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[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21

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  posté le 07/07/2008 à 00:11[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21
 posté par : mikayaou
Bonjour,

Une tite JFF pour cette île qui vivote doucement...

citation :

Vous connaissez le développement en série entière de ln(1+x) :

Ainsi, pour x = 1, on a :

On multiplie par 2

On regroupe les termes ayant même dénominateur; pour cela, prenons les termes de dénominateur k:

¤ si k est impair, il va apparaitre dans la somme 2/k et -1/k, et donc, en regroupant, +1/k

¤ si k est pair, il va juste apparaitre -1/k

Ainsi:

Soit :

Autrement dit :

Votre mission, si vous l'acceptez, est de déterminer où ça cloche 

Au moins, pour le début, répondez en blanqué : les autres participants vous en remercient ... 

Nota :

N'hésitez pas à mettre, en blanqué, le détail de votre démonstration : ça me permettra d'y faire référence en mettant le lien pour présenter les différentes solutions proposées ( et ça me simplifiera la correction  )

Merci aux habituels des non blanqués ( dont il m'arrive de faire partie  ) d'utiliser le bouton  avant de  tout envoi : 

ça évitera les recours aux modos pour blanquer ce qui a été omis de l'être...

Enjoy!

  posté le 07/07/2008 à 00:44re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21
posté par : PloufPlouf06
Bonsoir,

Tout d'abord citation :
Vous connaissez le développement en série entière de ln(1+x) :
 non 

Mais bon c'est pas grave je vais quand même essayer.

Juste pour savoir : 

citation :
On regroupe les termes ayant même dénominateur; pour cela, prenons les termes de dénominateur k:

¤ si k est impair, il va apparaitre dans la somme 2/k et -1/k, et donc, en regroupant, +1/k

¤ si k est pair, il va juste apparaitre -1/k

C'est pas le contraire??
  posté le 07/07/2008 à 00:49re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21
posté par : PloufPlouf06
Re,

En fait j'ai rien dit  j'avais considéré pour l'étape d'avant. Mon post peut être supprimé 
  posté le 07/07/2008 à 02:01re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21
posté par : plumemeteore 
bonsoir
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prenons par exemple les dix premiers termes de la suite 2 - 2/2 + 2/3 - 2/4 ...

pour obtenir la seconde version de cette somme, on a retranché indument 2/14 et 2/18 ainsi que 2/12, 2/16 et 2/20

pour les 2n premiers termes la bonne version moins la fausse version égale la somme des inverses 1/(n+1) à 1/2n, tendant à se rapprocher de ln(2) à masure que n augmente

l'erreur est le manque d'équité dans les conditions respectives de calcul des deux versions

on 'prouve' de même que les nombres pairs sont aussi nombreux que les entiers en leur octroyant un plafond plus élevé à chaque stade de raisonnement

  posté le 07/07/2008 à 09:55Gymnastique algébrique_21
posté par : rogerd 
Bonjour mikayaou

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Après regroupement de termes (qui peuvent être arbitrairement éloignés) dans la série de terme général un, on obtient une série de terme général u'n qui peut-être elle aussi convergente mais qui n'a aucune raison d'avoir la même somme que la première.

Ce paradoxe apparent est à rapprocher de la convergence non commutative de la série harmonique alternée: Soit l fixé arbitrairement; en changeant judicieusement l'ordre des termes dans la série harmonique alternée, on obtient une nouvelle série convergente, ayant l pour somme. 

  posté le 07/07/2008 à 09:59re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21
posté par : Arkhnor
Bonjour tout le monde

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La série n'est pas à termes positifs, on est pas face à une famille sommable.

Ainsi, si l'on réordonne les termes de la somme, on est pas assuré d'avoir la même limite.

  posté le 07/07/2008 à 10:19re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21
posté par : mikayaou
Bonjour à tous... 

   posté le 07/07/2008 à 16:50re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_21
posté par : Fractal
Bonjour à tout 

 Cliquez pour afficher
Je dis sans doute la même chose que les blankés précédents, mais l'erreur vient du fait que la série trouvée pour 2ln(2) n'est que semi-convergente. Ainsi on ne peut en aucun cas changer l'ordre de sommation.

En les mettant encore dans un ordre différent on pourrait obtenir absolument n'importe quel nombre réel, voire + ou - l'infini.

Fractal

citation :
Vous connaissez le développement en série entière de ln(1+x) : Ainsi, pour x = 1, on a : On multiplie par 2 On regroupe les termes ayant même dénominateur; pour cela, prenons les termes de dénominateur k: ¤ si k est impair, il va apparaitre dans la somme 2/k et -1/k, et donc, en regroupant, +1/k ¤ si k est pair, il va juste apparaitre -1/k Ainsi: Soit : Autrement dit : Votre mission, si vous l'acceptez, est de déterminer où ça cloche

citation :
Vous connaissez le développement en série entière de ln(1+x) :

citation :
On regroupe les termes ayant même dénominateur; pour cela, prenons les termes de dénominateur k: ¤ si k est impair, il va apparaitre dans la somme 2/k et -1/k, et donc, en regroupant, +1/k ¤ si k est pair, il va juste apparaitre -1/k

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