démonstration second degré

Posté par fakir151 fakir151

Bonjour tout le monde,

Dans un bouquin, j'ai trouvé ce théorème



et j'ai essayé de le démontrer mais je ne suis pas sur que ce soit très rigoureux donc j'aimerais si possible que vous me mettiez une démonstration rigoureuse.

Merci d'avance.

fakir

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour, appelons a et b les deux nombres en question.

a et b sont les racines du polynôme (x-a)(x-b) qui  vaut, en développant:

x² - (a+b)x + ab = x² - Sx + P .

Posté par fakir151 fakir151

Voici ce que j'ai fait :

Soit a et b deux réels, leur somme vaut S et leur produit P
on a donc



on a donc le trinôme suivant :



donc ce trinôme a deux racines:





CQFD

Posté par fakir151 fakir151

ouahou!!! merci Tigweg , ce que tu as écris , ça suffit?   car si ça suffit, c'est super !!

sinon ma démo est correct?

fakir

Posté par Tigweg Tigweg

Lol, je t'en prie!

Oui oui, cela suffit amplement!

Ta démonstration a un petit problème logique:

la deuxième ligne de ton système donne une équation dont b est solution, et cette équation est justement x² - Sx + P = 0.

Or quand tu calcules Delta, tu dois l'appliquer à l'équation en x, et pas en b, faute de quoi lorsque tu tombes sur les racines a et b, la conclusion logique qui s'impose est: b=b ou b=a, ce qui est pour le moins étrange!

Dit autrement, tu as déjà démontré à la première ligne de ton post que b était solution de l'équation x²-Sx+P=0.

En procédant de manière symétrique c'est-à-dire en écrivant b=S-a puis en remplaçant dans la deuxième équation de ton système) , tu tomberais aussitôt sur :

a²-Sa+P=0, ce qui prouverait que a est une autre racine du même polynôme.


Cependant, cette façon de faire manquerait encore un peu de rigueur car il se pourrait a priori que le trinôme
x²-Sx +P  possède encore une racine (qui dit en effet que a et b ne sont pas égaux, et que le trinôme ne possède pas deux racines distinctes?)

Posté par fakir151 fakir151

Merci beaucoup Tigweg! je pensais bien que c'était pas bon ce que j'avait fait, ça me paraissait bizzare. Encore merci

fakir

Posté par fakir151 fakir151

Est -ce que la démonstration en sens inverse est valable ou non ?


Soient a et b deux réels, leur somme vaut S et leur produit P

Cherchons les solutions du trinôme :



donc ce trinôme a deux racines:





On a donc a et b qui ont pour somme S et produit P, qui sont ssolutions de l'équation

c'est bon ou pas?

fakir

Posté par Tigweg Tigweg

Oui, ça c'est bon! (Mais plus compliqué que ma démonstration! )

Posté par fakir151 fakir151

oui c'est vrai, il faut toujours que j'aille chercher compliqué

Posté par Tigweg Tigweg

A un détail près tout de même : la racine carrée de (a-b)² ne vaut pas forcément a-b, elle peut aussi valoir b-a:

ça dépend du signe de a-b.

Mais dans le cas où elle vaut b-a, on trouve simplement x1=a et x2=b, ce qui revient finalement au même.

Posté par fakir151 fakir151

oui merci j'avais distinguer les deux cas sur mon brouillon (avec les valeurs absolues) mais vu que ça revenait au meme (logique!), je n'ai mis qu'un cas ici.

Mais merci quand meme!

fakir

Posté par Tigweg Tigweg

Avec plaisir