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Exercice défi (2) => Fonction trigonométrique de 2 variables

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1)

Calculons le laplacien de f

Donc f est harmonique

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2)

On pose u = e^y.


avec ln la détermination principale du logarithme, c'est à dire sur C\R^-, étant donné qu'on intègre par rapport à u de partie réelle plus grande que 1 et que e^ix est de module 1.
On a de plus d'après cette formule -> que le ln du conjugué est le conjugué du ln, d'où comme u est réel, , ce qui donne :

D'après toujours la même formule, tend vers 0 quand M tend vers l'infini (car la partie réelle de l'argument du ln tend vers l'infini alors que sa partie imaginaire reste bornée), donc on a au final :


PS : J'ai pas vérifié mes calculs
Mais mes essais à la calculette semblent me dire que je suis tombé sur la bonne formule quand même

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3)On a
En + l'infini, avec K une constante.
En - l'infini, avec K' une constante.
Donc est intégrable, et donc F est bien définie.

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4) Les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégrale sont vérifiées car f est indéfiniment dérivable et ses dérivées partielles secondes ont un produit par intégrable car on peut voir sur les formules dont on s'est servies à la question 1°) que ces dérivées partielles sont également équivalentes à l'inverse d'une exponentielle à l'infini, modulo un coefficient multiplicatif.
Donc F est .

Le laplacien de F vaut (en dérivant sous le signe intégrale) :


Ce qui signifie que le produit de convolution d'une fonction harmonique par une fonction quelconque est à nouveau une fonction harmonique.




Sauf erreur fortement probable

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Je calcule les dérivées partielles par rapport à x :






Puis par rapport à y :






Ensuite, je somme les dérivées secondes pour calculer le Laplacien :



La paranthèse se simplifie, et donne zéro.

On a finalement

La fonction f est harmonique.

_{sauf erreur de recopie du brouillon}

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J'ai oublié le carré sur les sh, aux deux dernières lignes de calcul ...

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Je cherche les primitives des fonctions de la forme , où   (pour , on a , et )


Je pose le changement de variable


On voit que pour , le dénominateur de la fraction est irréductible dans

Je modifie l'expression, afin de faire apparaitre la dérivée d'une fonction de la forme


Ainsi,

On remplace par , avec


De plus, , et


Finalement,

On etudie le cas de la même manière, on constate que l'expression est aussi valide en , et on conclus :



J'avoue qu'il faut que je réflechisse un peu plus pour le signe du sinus, je crains d'avoir commis une erreur, mais je reporte ca à demain, je commence à etre embrumé
Au début, j'avais gardé des valeurs absolues, mais je m'en sortais plus (la fatigue )

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On cherche un équivalent de en



avec deux réels dépendants de x et y.

Ainsi, par hypothèse, est intégrable à l'infini.

L'intégrale converge absolument, donc simplement.
Donc la fonction est bien définie sur

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il ne te reste que la question 4!
Bien joué : les équivalents sont SUPER (à savoir : )

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question : dans la 3), peux-tu nous démontrer que et sont vraiment des équivalents... ?

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En + l'infini, .
On pose et alors qui tend vers 1 quand t tend vers l'infini.

En - l'infini, .
On pose et alors qui tend vers 1 quand t tend vers - l'infini.

Il y a quelque chose qui ne marche pas?

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Pour l'instant, j'admet que F est de classe, et que l'on peut dériver sous le signe intégrale, car je ne connais pas encore les fonctions définies par une intégrale. Je vais lire un cours dessus, j'y reviendrais surement prochainement.

Si je pose , pour un fixé, on a :


Or, par dérivée d'une fonction composée, on arrive facilement à:
, puis
et , puis

Ainsi,

On a finalement :

La fonction F est harmonique.

Par contre, que peut-on en conclure ?
La présence de la fonction me fait penser à la théorie de la mesure, mais comme je n'y connais absolument rien ...

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C'est bon, même si tu dois en fait montrer que F est de classe , mais si tu n'as pas encore fait le cours...tu peux te contenter de lire la réponse de Fractal (message 18:18)