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Exercices de vacances
Bonjour à tous!
Voici un exercice qui me laisse perplexe :
Soit E un espace vectoriel de dimension 1. Qu'elles sont les applications linéaires de E dans E
Donc je procède par analyse synthèse.
Analyse : par théorème du rang on montre que on a deux cas :
Soit dim(Keru)=1 et dim(Imu)=0 et que donc pour tout x u(x)=0(E)
Soit dim(keru)=0 et dim(Imu)=1 alors l'application u est bijective.
Mais pour la synthèse, le premier cas est facile mais je ne sais pas comment faire avec le deuxième cas... Si quelqu'un pouvait m'éclairer, merci!
Bonne journée,
Shouhai
Bonjour
Soit x une base de E, et f une application linéaire de E dans E
Tout élément de E s'écrit d'une manière et d'une seule ax. f(ax) = af(x) par linéarité.
f(x) est élément de E, il s'écrit bx donc f(ax) = a(bx) = b(ax) : Pour tout u de E, f(u) = bu
Les applications linéaires de E dans E sont donc les applications .
Chalut
il te suffit de voir que si u n'est pas nulle, alors il existe x tel que u(x) est non nul. Mais alors, x est une base de ton espace de dimension 1 (car non nul) et donc tout y de E s'ecrit , soit
ce qui te permet de conclure qu'elle est bijective.
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