convergence uniforme sur tout compact
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convergence uniforme sur tout compact
Posté le 07-07-08 à 14:36
Posté par 
romu romu
Bonjour, je bloque sur cet exo
Soit
un espace topologique localement compact, on suppose qu'il existe une suite _{n\in \mathbb{N}})
de compacts telle que 
.
1. Montrer qu'il existe une suite_{n\in \mathbb{N}})
de compacts de telle que 
et 
.
2. Montrer que tout compact de est inclus dans l'un des 
.
Pour la 1., j'avais pensé à
,
mais alors je ne vois pas comment aboutir à l'inclusion demandée.
Merci pour votre aide.
romu romuBonjour, je bloque sur cet exo
Soit
1. Montrer qu'il existe une suite
2. Montrer que tout compact de
Pour la 1., j'avais pensé à
mais alors je ne vois pas comment aboutir à l'inclusion demandée.
Merci pour votre aide.
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 07-07-08 à 14:59
Posté le 07-07-08 à 14:59Posté par Rodrigo Rodrigo
Est ce que tu connais la propriété suivante (élémentaire) dans un esp topologique séparé localement compact. SU l'on se donne K et U repsectivement compact et ouvert alors il existe V un ouvert d'adherence compacte telle que K inclus dans V et adh(V) inclus dans U
Rodrigo RodrigoEst ce que tu connais la propriété suivante (élémentaire) dans un esp topologique séparé localement compact. SU l'on se donne K et U repsectivement compact et ouvert alors il existe V un ouvert d'adherence compacte telle que K inclus dans V et adh(V) inclus dans U
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 07-07-08 à 16:48
Posté le 07-07-08 à 16:48Posté par romu romu
Bonjour Rodrigo,
non je ne connaissais pas cette propriété, je ne vois pas non plus comment la prouver?
romu romuBonjour Rodrigo,
non je ne connaissais pas cette propriété, je ne vois pas non plus comment la prouver?
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 07-07-08 à 19:08
Posté le 07-07-08 à 19:08Posté par Rodrigo Rodrigo
Bon déja en admettant cette propriété est ce que tu vois coment conclure...E fait je me demande qi ce que tu fias ne sert pas precisément a pruver cette propriété... Parce qu'on peut proceder directement.
Psons Kn la réunion des H_n comme tu l'a intuité... L'ennui c'est que rien ne dit que Kn sera dnas l'interieur de Kn+1. Bon il sera peut etre dnas celui de Kn+2,..., ou Kn+p. Ce qu'on sait c'est que haque point de Kn possède un voisinage d'adh compacte et K_n est recouvert par un nombre fini de tels ensemble, il existe donc V ouvert contenant Kn, d'adherence compacte. Maintenat il faut trouver un Kp qui contient adh(V) quitte a modifier un peu V ca doit se faire non....
Rodrigo RodrigoBon déja en admettant cette propriété est ce que tu vois coment conclure...E fait je me demande qi ce que tu fias ne sert pas precisément a pruver cette propriété... Parce qu'on peut proceder directement.
Psons Kn la réunion des H_n comme tu l'a intuité... L'ennui c'est que rien ne dit que Kn sera dnas l'interieur de Kn+1. Bon il sera peut etre dnas celui de Kn+2,..., ou Kn+p. Ce qu'on sait c'est que haque point de Kn possède un voisinage d'adh compacte et K_n est recouvert par un nombre fini de tels ensemble, il existe donc V ouvert contenant Kn, d'adherence compacte. Maintenat il faut trouver un Kp qui contient adh(V) quitte a modifier un peu V ca doit se faire non....
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 07-07-08 à 21:34
Posté le 07-07-08 à 21:34Posté par romu romu
Pour l'inclusion que tu as démontré maintenant c'est clair,
autrement dit ce n'est pas toujours vrai?
Pour montrer que
pour un certain entier 
,
je ne vois pas comment exploiter la compacité locale de.
romu romuPour l'inclusion que tu as démontré maintenant c'est clair,
Citation :
L'ennui c'est que rien ne dit que Kn sera dnas l'interieur de Kn+1
L'ennui c'est que rien ne dit que Kn sera dnas l'interieur de Kn+1
autrement dit ce n'est pas toujours vrai?
Pour montrer que
je ne vois pas comment exploiter la compacité locale de
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 08-07-08 à 16:20
Posté le 08-07-08 à 16:20Posté par Tigweg Tigweg
Bonjour,
->Le théorème dit que si on peut trouver une suite croissante (Kn) de compacts de réunion X, alors on peut trouver une suite croissante (K'n) de compacts avec chaque compact inclus dans l'intérieur du compact suivant, dont la réunion est encore X.
Mais rien ne dit que la première suite (Kn) convient forcément.
Soit (Kn) une suite croissante de compacts et de réunion X, mais ne vérifiant pas la condition concernant les intérieurs.Pour construire (K'n) à partir de (Kn), on peut procéder ainsi:
Heuristique:
pour tout n entier et pour tout point x de K0, il existe un voisinage compact de x dans X.
K0 étant compact, on peut le recouvrir par un nombre fini de tels voisinages.
En appelant L0 cette réunion, L0 contient K0 dans son intérieur (puisque chaque voisinage contient un ouvert et que la réunion de ces ouverts est un ouvert contenu dans L0, donc dans l'intérieur de L0).
De plus, L0 est une réunion finie de compacts, donc un compact de X.
Il ne reste plus qu'à poser
.
Par récurrence, supposons Mn construit à un certain rang n.
On construit de même un compact Ln contenant Mn dans son intérieur puis on pose
.
La suite (Mn) convient bien puisque ses termes contiennent, par construction, ceux de la suite initiale (Kn) dont la réunion était déjà égale à X.
Tigweg TigwegBonjour,
Citation :
autrement dit ce n'est pas toujours vrai?
autrement dit ce n'est pas toujours vrai?
->Le théorème dit que si on peut trouver une suite croissante (Kn) de compacts de réunion X, alors on peut trouver une suite croissante (K'n) de compacts avec chaque compact inclus dans l'intérieur du compact suivant, dont la réunion est encore X.
Mais rien ne dit que la première suite (Kn) convient forcément.
Soit (Kn) une suite croissante de compacts et de réunion X, mais ne vérifiant pas la condition concernant les intérieurs.Pour construire (K'n) à partir de (Kn), on peut procéder ainsi:
Heuristique:
pour tout n entier et pour tout point x de K0, il existe un voisinage compact de x dans X.
K0 étant compact, on peut le recouvrir par un nombre fini de tels voisinages.
En appelant L0 cette réunion, L0 contient K0 dans son intérieur (puisque chaque voisinage contient un ouvert et que la réunion de ces ouverts est un ouvert contenu dans L0, donc dans l'intérieur de L0).
De plus, L0 est une réunion finie de compacts, donc un compact de X.
Il ne reste plus qu'à poser
Par récurrence, supposons Mn construit à un certain rang n.
On construit de même un compact Ln contenant Mn dans son intérieur puis on pose
La suite (Mn) convient bien puisque ses termes contiennent, par construction, ceux de la suite initiale (Kn) dont la réunion était déjà égale à X.
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 10-07-08 à 22:46
Posté le 10-07-08 à 22:46Posté par romu romu
Bonsoir,
je galère pour la suite de cet exo, voici les questions suivantes:
3. Soit
un espace topologique. Montrer qu'une application 
est continue si et seulement si pour tout 
, la restriction de 
à est continue.
4. On suppose que)
est métrique, montrer qu'une application de vers peut être bornée sur chaque sans l'être sur .
Pour
, on note )
l'ensemble des fonctions bornées de 
dans . Pour )
, on pose =\sup_{x\in A}\ d(f(x),g(x)))
. Montrer que 
est finie et que c'est une distance sur .
5. Pour)
, on pose =\Bigsum_{n\geq 0} \frac{1}{2^n} \min(1,d_K_n(f,g)))
. Montrer que 
est finie et qu'elle définit une distance sur )
.
6. Montrer qu'une suite
de converge vers 
(pour ) ssi tend vers uniformément sur tout compact 
de .
C'est au niveau de la 6 que je galère déjà pour montrer le sens direct
Merci pour votre aide.
romu romuBonsoir,
je galère pour la suite de cet exo, voici les questions suivantes:
3. Soit
4. On suppose que
Pour
5. Pour
6. Montrer qu'une suite
C'est au niveau de la 6 que je galère déjà pour montrer le sens direct
Merci pour votre aide.
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 11-07-08 à 16:30
Posté le 11-07-08 à 16:30Posté par Camélia Camélia 
Bonjour romu (et les autres)
Pour 6) sens direct: On suppose que fm tend vers g pour la distance
. (je suppose que dans la définition il y a 
)
Soit K un compact. Alors il existe n tel que
(car la suite des intérieurs des Kn est croissante et K en est recouvert)
On a alors
\leq d_{K_n}(f_m,g))
et il est clair que si )
tend vers 0 il en est de même pour chaque .)
Camélia Camélia Bonjour romu (et les autres)
Pour 6) sens direct: On suppose que fm tend vers g pour la distance
. (je suppose que dans la définition il y a Soit K un compact. Alors il existe n tel que
On a alors
et il est clair que si
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 12-07-08 à 00:40
Posté le 12-07-08 à 00:40Posté par romu romu
Bonjour Camélia,
merci j'avais trouvé à peu près la même chose pendant la pause, mais la réciproque j'ai pas réussi.
Il faut que je montre que = \Bigsum_{i\geq 0} \frac{1}{2^i}\ \min(1,d_{K_i}(f_n,g))\ \longrightarrow_{n\rightarrow \infty} 0)
sachant que pour tout 
, \ \longrightarrow_{n\rightarrow \infty} 0)
romu romuBonjour Camélia,
merci j'avais trouvé à peu près la même chose pendant la pause, mais la réciproque j'ai pas réussi.
Il faut que je montre que
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 13-07-08 à 16:24
Posté le 13-07-08 à 16:24Posté par Camélia Camélia
Bonjour
Alors voilà; c'est la même astuce que pour Cesaro.
Soit
. Il existe j tel que 
. Alors,
pour chaque m
}{2^i}\leq \bigsum_{i=j+1}^\infty \frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^j}\leq \varepsilon/2)
Mais la somme finie}{2^i})
tend vers 0
pour m tendant vers
donc finira bien par devenir inférieure à 
.
Camélia Camélia Bonjour
Alors voilà; c'est la même astuce que pour Cesaro.
Soit
pour chaque m
Mais la somme finie
pour m tendant vers
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 19-07-08 à 18:07
Posté le 19-07-08 à 18:07Posté par romu romu
Bonjour,
une nouvelle question à laquelle je bloque:
7. Montrer que,\delta))
est complet.
Merci pour vos indications.
romu romuBonjour,
une nouvelle question à laquelle je bloque:
7. Montrer que
Merci pour vos indications.
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 20-07-08 à 16:31
Posté le 20-07-08 à 16:31Posté par Camélia Camélia
Rebonjour
On ne suppose pas que Y est complet?
Si oui; tu commences par montrer que si (fn)est de Cauchy, alors pour x fixé la suite (fn(x)) est de Cauchy, donc convergente vers mettons g(x), puis il faut montrer que la fonction g est bien limite de la suite (fn) ùais ce qui est déjà fait doit suffire.
Camélia Camélia Rebonjour
On ne suppose pas que Y est complet?
Si oui; tu commences par montrer que si (fn)est de Cauchy, alors pour x fixé la suite (fn(x)) est de Cauchy, donc convergente vers mettons g(x), puis il faut montrer que la fonction g est bien limite de la suite (fn) ùais ce qui est déjà fait doit suffire.
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 21-07-08 à 13:54
Posté le 21-07-08 à 13:54Posté par romu romu
En supposant que est complet, je considère donc une suite de Cauchy _{n\in \mathbb{N}})
de .
Soit
, la suite )_{n\in \mathbb{N}})
est de Cauchy dans , donc converge vers )
.
Je suppose maintenant qu'il faut montrer que
i))
,
ii)_n)
converge uniformément vers sur tout compact de .
Donc pour i) on doit montrer qu'il existe
tel que  < M)
, mais j'ai un peu de mal à voir comment.
Pour la ii) j'avais pensé aux théorèmes de Dini mais sans hypothèse de monotonie ou continuité,
ça me parait pas évident de passer de la convergence simple à la convergence uniforme
romu romuEn supposant que
Soit
Je suppose maintenant qu'il faut montrer que
i)
ii)
Donc pour i) on doit montrer qu'il existe
Pour la ii) j'avais pensé aux théorèmes de Dini mais sans hypothèse de monotonie ou continuité,
ça me parait pas évident de passer de la convergence simple à la convergence uniforme
re : convergence uniforme sur tout compact Posté le 21-07-08 à 16:37
Posté le 21-07-08 à 16:37Posté par Camélia Camélia
On part de l'hypothèse que la suite (fn) est de Cauchy pour. Alors, si Y est complet (je pense que c'est faux sinon) on définit g tel que tu l'as dit.
On choisit l'un des Ki et
>0. Il existe N tel que pour m et n supérieurs à N on ait (fm,fn)
.
Alors\leq 2^i\varepsilon)
et maintenant je fais tedre n vers l'infini... comme i est fixé, le tour est joué!
Camélia Camélia On part de l'hypothèse que la suite (fn) est de Cauchy pour
. Alors, si Y est complet (je pense que c'est faux sinon) on définit g tel que tu l'as dit.On choisit l'un des Ki et
>0. Il existe N tel que pour m et n supérieurs à N on ait (fm,fn).Alors
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