Forum : fonctions polynôme :
Forme canonique d'un trinome

Bonjour!

Je n'ai rien compris au forme canonique de trinome, j'ai beau eu lire les cours, et les fiches, je comprends pas du tout la maniere et comment on trouve les forme "canonique"
Et a quoi servent elle?

merci de votre aide!

Bonjour,

Cela sert à transformer un trinôme (somme de trois termes) en un produit de facteurs.
Utile pour :
. trouver les racines du trinôme
. étudier le signe de ce trinôme

Salut

En considérant a,b,c des réels, avec a non nul, on a :



En posant , on a



¤ Si

Alors et du coup .  Donc est toujours du signe de a pour tout


¤ Si

Alors et s'annule pour une seule valeur :


¤ Si

Alors . L'équation admet exactement deux solutions réelles : et distinctes.

Exprimons et en résolvant

Bonjour Coll

La suite :



Les deux solutions réelles sont : et

D'où l'utilité de la forme canonique

Bonjour,

il s'agit de forcer l'identité a² + 2ab + b² = (a+b)² .

Intérêt: enlever un terme comportant l'inconnue x, de façon à permettre la résolution d'équations, d'inéquations, la recherche du signe d'une expression, ...

Exemple : x² + 2x + 1 = x² + 2x.1 + 1² = (x+1)² , c'est  immédiat sur ce premier exemple.

Intérêt: Comment résous-tu l'équation x²+2x+1=0 sans passer par là?Pas facile: il y a deux termes différents avec des x, et on ne peut pas les regrouper!

En revanche, une fois qu'on a mis ce trinôme sous forme canonique, l'équation devient (x+1)² = 0 d'où x = -1.

De plus, en tant que carré, cette expression est positive pour tout x, ce qui n'était pas évident avant factorisation.


Autre exemple:

x² + 2x + 9 = x² + 2.x.1 + 3²...et alors? On devrait avoir 1² à la fin, donc ça ne marche pas directement.

On "triche" donc un peu en faisant apparaître le terme 1² et en lui additionnant 8 (pour bien  avoir 9 comme au début):


x² + 2x + 9 = (x² + 2.x.1 + 1²) + 8 = (x+1)² + 8.

Conclusion: cette expression est toujours positive (somme d'un carré et d'un réel positif).

On peut encore utiliser cette forme canonique pour résoudre des équations et des inéquations.

Ex: x² + 2x + 9 = 24 équivaut à (x+1)² + 8 = 24 donc à (x+1)² = 16.

Donc x+1 vaut 4 ou -4, et x vaut 3 ou -5 .



Autres exemples:

x² + 6x + 7 = (x² + 2.x.3 + 3²) - 2 = (x+3)² - 2    : lorsque le premier terme du trinôme est x²,la valeur de "b" est toujours la moitié du coefficient de x, puisque x joue le rôle de a et que le terme central doit être 2ab.


x² - 5x + (45/4) = [x² - 2.x.(5/2) + (5/2)² ] + (20/4) =  (x - 5/2)² + 5.


J'espère que tu es convaincu de l'utilité de cette transformation à présent!

Elle permet de résoudre les équations du second degré (du type ax² + bx + c = 0 avec a non nul), et les inéquations du second dgré.

Bonjour gui_tou
C'est superbe ! Mais Vannou n'est pas resté longtemps

Hello Greg

Comme ça Vannou aura de belles réponses étayées

Bonjour Guillaume et Coll

J'ai fait très simple et très détaillé, pour plus de clarté.

Du coup, nous avons fait des approches complémentaires.

Bonjour,

Un polynôme du second degré est représenté graphiquement par une parabole.
Sa forme canonique peut servir à deux choses :
1) déterminer son extrémum (le "sommet" de la parabole)
2) dans certains cas, faciliter sa factorisation.

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Exemple avec   f(x) = x² - 4x - 5

On constate que le début du polynôme :
x² - 4x
est également le début du développement d'une identité remarquable :
(x - 2)² = x² - 4a + 4

On peut donc écrire :
f(x) = x² - 4x - 5
f(x) = (x² - 4x + 4) - 4 - 5
f(x) = (x - 2)² - 9     ce qui est la forme canonique de f(x)

Avec le polynôme mis sous cette forme, il est facile de trouver pour quelle valeur de x on obtient la valeur minimale de f(x) :
Sachant qu'un carré est toujours positif ou nul, ce minimum est égal à -9 quand (x - 2)² = 0, c'est-à-dire quand x = 2.

Si tu traces la représentation graphique de la fonction f, tu obtiendras une parabole dont le sommet est le point de coordonnées (2 ; -9).

Ensuite, pour factoriser le polynôme et trouver ses racines (c'est-à-dire résoudre l'équation f(x) = 0), on peut partir de sa forme canonique et utiliser l'identité remarquable :
a² - b² = (a + b)(a - b)
avec   a = (x - 2)   et   b = 3.

Cela donne le calcul suivant :
f(x) = (x - 2)² - 9
f(x) = (x - 2)² - 3²
f(x) = (x - 2 + 3)(x - 2 - 3)
f(x) = (x + 1)(x - 5)     ce qui est la forme factorisée de f(x)

Sachant qu'un produit est nul quand l'un des facteurs est nul, on en déduit que :
f(x) = 0     si    x = -1    ou    x = 5.

Merci les gars, Par contre la 1er ca va etre chaud, si c'est aussi dur que ca :S

Bonjour Tigweg Oui, des réponses parfaitement complémentaires !

Oups... bonjour tout le monde
on dirait que j'arrive un peu tard

Salut Flo

citation :
Merci les gars, Par contre la 1er ca va etre chaud, si c'est aussi dur que ca :S

On est d'accord, ce n'est pas très intuitif, mais essaie de comprendre vraiment, tu verras ce n'est pas si compliqué, et c'est super pratique

Coucou Flo!

Oui, c'est bien de parler d'extremum aussi, tu as raison!

Vannou> Pour ma part, je t'en prie! Par contre, c'est le chapitre le plus simple(en 1èS en tout cas), et il vaut mieux le maîtriser sur le bout des doigts!Je te rassure, avec un peu de pratique ça rentre tout seul!

Bonjour Flo08
Non, tu n'arrives pas tard puisque ton message permet de compléter les points de vue précédents.
Belle synergie et en un peu moins d'une demi-heure !

Bonjour à tous

Si cela n'a pas déjà été dit, la forme canonique sert aussi à décomposer ax²+bx+c à l'aide de fonctions simples ou "usuelles". Si cela a déjà été dit dans ce florilège, mille excuses