Géométrie

Posté par ardoccs ardoccs

un petit exo

l'espace est rapporté a un RON (O,i,j,k)
Soient les points A(1;2;2);B(3;2;1)et C(1;3;3)
1)montrer que les points A,B;C forment un plan
2) Donner une équation cartésienne du plan (ABC)

alors pour le 1) j'ai calculé le vecteur AB ce qui me donne (2;0;-1)
et je fait AB.C=0 mais le probleme c'est que ca ne fait pas 0 et donc ce n'est pas orthonormal ...
et je ne vois pas trop d'autre idée vous en avez une ??
merci

Posté par ardoccs ardoccs

j'ai trouvé mais dite moi si c'est bon
je calcule le vecteur OA ce qui me donne (0;0;0
apré je fait OA.B ca me fait bien 0
puis OA.C ce qui me fait bien 0
donc c'est bien un plan
Est-ce bon ?

Posté par matovitch matovitch

Bonjour !

Sauf erreur, les vecteurs ne sont pas forcément orthogonals pour que ça forme un plan.

Posté par matovitch matovitch

Oups trois points forment forcément un plan...

Posté par ardoccs ardoccs

oui c'est ce que j'allais repondre ^^
par contre est-ce que mon raisonnement est juste ?

Posté par dhalte dhalte

Non, trois points alignés ne forment pas un plan

Posté par matovitch matovitch

et pas (0;0;0)

Posté par matovitch matovitch

Exact dhalte!

Il faut donc montrer que AB et BC ne sont pas colinéaires.

Posté par ardoccs ardoccs

c'est tout ???
il y a que ca a faire ?

Posté par matovitch matovitch

Pour la 1 oui. (je pense)

Posté par matovitch matovitch

AB (2;0;-1) BC (-2;1;2) on a 2/-20/1 (donc pas colinéaire)

Posté par ardoccs ardoccs

je trouve AB (2;0;-1) et BC (-2;1;2) donc ce n'est pas égale a AB=kBC
donc ce n'est pas colinéaire
mais je ne vois pas ce que ça prouve

Posté par matovitch matovitch

Que A,B, et C ne sont pas alignés, donc définissent un plan non ?

Posté par ardoccs ardoccs

ok et bien je me complique trop la vie ^^
par contre comment donner une équation cartésienne du plan ???

Posté par dhalte dhalte

Tu as plusieurs méthodes à ta disposition.

La plus basique :

Soit M(x,y,z) appartenant au plan, alors il existe a et b tel que AM = aAB+bAC (en vecteurs), ce qui te donne trois équations et tu supprimes a et b.

Posté par matovitch matovitch

Je sais pas vu que je passe en term.

Mais il faut 2 droites, avec A et C, tu as déjà y = z dans x = 1 ^^ (je sais pas si ça peut aider).

Avec B et C : z = -1/2x + 2,5 dans y = 2.

Posté par matovitch matovitch

Oups avec B et A (C).

Posté par ardoccs ardoccs

mdr alors la je suis completement perdu   :s

Posté par dhalte dhalte







Donc tu as les équations

x-1=2a+0b=2a
y-2=0a+1b=b
z-2=-1a+1b=-a+b

tu obtiens, en supprimant a et b de la troisième équation :
z-2=-(x-1)/2+y-2

2z-4=-x+1+2y-4

x-2y+2z=1

Et tu vérifies que A, B, C vérifient cette équation

Posté par ardoccs ardoccs

ok d'accord mais comment tu la trouver AM ??

Posté par J-P J-P

vect(AB) = (2 ; 0 ; -1)
vect(AC) = (0 ; 1 ; 1)

Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
--> les points A, B et C déterminent un et un seul plan.
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Soit le vecteur (a ; b ; c)
Il est orthogonal au vecteur(AB) et au vecteur(AC) si :
2a - c = 0
b + c = 0

Une solution de ce système est a = 1 , b = -2 et c = 2

--> plan (ABC): x - 2y + 2z + k = 0

Passe par A --> 1 - 4 + 4 + k = 0 --> k = -1

plan (ABC): x - 2y + 2z - 1 = 0
-----
Sauf distraction.

Posté par ardoccs ardoccs

ok j'ai compris merci beaucoup J-P