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Niveau Maths sup
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Matrice trigonalisable

Posté par
gui_tou
04-07-08 à 13:18

Bonjour

Je me souviens de l'énoncé d'un exercice, mais j'ai oublié la résolution, pouvez-vous m'aider ?

Citation :
Soit 3$A\in\mathcal{M}_n({\bb R}) telle que 3$\chi_A soit scindé. Montrer que 3$\rm\fbox{Tr(A^2+A+I)\ge{4$\fr{3n}{4}


Soit 3$A\in\mathcal{M}_n({\bb R}) telle que son polynôme caractéristique soit scindé dans 3$\bb R. Donc 3$A est trigonalisable.

Il existe une matrice inversible 3$P et une matrice triangulaire 3$T tq : 3$A=PTP^{-1

Ensuite il y a une histoire de 3$\lambda^2+\lambda+1=\(\lambda+\fr12\)^2+\fr34\ge\fr34 mais je ne sais plus ce qu'est 3$\lambda ...

Merci

Posté par
Nightmare
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:24

Salut

Soit T une matrice trigonale semblable à A.

On a 3$\rm A^{2}+A+I=PT^{2}P^{-1}+PTP^{-1}+I=P\(T^{2}+T+I\)P^{-1}

D'où :
3$\rm tr(A^{2}+A+I)=tr(T^{2}+T+I)

En notant 3$\rm \lambda_{i} les n valeurs propres de A (distinctes ou non), on a :
3$\rm tr(T^{2}+T+I)=\Bigsum_{i=0}^{n} (\lambda_{i}^{2}+\lambda_{i}+1\)\ge \Bigsum_{i=0}^{n} \frac{3}{4}=\frac{3}{4}n

Posté par
infophile
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:24

Hello

Valeur propre ?

Posté par
1 Schumi 1
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:24

Salut Guillaume

On sait que la trace ne dépend pas de la base dans laquelle on se place. D'où il vient que Tr(A²+A+I)=Tr(T²+T+I).

Tu vois toujours pas d'où vient le "l²+l+1"?

Posté par
infophile
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:24

Arf grillé salut Jord

Posté par
1 Schumi 1
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:24

Waouh, pas mal le grillage!

Posté par
infophile
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:25

Salut vieux

Posté par
1 Schumi 1
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:26

Salut vieux

Posté par
Nightmare
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:31

Salut à tous

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:36

Chalut tout le monde

Jord > La somme commence à 1 me semble-t-il

Ok !!

Donc sur la première diagonale de T, on retrouve les n valeurs propres de A ? Je ne savais pas

Posté par
1 Schumi 1
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:38

Pourquoi? Avant tu mettais quoi sur la diagonale?

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:42

Je croyais qu'on la construisait à la main, et que les aij étaient dûs au hasard

Zavez sous la main une matrice que je me ferai un plaisir à trigonaliser ?

Posté par
1 Schumi 1
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:46

Jn (la matrice n*n avec que des 1 partout).

Posté par
lyonnais
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:46

Salut gui_tou

Je te propose :

3$\rm A = \(\begin{tabular}3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\end{tabular}\)

Enjoy

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 13:47

Merci vous deux, je m'y mets

(j'aime pas ce "" sarcastique, Romain )

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 14:48

Super instructif, ma première trigonalisation (j'ai pas mal galéré, merci wiki ^^)

Romain >>

3$\rm A=\(\array{3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\)
 \\ P=\(\array{0&1&1\\1&1&0\\0&0&1\)
 \\ T=\(\array{1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\)   et  ba tenez-vous bien :  3$\rm\fbox{A=PTP^{-1

Ayoub > Let's go pour Jn

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 14:49

Mince, 3$\rm P=\(\array{0&1&0\\1&1&0\\1&0&1\)

Posté par
lyonnais
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 15:10

Gui_tou >

Je suis Ok ! J'ai pareil   

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 16:33

Jn a deux valeurs propres 0 (ordre de multiplicité : n-1) et n

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 17:49

Quelqu'un sait pourquoi on appelle cette matrice atilla?

Salut tout le monde !

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 04-07-08 à 17:50

Il n'y que des Huns ?

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 05-07-08 à 22:14

Re.

Soit Jn la matrice n*n avec des 1 partout.

Jn a deux valeurs propres : 0 (ordre de multiplicité n-1) et n.

Donc notre triangulaire sera de la forme 3$\rm\(\array{n&*&*&*&*\\0&0&*&*&*\\0&0&0&*&*\\0&0&0&0&*\\0&0&0&0&0\)\in\mathcal{M}_n({\bb R})

Je cherche une base de l'espace propre associé à la valeur propre n... et je ne trouve pas Idem pour le sep associé à 0

une aide Ayoub ?

Merci

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Matrice trigonalisable 05-07-08 à 22:26

Bonjour à tous,

le sep associé à la valeur propre n est la droite engendrée par 4$\rm\(1\\1\\.\\.\\.\\1\) ;

le sep associé à la valeur propre 0 est l'hyperplan d'équation 4$\rm x_1+x_2+...+x_n=0

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 05-07-08 à 22:55

Hello Greg

Comment tu trouves que le sep associé à n a pour base 3$\rm\(1\\1\\.\\.\\.\\1\) ?

Parce qu'en résolvant 3$J_n\(x_1\\x_2\\.\\.\\.\\x_n\)=n\(x_1\\x_2\\.\\.\\.\\x_n\) je tombe sur 3$\{(1-n)x_1+x_2+...+x_n=0\\x_1+(1-n)x_2+...+x_n=0\\...\\x_1+x_2+...+(1-n)x_n=0

et j'ai du mal à trouver une base de ce truc !

Ok pour le sep associé à 0, je l'avais en fait

En écrivant 3$\{x_1=-x_2-x_3-...-x_2\\x_2=1x_2+0x_3+...+0x_n\\x_3=0x_2+1x_3+...+0x_n\\...\\x_n=0x_2+0x_3+...+0x_n  j'ai les coordonnées des vecteurs de ma nouvelle base !

Donc 3$\rm P=\(\array{1&-1&-1&...&-1\\1&1&0&...&0\\1&0&1&...&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&...&1\)    et   3$\rm T=\(\array{n&0&\ldots&0\\0&0&\ldots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\ldots&0\)

3$\rm\blue\fbox{\fbox{J_n\,=\,PTP^{-1

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Matrice trigonalisable 06-07-08 à 00:22

Observe que l'image de 4$\rm u=\(1\\1\\.\\.\\.\\1\) est 4$\rm n.u .

Et comme le sep associé est de dimension 1, 4$\rm (u) en constitue une base!

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 06-07-08 à 00:25

Okkkkkkkk !!

Merciiii Greg !!

Et merci à tous ceux qui sont intervenus sur ce post

Greg > Allez, à toi de me proposer une matrice à diagonaliser ou trigonaliser

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Matrice trigonalisable 06-07-08 à 00:27

Avec plaisir

Je crois que je vais aller diagonaliser mon lit plutôt

Je le trigonaliserai d'ici 20 an, quand j'aurai pris assez de bide!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Matrice trigonalisable 06-07-08 à 00:28

ans*

Sur ce bonne nuit Guillaume!

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 06-07-08 à 00:28

Posté par
gui_tou
re : Matrice trigonalisable 06-07-08 à 00:29

Bonne nuit et encore merci Greg

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Matrice trigonalisable 06-07-08 à 00:29



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