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Quelques limites

   
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#msg1929302 Posté le 05-07-08 à 13:58
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Bonjour à tous, je me prépare pour ma classe prépa MP et y'a vraiment des questions de la mort. Par exemple comment determiner ce type de limite.

lim x->0  sin(2x)/3x


lim x->0  ln(1-x)/x

lim x-> +inf  x * sin(1/x)

Voila merci d'avance.
re : Quelques limites#msg1929303 Posté le 05-07-08 à 13:59
Posté par Profilgui_tou gui_tou

salut

fais apparaître des taux d'accroissements
re : Quelques limites#msg1929307 Posté le 05-07-08 à 14:05
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Alors pour la premiere sa fait

sin'(0) = sin (2x) - 0 / 2x -0 mais 2x sa n'est pas 3x non ?
re : Quelques limites#msg1929323 Posté le 05-07-08 à 14:31
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Alors force le calcul pour faire apparaître 2x

4$\fr{\sin(2x)}{3x}=\fr{\sin(2x)}{2x}.\fr{2x}{3x}=\fr23.\fr{\sin(2x)}{2x}
re : Quelques limites#msg1929333 Posté le 05-07-08 à 14:43
Posté par Profilmomo4735 momo4735

ok donc la premiere limite est 2/3 maintenant pour la deuxieme on a ln(1-x)/x = ln(1-x)/1-x *1-x /x  mais là on a un probleme c'est que ln'(0) n'est pas défini et on ne sait pas si on est sur 0+ ou 0- donc comment sortir de l'impasse ?
re : Quelques limites#msg1929337 Posté le 05-07-08 à 14:45
Posté par ProfilDrysss Drysss

pour la 1ere, tu connais la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 (théoriquement c'est dans le cours).

Tu poses X=2x et tu obtiens :

\frac{sin(X)}{\frac{3X}{2}}= \frac{2}{3}\times \frac{sin(X)}{X}
re : Quelques limites#msg1929360 Posté le 05-07-08 à 15:04
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Merci et pour les 2 autres ?
re : Quelques limites#msg1929362 Posté le 05-07-08 à 15:05
Posté par Profilgui_tou gui_tou

4$\fr{\ell n(1-x}{x}=\fr{\ell n(1-x)-\ell n(1-0)}{x-0}
re : Quelques limites#msg1929373 Posté le 05-07-08 à 15:12
Posté par Profilmomo4735 momo4735

au dénominateur on doit pas plutot avoir 1-x-0

car ici X = 1-x
re : Quelques limites#msg1929375 Posté le 05-07-08 à 15:15
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Avec 3$f(x)=\ell n(1-x), on a 4$\fr{\ell n(1-x)}{x}=\fr{f(x)-f(0)}{x-0} donc 3$\lim_{x\to0}\,\fr{\ell n(1-x)}{x}=f'(0)

Avec 3$f'(x)=\fr{-1}{1-x}, on a 3$f'(0)=-1
re : Quelques limites#msg1929376 Posté le 05-07-08 à 15:18
Posté par Profilmomo4735 momo4735

daccord mais alors je comprend pas pourquoi pour la 1ere on devait faire apparaitre sin(2x)-sin(0) /2x -0 et non pas sin(2x) -sin (0) /x -0
re : Quelques limites#msg1929377 Posté le 05-07-08 à 15:18
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Parce que la fonction associée à la limite n'est pas sin(x) mais bien sin(2x) !
re : Quelques limites#msg1929378 Posté le 05-07-08 à 15:20
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Mais ici, ce n'est pas ln (x) la fonction associée a la limite mais ln (1-x ) non ?
re : Quelques limites#msg1929379 Posté le 05-07-08 à 15:21
Posté par Profilgui_tou gui_tou

oui c'est pour ça que j'ai posé f(x)=ln(1-x) ^^
re : Quelques limites#msg1929382 Posté le 05-07-08 à 15:26
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Mais j'arrive pas à comprendre si tu pose f(x) = ln(1-x) dans ce cas f(x) - f(0) /x -0  = ln (1-x ) - ln(1-0) / 1-x -0 ???
re : Quelques limites#msg1929383 Posté le 05-07-08 à 15:28
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Non revois la notion de nombre dérivé
re : Quelques limites#msg1929384 Posté le 05-07-08 à 15:31
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Pour mieux comprendre j'aimerai savoir ce qu'on aurait eu si la fonction était cette fois-ci ln(3x +2) /x

ln(3x+2) /x = ln (3x+2) - ln(2) / x -0 ?
re : Quelques limites#msg1929385 Posté le 05-07-08 à 15:33
Posté par Profilgui_tou gui_tou

ba non puisque ln(2) est non nul

dans l'exemple f(x)=ln(1-x), l'astuce f(x)/x = (f(x)-f(0))/(x-0) fonctionn car f(0)=0
re : Quelques limites#msg1929387 Posté le 05-07-08 à 15:34
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Ahhh mais oui je suis trop bête merci
re : Quelques limites#msg1929390 Posté le 05-07-08 à 15:41
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Une derniere question si on avait posé pour la 1ere limite f(x) = sin(2x) on aurait obtenu f(x) -f (0) / x-0 = sin (2x) / x et non sin(2x) / 2x

Je crois que plus je réfléchis et plus je membrouille
re : Quelques limites#msg1929392 Posté le 05-07-08 à 15:44
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Pour la première limite on aurait forcé le calcul, c'est à dire qu'on aurait mis 2x au dénominateur, quitte à ajuster ensuite (comme je l'ai fait d'ailleurs )
re : Quelques limites#msg1929396 Posté le 05-07-08 à 15:47
Posté par ProfilDrysss Drysss

La 3ème est assez semblable à la 1ere, un changement de variable et c'est bon.

Par contre, bravo guitou pour la 2eme. J'aurais pas pensé à faire apparaitre la dérivée de ln(1-x) ^^
re : Quelques limites#msg1929447 Posté le 05-07-08 à 17:20
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Voilà une quatrième qui me pose aussi probleme

lim x -> +inf  sin(2x)/ ln (1+x)
re : Quelques limites#msg1929525 Posté le 05-07-08 à 18:30
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Je pose 3$f(x)={4$\fr{\sin(2x)}{\ell n(1+x)

¤ Limite en 0

On écrit :

3$f(x)={4$\fr{\sin(2x)}{\ell n(1+x)}=\fr{\sin(2x)}{x}\times\fr{x}{\ell n(1+x)}=\fr{\sin(2x)-\sin(2\times0)}{x-0}\times\fr{x-0}{\ell n(1+x)-\ell n(1+0)}=2\times\fr{\sin(2x)-\sin(2\times0)}{2x-0}\times\fr{x-0}{\ell n(1+x)-\ell n(1+0)}

Or 4$\{\lim_{x\to0}\,\fr{\sin(2x)-\sin(2\times0)}{2x-0}=1\\\rm{et}\\\lim_{x\to0}\,\fr{x-0}{\ell n(1+x)-\ell n(1+0)}=1

Donc 3$\fbox{\fbox{\lim_{x\to0}\,f(x)=2


¤ Limite en 3$+\infty

Comme 3$\forall t\in{\bb R},\;0\le|\sin(t)|\le1

on a 3^$\forall x\in]0,+\infty[,\;0\le|f(x)|\le{4$\fr{1}{\ell n(1+x)

Or 3$\lim_{x\to+\infty}\,{4$\fr{1}{\ell n(1+x)}=0   donc    3$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\,|f(x)|=0  et donc  3$\fbox{\fbox{\lim_{x\to+\infty}\,f(x)=0
re : Quelques limites#msg1929562 Posté le 05-07-08 à 19:10
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Merci beaucoup.
re : Quelques limites#msg1929580 Posté le 05-07-08 à 19:42
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Pour cette limite j'ai fais un raisonnement qui me parait correct mais qui graphiquement est faux.

lim x-> -1+   sin (2x)/ ln(1+x)

on a lim sin (2x) x-> -1+ = sin (-2) et lim x-> -1+ ln (1+x) = lim x->0+ ln(x) = -inf  donc lim sin (2x) / ln (1+x)  x-> -1+ = 0

Cependant graphiquement je trouve 2 où est mon erreur ?

Merci de ton aide
re : Quelques limites#msg1929582 Posté le 05-07-08 à 19:45
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Graphiquement tu as lu en 0


La limite en -1 est bien 0, comme tu l'as justement montré
re : Quelques limites#msg1929594 Posté le 05-07-08 à 19:57
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Ah merci, quel imbecile que je suis.
re : Quelques limites#msg1929607 Posté le 05-07-08 à 20:11
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Mais non mais non
re : Quelques limites#msg1929762 Posté le 06-07-08 à 00:43
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Encore une limite qui me pose probleme...

sin(2x)/sin(3x) x-> pi

Merci d'avance
re : Quelques limites#msg1929789 Posté le 06-07-08 à 09:37
Posté par ProfilDrysss Drysss

toujours la même chose... (j'ai compris le truc ^^)

Sin(2x)/sin(3x) =(sin(2x)/x)*(x/sin(3x))
D'une part : (sin(2x)-sin(2pi))/(x-pi)
Quand x--> pi, c'est la dérivée de la fonction sin(2x)
re : Quelques limites#msg1929832 Posté le 06-07-08 à 12:07
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Exact Dryss

momo4735, attention celà dit à la dérivée de sin(2x)
re : Quelques limites#msg1929833 Posté le 06-07-08 à 12:07
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Oui mais pour ce type de limite on a fait apparaitre 2x au dénominateur  j'en déduit que pour sin(3x) il faut faire apparaitre 3x au numérateur non ?
re : Quelques limites#msg1929834 Posté le 06-07-08 à 12:11
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Si on fait apparaître 2x, c'est qu'on veut tomber sur 4$\fr{\sin(2x)}{2x qui tend vers 1, par le changement de variable 3$X=2x

En revanche, en posant 3$f(x)=\sin(2x), on a directement 4$\fr{\sin(2x)}{x}=\fr{f(x)-f(0)}{x-0. Comme f est dérivable en 0, la limite de 4$\fr{f(x)-f(0)}{x-0 vaut 3$f'(0).

Donc en gros,

¤ soit tu fais apparaître la limite usuelle 3$\rm\fbox{\lim_{X\to0}\,{4$\fr{\sin(X)}{X}}=1 en ajustant au niveau des 2x, 3x etc.

¤ soit tu fais apparaître des nombres dérivés
re : Quelques limites#msg1929837 Posté le 06-07-08 à 12:19
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Dans ce cas j'aimerais revenir sur deux choses.

Premierement lors du message d'hier pour la limite de sin(2x)/ln(1+x) tu obtien sin(2x)-sin(0)/x-0 * x-0 / ln(1+x) - ln(1)

pourquoi dans ce cas multiplier par 2 en haut et en bas pour faire apparaitre sin(X)/X alors que sans multiplier on avait la formule du nombre dérivé ?


Deuxiemement, pour cette limite on doit faire apparaitre f(x) - f (pi) / x -pi.
En se limitant pour le moment, a sin(2x) on a sin(2x) - sin (2pi) / x -0 mais pas x-pi ??

Voila, merci de votre aide tous les deux.
re : Quelques limites#msg1929840 Posté le 06-07-08 à 12:33
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Citation :
Dans ce cas j'aimerais revenir sur deux choses.

Premierement lors du message d'hier pour la limite de sin(2x)/ln(1+x) tu obtien sin(2x)-sin(0)/x-0 * x-0 / ln(1+x) - ln(1)

pourquoi dans ce cas multiplier par 2 en haut et en bas pour faire apparaitre sin(X)/X alors que sans multiplier on avait la formule du nombre dérivé ?


J'aurais pu faire appel au nombre dérivé, j'ai choisi arbitrairement de faire apparaître sin(x)/x

Citation :
Deuxiemement, pour cette limite on doit faire apparaitre f(x) - f (pi) / x -pi.
En se limitant pour le moment, a sin(2x) on a sin(2x) - sin (2pi) / x -0 mais pas x-pi ??


Désolé je n'avais pas vu que le x tendait vers Pi

Si tu as raison, en posant 3$f(x)=sin(2x)\\g(x)=\sin(3x), on a bien 3$f(\pi)=g(\pi)=0 et

4$\fr{\sin(2x)}{\sin(3x)}=\fr{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}\times\fr{x-\pi}{g(x)-g(\pi)}=...
re : Quelques limites#msg1929846 Posté le 06-07-08 à 12:39
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Merci en fait y'a rien de sorcier.
Bon alors pour finir ta limite on a

lim x-> pi f(x) -f(pi)/x-pi = sin'(2pi) = 2cos(2pi)= 2

De plus, lim x-> pi x-pi / g(x) -g(pi) = 1 / sin'(3pi) = 1/ 3cos(3pi) = -1/3

donc la limite sin(2x)/sin(3x) x-> pi = -2/3

Aprés petite verification graphique cela me semble effectivement le cas. Mais mon raisonement est il bon ?
re : Quelques limites#msg1929848 Posté le 06-07-08 à 12:41
Posté par Profilgui_tou gui_tou

C'est tout à fait ça
re : Quelques limites#msg1929852 Posté le 06-07-08 à 12:51
Posté par Profilmomo4735 momo4735

J'en poste une petite derniere pour bien être sur que j'ai compris

lim x-> 0  (1- cos(x)) / x²

on a (1-cos(x)) /x² = -(cos(x) -1)/x  *1/x
=cos(x) - cos(0) /x-0 *1/x

Or, lim  x->0 cos(x) -cos(0)/x-0  = -sin(0) =0

Ah bah sniff sa marche pas

J'attend tes pistes précieuses
re : Quelques limites#msg1929856 Posté le 06-07-08 à 12:59
Posté par Profilmisto misto

et la règle d'Hôpital, cela te dis quelque chose
re : Quelques limites#msg1929858 Posté le 06-07-08 à 13:13
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Maintenant oui cela me dis quelque chose.

Aurait-on pu utiliser cette règle pour toute les limites précédentes dans lesquelles le numerateur et dénominateur tendé tous les deux vers 0 lorsque x->a
?


Pour cette limite, on pose f(x) = 1-cos(x) (f(0)=0)
et g(x) = x²  (g(0)=0)

Donc lim x->0 f(x)/g(x) = lim x->0  sin(x) /2x = cos(0)/2 = 1/2

Etant donné que c'est la premiere fois que j'utilise cette règle j'aimerai savoir si ma rédaction est correct.

Merci pour votre aide.
re : Quelques limites#msg1929861 Posté le 06-07-08 à 13:23
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonjour misto

pas la peine d'aller chercher la règle de l'Hopital (en terminale on ne voit pas ça!)

momo4735 > D'abord sache que c'est une jolie limite

¤ Première méthode :

En écrivant 3$1-\cos(x)=2\sin^2\(\fr{x}{2}\) (obtenu grâce à la formule \cos(2x)=1-2\sin^2(x), on a :

4$\fr{1-\cos(x)}{x^2}=\fr{2\sin^2\(\fr{x}{2}\)}{x^2^}=2\(\fr{\sin\(\fr{x}{2}\)}{x}\)^2

En posant 3$f(x)=\sin\(\fr{x}{2}\), on a facilement 3$\lim_{x\to0}\fr{\sin\(\fr{x}{2}\)}{x}=f'(0)=\fr12

Donc 3$\lim_{x\to0}\,2\(\fr{\sin\(\fr{x}{2}\)}{x}\)^2=2\times\(\fr12\)^2=\fr12   et   3$\blue\fbox{\fbox{\lim_{x\to0}\,{4$\fr{1-\cos(x)}{x^2}}=\fr12


¤ Deuxième méthode :

En posant 3$f(x)={4$\fr{1-\cos(x)}{x} on montre aisément que 3$\lim_{x\to0}f(x)=0. Donc on prolonge f par continuité en 0 en posant 3$f(0)=0

Regardons maintenant 3$\lim_{x\to0}f'(x).

Le taux d'accroissement de f en 0 vaut : 3$T(x)={4$\fr{f(x)-f(0)}{x-0}=\fr{1-\cos(x)}{x^2}

Et finalement 3$\lim_{x\to0}\fr{1-\cos(x)}{x^2^}=\lim_{x\to0}\fr{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=...

¤ Troisième méthode : développement limité

En écrivant, au voisinage de 0 : 3$\cos(x)=1-\fr12x^2+o(x^2),
on a 3$1-\cos(x)=\fr12x^2o(x^2)
et 3$\fr{1-\cos(x)}{x^2}=\fr{\fr12x^2+o(x^2)}{x^2^}=\fr12+o(1) d'où    3$\blue\fbox{\fbox{\lim_{x\to0}\,{4$\fr{1-\cos(x)}{x^2}}=\fr12

¤ Quatrième méthode : Règle de l'Hôpital

Enoncé simple :

Citation :

Si f et g sont deux fonctions dérivables en a, s'annulant en a et telles que le quotient 3$\frac{f'(a)}{g'(a)} soit défini, alors 3$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {f'(a)}{g'(a)}.


En posant 3$f(x)=1-\cos(x)\\g(x)=x^2, on a bien 3$f(0)=g(0)=0

Mais 3$f'(0)=\sin(0)=0 et 3$g'(0)=2\times0=0 : le quotient 3$\fr{f'(0)}{g'(0)} se transforme lui aussi en forme indéterminée

Heureusement, 3$f'(x)=\sin(x) et 3$g'(x)=2x d'où 3$\forall x\in{\bb R}^*,\;\fr{f'(x)}{g'(x)}=\fr{\sin(x)}{2x} La limite en 0 de f'(x)/g'(x) vaut 1/2 (facile ^^)

donc au final 3$\blue\fbox{\fbox{\lim_{x\to0}\,{4$\fr{1-\cos(x)}{x^2}}=\lim{x\to0}\fr{f'(x)}{g'(x)}=\fr12

Je crois que j'ai été assez complet ^^
re : Quelques limites#msg1929862 Posté le 06-07-08 à 13:23
Posté par ProfilDrysss Drysss

Mais t'as pas besoin de cette règle : regarde ce qu'on a fait et la démonstration de cette règle de l'hopital : on a toujours utilisé la démonstration pour établir nos résultats.
Continue comme ca, et ca sera excellent à coup sur.
re : Quelques limites#msg1929865 Posté le 06-07-08 à 13:35
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Euh c'est normal que la 3eme méthode j'ai rien compris ? c'est quoi ce mini symbole ressemblant a un o ?

Merci beaucoup pour votre aide
re : Quelques limites#msg1929866 Posté le 06-07-08 à 13:51
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Oui oui c'est normal

En décembre tu maîtriseras les DL , ne t'inquiète pas !

Un lien wiki . C'est une approximation d'une foncion en un point
re : Quelques limites#msg1929867 Posté le 06-07-08 à 13:54
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Donc en fait la méthode à ma portée est la 2 car la 1 elle était beaucoup trop subtile pour moi. Pour la 2 il fallait aussi savoir que si lim x-> 0 f(x) =0 alors on peut poser f(0)=0

Quoi qu'il en soit je vous remercie tous beaucoup
re : Quelques limites#msg1929869 Posté le 06-07-08 à 13:56
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Je pense que les deux premières sont les méthodes attendues en terminale

La première fait appel à de la trigo, et en prépa les formules de trigo élémentaires sont fondamentales, ne les oublie pas
re : Quelques limites#msg1929870 Posté le 06-07-08 à 13:58
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Va donc falloir que je me mette à les apprendre plus serieusement
re : Quelques limites#msg1929877 Posté le 06-07-08 à 14:11
Posté par Profilmomo4735 momo4735

Petit probleme pour la deuxieme methode f'(x) n'est pas définie en 0.

j'ai trouvé sin(x)/x -1/x² + cos(x)/x = f'(x)
re : Quelques limites#msg1929878 Posté le 06-07-08 à 14:16
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Effectivement le f'(0) n'est pas facile à aller chercher .. je regarde ça ...

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