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Niveau Maths sup
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Matrices diagonalisables

Posté par
cohlar
04-07-08 à 18:44

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cet oral des Mines :
Soit A une matrice carrée à n² coefficients dans K (= R ou C) et soit
4$B=\(\array{0&2A&\\-A&3A\)
Etudier le lien entre ces deux phrases :
(i) A est diagonalisable dans K
(ii) B est diagonalisable dans K

Avec une méthode de calcul issue déjà d'un autre exercice d'oral (que je préfère donc ne pas employer si je peux éviter), j'ai montré que B=A2A (sauf erreur, où M est le ploynôme caractéristique de M) mais je ne sais pas trop quoi en déduire.

Est-ce que je pourrais avoir de l'aide? Même juste une indication pour savoir comment chercher.
Merci d'avance ^^

Posté par
erfff
re : Matrices diagonalisables 05-07-08 à 10:20

Je propose une technique "bricolage" :

Si A est diagonalisable

alors 2A l'est aussi.

Soit v une valeur propre de 2A et Xv un vecteur propre associé à v :

2A*Xv = v*Xv

Maintenant, prenons X = (Xv ; Xv)  (la concaténation en colonnes de Xv et de lui même, histoire d'obtenir un vecteur de taille 2n)

En calculant, on se rend compte que B*X = v*X et que la dimension des sous espaces propres associés à chacune des valeurs propres est la même pour B que pour A...


- Faisons la même chose en considérant B*Y où Y = (Xv,1/2*Xv)
On voit bien que Y est un nouveau vecteur propre pour B, associé à la valeur propre 1/2*v.
En faisant constatant que la dimension des sous espaces propres est la même pour B que pour A (pr un valeur propre).

PS : on peut montrer ce que tu as trouvé sur les polynomes caractéristiques maintenant.

Finalement on a montré que la somme des dimensions des sous espaces propres de B vaut 2n donc que B est diagonalisable.


(sauf erreur...)


Reste à étudier l'autre sens...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Matrices diagonalisables 06-07-08 à 16:13

Bonjour

Voici une solution assez élémentaire, un peu plus systématique que celle de errf

Seul résultat utilisé:

Si deux matrices diagonalisables commutent, il existe une base sur laquelle elles sont diagonales ce qui prouve que leur produit est diagonalisable.

Posons M=\(\begin{array}{rr}A & O\\ O & A\end{array}\) et M=\(\begin{array}{rr}O & 2I\\ -I & 3I\end{array}\) où O et I sont les matrices nulle et identité nn.

Alors: B=MN=NM.

On voit à la main que N est diagonalisable. En écrivant un vecteur v de R2n sous la forme v=(v1,v2) avec v1,v2 dans Rn, on voit uniquement à partir de la définition que 1 et 2 sont les seules valeurs propres et que les sous-espaces propres associés sont de dimension n.

Si A est diagonalisable, M l'est et alors B=MN l'est aussi.

Comme N est inversible, on a aussi A=BN-1=N-1B et N-1 est aussi
diagonalisable. Donc si B est diagonalisable, M et par suite A l'est.



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