Forum : analyse :
Equivalent intégrale en +infini.

Bonjour,

je dois trouver l'équivalent de l'intégrale de racine(t*ln(t)) entre 1 et x quand x tend vers +infini.
Je pensais utiliser l'encadrement de ln(1+t) (t-t^2/2 et t) mais t-t^2/2 est négatif a partir de 2 donc on ne peut pas lui appliquer la racine. Je pense donc encadrer racine(t) mais je ne connais pas dencadrement en +infini...

merci d'avance.

Salut,



C'est ça ton intégrale ? (juste pour la mettre sous latex)

Lucas > tu lui pourris son topic là

L'énoncé est clair : il cherche un équivalent de quand

Non ya pas de fonction qui intervient. C'est juste l'intégrale entre 1 et x de racine(t*ln(t)). Je suis désolé cest pas très clair je sais pas écrire en latex.

Oui voila merci gui_tou.

parc64 rassure-toi c'était assez clair pour être compris. Maintenant que le topic est verdi (merci lucas ) je peux te dire que ton idée d'encadrer le log était mauvaise et même fausse.

En effet tu as encadré ln(1+t) par son DL en 0 !

C'est peut etre le debut du DL mais cet encadrement marche pour tout t>0 non ?

Oui mais bon, dès qu'on n'est plus au voisinage de 0 l'encadrement devient nul ^^

En plus on a ln(t) ^^

Oui c'est vrai. Alors comment faire ??

Bonjour, parc64

En intégrant par parties:    

Il faut maintenant montrer que      est négligeable devant        quand x tend vers l'infini  (je n'ai pas trop envie de le faire, parce que c'est fastidieux)

On déduit de ce qui précède un équivalent de l'intégrale:    

Ok merci beaucoup !!

Merci perroquet !

J'en ai une deuxième:

I(a)=int(1/(t^3+a^3)) entre 0 et 1.

Trouver un équivalent en 0 et en +infini.
Je crois avoir trouver en +infini en factorisant t^3+a^3 et en encadrant t+a.

J'obtient un encadrement qui me donne l'équivalent en +infini mais pas en 0. Je vois pas comment faire!

Merci d'avance...

J'obtiens avec un s ...
Avoir trouvé...
Désolé pour les fautes...

L'équivalent en plus l'infini, c'est   1/a^3.

Pour l'équivalent en 0, on pose le changement de variable t=au, ce qui donne:



D'où l'équivalent:  

Il reste à calculer l'intégrale, ce que Maple fait très bien

Merci faut y penser au changement de variable...

Mais je trouve pas ça en +infini.

t^3+a^3=(t+a)(t^2-at+a^2)

Je calcule l'intégrale de 1/(t^2-at+a^2) en posant t-a/2=(3*a)/2*tan(u)

Au final j'obtiens des arctan...

up!

Attention, ce n'est pas l'intégrale de   1/(t^2-at+a^2)  que tu calcules, mais l'intégrale de 1/(t^3+a^3). Tu ne peux pas utiliser un encadrement de   t+a lorsque a est voisin de 0 ...

Mais je parle quand a tend vers l'infini.
J'encadre le 1/(1+a) et calcule l'intégrale de de 1/(t^2-at+a^2)...

Ton idée est correcte; en faisant tendre a vers l'infini, tes arctan doivent se simplifier ou tu as fait une erreur de calcul.

Il y a un raisonnement très rapide:



On intègre:



On en déduit l'équivalent de I(a) que j'avais donné.

Oui j'ai cherché trop compliqué l'équivalent est bien plus simple en l'infini qu'en 0. Comment faire pour penser au changement de variable en 0 ??

C'est une astuce courante qui s'utilise beaucoup, mais plutôt en Spé, parce qu'il faut souvent utiliser le théorème de convergence dominée ensuite .