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[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25

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  posté le 07/07/2008 à 22:48[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25
 posté par : mikayaou
Bonjour,

Une tite JFF pour cette île qui vivote doucement...

citation :

Soit une grille carrée de N lignes par N colonnes comportant donc N² cases.

Les cases de cette grille sont numérotées dans l'ordre naturel d'écriture de 1 jusqu'à N² : 

la première ligne est :    1       2       3      4   ...     N,

la deuxième ligne est : N+1  N+2  N+3  N+4  ...   2N

et ainsi jusqu'à la Nième ligne qui se terminera avec la case contenant N²

On choisit maintenant N nombres dans cette grille en n'en prenant qu'un seul par ligne et par colonne, et on s'intéresse alors à la somme S de ces N nombres.

Deux questions :

¤ Combien vaut cette somme S si les N nombres sont sur la diagonale descendante issue du 1 ?

¤ Entre quelles valeurs, minimale et maximale, sera comprise la somme S si ces N nombres sont choisis - toujours en n'en prenant qu'un seul par ligne et par colonne- mais totalement au hasard ?

Au moins, pour le début, répondez en blanqué : les autres participants vous en remercient ... 

Nota :

N'hésitez pas à mettre, en blanqué, le détail de votre démonstration : ça me permettra d'y faire référence en mettant le lien pour présenter les différentes solutions proposées 

( et ça me simplifiera la correction  )

Merci aux habitués des non blanqués ( dont il m'arrive de faire partie  ) d'utiliser le bouton  avant de  tout envoi : 

ça évitera les recours aux modos pour blanquer ce qui a été omis de l'être...

Enjoy!

  posté le 07/07/2008 à 23:00re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25
posté par : PloufPlouf06
Bonjour,

 Cliquez pour afficher
Ca me paraît bien trop facile puisque j'y arrive directement 

Pour la première question je dirais que la somme est : 

Je cherche la suite 
  posté le 07/07/2008 à 23:36re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25
posté par : yoyodada
salut,  Cliquez pour afficher
[/blank]

je trouve pareil que toi ploufplouf ! 

pour la 2 je dirais que cette valeur est constante quelque soit le choix des cases, mais je suis pas sûr...
  posté le 07/07/2008 à 23:46re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25
posté par : PloufPlouf06
Pour la question deux :

La somme sera maximale lorsque les N nombres choisis décrivent la diagonale descendante issue de 1.

De même, elle est minimale lorsque les N nombres choisis décrivent la diagonale descendante issue de N.

Sur un raisonnement analogue au précédent, je trouve : 

On constate que le maximum de la somme est égal à son minimum, donc la somme S est constante telle que : 

J'ai vérifié sur un exemple  et ça me semble correct 

Merci bien pour la réflexion 

PS : Si on reprend le même exercice dans l'espace avec une grille  ou carrément  à mon avis ça donne toujours une somme constante mais bon à vérifier 
  posté le 07/07/2008 à 23:47re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25
posté par : PloufPlouf06
rha j'ai oublié de blanker si un modérateur peu passer par là 
  posté le 08/07/2008 à 12:08re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25
posté par : plumemeteore 
bonjour
 Cliquez pour afficher
la grille a un point de symétrie; deux nombres symétriques par rapport à ce point ont toujours la même somme (le double du nombre centrale si le carré est de taille impaire)

la moyenne des nombres est donc (n²+1)/2 et leur somme n(n³+1)/2

tout nombre a sa base qui est le nombre à gauche de sa rangée et son complément : le nombre moins sa base

si on prend un nombre par colonne et par rangée, les sommes des bases et des compléments sont tous deux invariables; la somme des nombres l'est donc ici : n(n²+1)/2

   posté le 10/07/2008 à 08:53re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25
posté par : veleda
bonjour,

je l'avais oubliée Cliquez pour afficher
dans le tableau des nombres  le nombre de la ligne k colonne j c'est xk,j=(k-1)N+j

en prenant un seul nombre par ligne et par rangée on a donc pour somme

cela court circuite un peu les question, pour le maximum et le minimum il fallait peut être seulement encadrer par les sommes des termes de la première et de la dernière colonne ?

citation :
Soit une grille carrée de N lignes par N colonnes comportant donc N² cases. Les cases de cette grille sont numérotées dans l'ordre naturel d'écriture de 1 jusqu'à N² : la première ligne est : 1 2 3 4 ... N, la deuxième ligne est : N+1 N+2 N+3 N+4 ... 2N et ainsi jusqu'à la Nième ligne qui se terminera avec la case contenant N² On choisit maintenant N nombres dans cette grille en n'en prenant qu'un seul par ligne et par colonne, et on s'intéresse alors à la somme S de ces N nombres. Deux questions : ¤ Combien vaut cette somme S si les N nombres sont sur la diagonale descendante issue du 1 ? ¤ Entre quelles valeurs, minimale et maximale, sera comprise la somme S si ces N nombres sont choisis - toujours en n'en prenant qu'un seul par ligne et par colonne- mais totalement au hasard ?

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