13:25
Posté par Profilinfophile infophile

Salut vieux
re : Matrice trigonalisable#msg1928627 Posté le 04-07-08 à 13:26
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut vieux
re : Matrice trigonalisable#msg1928632 Posté le 04-07-08 à 13:31
Posté par ProfilNightmare Nightmare Moderateur

Salut à tous
re : Matrice trigonalisable#msg1928638 Posté le 04-07-08 à 13:36
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Chalut tout le monde

Jord > La somme commence à 1 me semble-t-il

Ok !!

Donc sur la première diagonale de T, on retrouve les n valeurs propres de A ? Je ne savais pas
re : Matrice trigonalisable#msg1928643 Posté le 04-07-08 à 13:38
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pourquoi? Avant tu mettais quoi sur la diagonale?

re : Matrice trigonalisable#msg1928649 Posté le 04-07-08 à 13:42
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Je croyais qu'on la construisait à la main, et que les aij étaient dûs au hasard

Zavez sous la main une matrice que je me ferai un plaisir à trigonaliser ?
re : Matrice trigonalisable#msg1928658 Posté le 04-07-08 à 13:46
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Jn (la matrice n*n avec que des 1 partout).

re : Matrice trigonalisable#msg1928660 Posté le 04-07-08 à 13:46
Posté par Profillyonnais lyonnais

Salut gui_tou

Je te propose :

3$\rm A = \(\begin{tabular}3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\end{tabular}\)

Enjoy
re : Matrice trigonalisable#msg1928662 Posté le 04-07-08 à 13:47
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Merci vous deux, je m'y mets

(j'aime pas ce "" sarcastique, Romain )
re : Matrice trigonalisable#msg1928703 Posté le 04-07-08 à 14:48
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Super instructif, ma première trigonalisation (j'ai pas mal galéré, merci wiki ^^)

Romain >>

3$\rm A=\(\array{3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\) \\ P=\(\array{0&1&1\\1&1&0\\0&0&1\) \\ T=\(\array{1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\)   et  ba tenez-vous bien :  3$\rm\fbox{A=PTP^{-1

Ayoub > Let's go pour Jn
re : Matrice trigonalisable#msg1928706 Posté le 04-07-08 à 14:49
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Mince, 3$\rm P=\(\array{0&1&0\\1&1&0\\1&0&1\)
re : Matrice trigonalisable#msg1928724 Posté le 04-07-08 à 15:10
Posté par Profillyonnais lyonnais

Gui_tou >

Je suis Ok ! J'ai pareil   
re : Matrice trigonalisable#msg1928792 Posté le 04-07-08 à 16:33
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Jn a deux valeurs propres 0 (ordre de multiplicité : n-1) et n
re : Matrice trigonalisable#msg1928909 Posté le 04-07-08 à 17:49
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Quelqu'un sait pourquoi on appelle cette matrice atilla?

Salut tout le monde !
re : Matrice trigonalisable#msg1928911 Posté le 04-07-08 à 17:50
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Il n'y que des Huns ?
re : Matrice trigonalisable#msg1929659 Posté le 05-07-08 à 22:14
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Re.

Soit Jn la matrice n*n avec des 1 partout.

Jn a deux valeurs propres : 0 (ordre de multiplicité n-1) et n.

Donc notre triangulaire sera de la forme 3$\rm\(\array{n&*&*&*&*\\0&0&*&*&*\\0&0&0&*&*\\0&0&0&0&*\\0&0&0&0&0\)\in\mathcal{M}_n({\bb R})

Je cherche une base de l'espace propre associé à la valeur propre n... et je ne trouve pas Idem pour le sep associé à 0

une aide Ayoub ?

Merci
re : Matrice trigonalisable#msg1929661 Posté le 05-07-08 à 22:26
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Bonjour à tous,

le sep associé à la valeur propre n est la droite engendrée par   4$\rm\(1\\1\\.\\.\\.\\1\) ;

le sep associé à la valeur propre 0 est l'hyperplan d'équation          4$\rm x_1+x_2+...+x_n=0      
re : Matrice trigonalisable#msg1929683 Posté le 05-07-08 à 22:55
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Hello Greg

Comment tu trouves que le sep associé à n a pour base 3$\rm\(1\\1\\.\\.\\.\\1\) ?

Parce qu'en résolvant 3$J_n\(x_1\\x_2\\.\\.\\.\\x_n\)=n\(x_1\\x_2\\.\\.\\.\\x_n\) je tombe sur 3$\{(1-n)x_1+x_2+...+x_n=0\\x_1+(1-n)x_2+...+x_n=0\\...\\x_1+x_2+...+(1-n)x_n=0

et j'ai du mal à trouver une base de ce truc !

Ok pour le sep associé à 0, je l'avais en fait

En écrivant 3$\{x_1=-x_2-x_3-...-x_2\\x_2=1x_2+0x_3+...+0x_n\\x_3=0x_2+1x_3+...+0x_n\\...\\x_n=0x_2+0x_3+...+0x_n  j'ai les coordonnées des vecteurs de ma nouvelle base !

Donc 3$\rm P=\(\array{1&-1&-1&...&-1\\1&1&0&...&0\\1&0&1&...&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&...&1\)    et   3$\rm T=\(\array{n&0&\ldots&0\\0&0&\ldots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\ldots&0\)

3$\rm\blue\fbox{\fbox{J_n\,=\,PTP^{-1
re : Matrice trigonalisable#msg1929751 Posté le 06-07-08 à 00:22
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Observe que l'image de    4$\rm u=\(1\\1\\.\\.\\.\\1\)     est        4$\rm n.u    .

Et comme le sep associé est de dimension 1,    4$\rm (u)    en constitue une base!
re : Matrice trigonalisable#msg1929752 Posté le 06-07-08 à 00:25
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Okkkkkkkk !!

Merciiii Greg !!

Et merci à tous ceux qui sont intervenus sur ce post

Greg > Allez, à toi de me proposer une matrice à diagonaliser ou trigonaliser
re : Matrice trigonalisable#msg1929755 Posté le 06-07-08 à 00:27
Posté par ProfilTigweg Tigweg

Avec plaisir

Je crois que je vais aller diagonaliser mon lit plutôt

Je le trigonaliserai d'ici 20 an, quand j'aurai pris assez de bide!
re : Matrice trigonalisable#msg1929756 Posté le 06-07-08 à 00:28
Posté par ProfilTigweg Tigweg

ans*

Sur ce bonne nuit Guillaume!

re : Matrice trigonalisable#msg1929757 Posté le 06-07-08 à 00:28
Posté par Profilgui_tou gui_tou

re : Matrice trigonalisable#msg1929758 Posté le 06-07-08 à 00:29
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonne nuit et encore merci Greg
re : Matrice trigonalisable#msg1929759 Posté le 06-07-08 à 00:29
Posté par ProfilTigweg Tigweg

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