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Notion d'extension quadratique au programme de spé?
Bonjour 
Je ne connais pas le contenu du programme de spé donc je viens vous demander un petit quelque chose.
Dans le tome 1 d'algèbre du livre Oraux X-ENS, dans la correction d'un exercice ils procèdent ainsi :
On dispose de l'équation dans
et ils disent (sans aucune autre justification)
La théorie habituelle de l'équation du second degré ne s'applique pas en caractéristique 2 : il est impossible de passer à la forme canonique car 2 n'est pas inversible. Cela dit, il existe un surcorps K' de K dans lequel l'équation admet deux racines
Je suis entièrement d'accord avec le raisonnement (j'avais d'ailleurs procédé de la même manière et étais arrivé au résultat), mais est-on censé savoir que pour toute équation algébrique à coefficients dans un corps, il existe un surcorps dans lequel cette équation a des racines?
Quand j'ai fait ce raisonnement pour résoudre l'exercice, c'était juste pour pouvoir me dire que j'ai fini l'exercice, mais jamais je n'aurais osé le faire à l'oral, et j'ai été très surpris de voir que la correction faisait exactement ce raisonnement.
Pourriez-vous m'éclairer?
Merci
Fractal
Salut
C'est pas officiellement au programme, c'est seulement très très limite! Enfin d'après ce que je sais... Le programme des * est très similaire à l'ancien programme des MP dans lequel les corps de rupture forment une sorte de complément.
A confirmer ceci dit.
Non en effet ce n'est pas au programes... ceci dit ca ce prouve tellement rapidement et c'est tellement classique qu'à l'ENS c'est normale de considérer cela comme trouvable par un candidat :
le corps K'=K[y]/(y^2+y+X) convient (y et -1-y sont les deux racine du polynome...).
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