Forum : arithmétique :
Propriétés de la fonction modulaire J de Klein

Bonjour

Pour tout réseau L on définit , , et enfin .

Il se trouve que J possède les deux propriétés suivantes :
* Deux réseaux ont la même image par J si et seulement si ils sont semblables
* J est surjective sur C

Je cherche désespérément la démonstration de ces deux propriétés et mes recherches sur le net n'ont rien donné de très fructueux. Est-ce que quelqu'un aurait la démo, les grandes idées générales ou encore un lien vers un site où tout cela est expliqué?
Pour ceux qui l'auraient, je sais que la démonstration se situe à la page 145 du Cours d'arithmétique de Jean-Pierre Serre, mais je l'ai pas

Merci

Fractal

Bonsoir,
Je peux te faire la démo si tu veux....m'enfin pas là, je te la donnerai demain...(il faut que j'y reflechisse c'est assez élémentaire je devrais y arriver )
Sinon je savais pas que c'etait la "fonction j de klein" moi j'ai toujours appelé ca invariant modulaire ou tout simplement "j"

Je veux bien la démo s'il te plaît

Elle est appellée fonction modulaire J de Klein dans mon poly et vu que je n'en avais jamais entendu parler auparavant j'ai laissé ça, mais effectivement elle est appellée j-invariant sur la Wikipédia anglophone.

Fractal

En fait ca depend de ce que sait et du sous quel angle tu veux voir la démo....

Et j'ai quoi comme choix possibles pour l'angle sous lequel voir la démo?

Je ne sais pas quelle connaissances je suis censé avoir mais j'ai un livre d'analyse complexe à côté de moi, et si les connaissances nécessaires que je pourrais ne pas avoir sont disponibles sur wiki, je les acquerrai au fur et à mesure.

Fractal

Ben le truc c'est que justement c'est plus simple de le voir sans analyse complexe...c'est un resultat general sur les courbes elliptiques sur un corps quelconque...c'est assez simple en fait...
LE truc c'est que les isomorphismes ne sont pas définis a priori de la meme façon et on passe de l'un a l'autre par un théorème non trivial...le théorème d'algébrisation de Riemann...

Quels isomorphismes?Tu veux dire que le J d'une courbe elliptique quelconque correspond effectivement à la fonction J donnée dans mon premier post, mais que ce n'est pas facile de le voir?

En tous cas peu importe s'il n'y a pas d'analyse complexe, je veux juste savoir pourquoi ces deux propriétés de J sont vraies, peu importe la méthode du moment qu'elle marche.

_{(pourquoi est-ce que Google ne connait pas le théorème d'algébrisation de Riemann?)}

Fractal

Pour le fait que j soit surjective c'est plus tendu....j'y reflechi...je te dis demain...

Oki

Fractal

Ben pour la première ca vient du fait que si tu te donnes deux modeles de Weirestarss d'un courbes ellitpiques les seuls reparamterisation sont de la forme

x=u²x'+r et y=u^3y'+u²sx'+t

Et donc j est bien invriant sur des courbes ellitpiques isomorphes.

Pour la reciproque, cherche un isomorphisme sous la forme (x,y)=(u²x',u^3y') et en diiscutant s'il y a un node ou un cusp tu trouves l'isomorphisme explicitement...
Maintenant des courbes elliptiques sur C sont isomorphes ssi le reseau qui les definissent sont homotetiques.

Comment on voit que des courbes elliptiques sur C sont isomorphes ssi les réseaux qui les définissent sont homothétiques?
Pour moi une courbe elliptique c'est un ensemble de couples de complexes (x,y) vérifiant y² = 4x³ - ax - b, et il n'y a même pas a priori de réseau en jeu.

Fractal

En fait, je n'ai jamais eu de cours sur les courbes elliptiques, et je veux comprendre à fond ce que je fais.
Donc ça ne me dérange absolument pas de devoir passer par les courbes elliptiques (au contraire) mais du coup je veux pouvoir redémontrer tous les résultats nécessaires.

Fractal

Bon,
Alors deja une courbe elliptique sur un corps quelconque k, c'est plus ou moins ce que tu dis oui (il faut rajouter un point à l'infini) en fait une courpe ellitpîque sur k c'est tout simplement une courbe projective lisse de genre 1.

Sur C c'est donc un tore en tant qu surface de Riemann, donc une courbe elliptique complexe c'est tout simplement C/L ou L est un resau de C. C'est donc un groupe de Lie complexe.

Maintenant tu dois certaineemnt savoir que le corps des fonctions meromorphes sur C/L c'est C[p,p'] ou p est la fonction de Weierstrass associée au reseau.

Or ces deux fonctions vérfient la relation p'²=4p^3-g_2p-g_3 ce qui forunit un isomorphisme de surfaces de riemann (et de groupes de Lie complexes) entre C/L et une courbe elliptique disons "algébrique"( encore faut il montrer que les fonctions moromorphes sont rationnelles ce qui est trivial, et que la loi de groupe est algébrique ce qui est plus dur...)

Bon maintenant sur C, une isogénie entre C/L et C/L' c'est un isomorphisme de groupe de Lie (ou plus simplement un morphisme de durfaces de riemann verifiant f(0)=0, on peut montrer que cette condition suffut afaire de f un morphisme de groupes). Ca correspond a la notion classique d'isogénie mais on peut s'en passer sur C. Mainteant les isogénies entre E et E' sont paramétrées par C, et deux courbes elliptiques sont isogènes sur C (donc diffeomorphes) ssi les resau qui les definissent sont homotetiques...

Bon ca apr

Voila pour les courbes elliptiques sur C

Bon Ca parait compliqué tout ça. Ca l'est pas...et si tu te concentres uniquement sur la partie complexe en une apres midi tu peux avoir fait le minimum de la thoéire.

A partir de là il est facile de montrer que deux resaux sont homotetiques ssi ils ont le même j puisque j paramètre les courbes ellitpiques. (En fait on peut voir a la main que deux courbes ellitpiques complexes sont diffeomorphes ssi le resau qui les engendre sont homotetiques).

Pour le reste, je t'envoie la demo apres...la je vais me doucher...

Sinon je dois avoir le cours d'arithetique de Serre qui traine par là....je peux regarder comment lui s'y  prend...

AH mais je suis bete!! On peut s'en sortir de manière super elementaire...En utilisant que les fontiosn g_i sont des formes modulaires....Je sais aps si tu conais cette notion...

CA doit etre precisement le point de vue adopté par Serre, puisque dans son bouqin il parle essentiellement de formes modulaires...Si tu sais que j est une forme modulaire de poids nul (une focntion modulaire quoi...), alors si par semblable pour des resaux tu entends conjugués sous l'action de SL(2,Z), alors c'est trivial (du moins pour la première propriété)...JE reflechis pour la seconde...

OK pour la surjectivité, on s'en sort sans probleme avec la formule k/12, est ce que tu l'as vu?

Par semblable pour des réseaux j'entends qu'il existe un nombre complexe non nul a tel que .
Pour la notion de forme modulaire et de fonction modulaire, je connais à peu près. Donc je suis d'accord que si deux réseaux sont semblables ils ont le même j, mais est-ce que la réciproque est évidente?

La formule k/12 ne me dit rien mais peut-être que je l'ai déjà vue sous un autre nom.
Qu'est-ce que c'est?

Fractal

Suppose que deux resaux L et L', ont le même j, alors il existe tau, tau' dans le domaine fondamental H/Sl(2,Z) tel que L=Z+tauZ et L'=Z+tau'Z à homotetie pres, j(L)=j(L') implique j(tau)=j(tau'). Mainteant il te suffit de montrer que j induit ue bijection de H/Sl(2,Z) sur C, et ça c'est la formule k/12 qui dit que pour une forme modulaire (meromorphe) de poids k alors

Heu dans ma formule k/12 j'ai oublié justement le , qu'il faut rajouter pour une forme non cuspidale (non nulle en l'infini)

Pour la fonction j le vaut 1, cea vient de son q-developpement qui se trouve a partir de celui des fonctions g_i d'eisenstein.