Forum : exercices :
[Vacances Sup] ~~ Borne inférieure d'une intégrale

Bonjour à tous

Un premier exercice de révision pour les élèves sortant de sup et rentrant en spé.

citation :
On définit comme la limite, si elle existe, . Calculer de deux manières : 1. En introduisant un produit scalaire ; 2. En étudiant une fonction de deux variables.

Merci de blanker, pour que tous ceux qui le désirent puissent participer.

Bonne chance

Fractal

Salut

Salut Kévin


Fractal

Salut tout le monde

momo >

Salut tout le monde

Fréro >>

citation :
Wouh! Là je suis époustouflé! Comment est-ce-qu'on peut aligner autant de lignes de calculs sans avoir mal à la tête. Généralement, quand je vois que ça va dépasser disons 6-7 lignes je passe à la question d'après ...

Le gros blaireau qui confond encore les touches "quote" et "blank"...

Désolé...

Tout le monde les confonds t'en fais pas vieux

Salut Kev !

Bon, je vais commencer par la matrice hessienne, les notations de Monge ne sont rien qu'une interprétation du déterminant et de la trace.

Je vais me contenter de 2 variables x et y.


C'est la matrice de la forme :

Bon d'abord, on exprime cette matrice dans le point critique qu'on veut voir si c'est un max ou un min ou un point de selle.

Après: tu sais bien que le déterminant d'une matrice c'est le produit de ses valeurs propres, et la trace c'est la somme des valeurs propres.

Donc, on cherche le signe du déterminant et la trace, et on distingue les cas suivants:

cela veut dire que les vap sont de signes différents et donc c'est un point selle.


cela veut dire que les vap sont du même signe. Alors on regarde la trace pour vois s'ils sont positifs ou négatifs.

    * la trace positive, donc elles sont de signe positif, ainsi c'est un minimum relatif
    * la trace négative, donc elles sont de signe négatif, ainsi c'est un maximum relatif


, on ne peut rien dire et on doit voir le développement limités à des ordres supérieures.

EXPLICATION:

Le développement limité d'une fonction à deux variables f à l'ordre 2 au voisinage d'un point critique (le gradient est donc cul) est:



ainsi le signe de est celui de et ce signe de ce machin là c'est le signe de la matrice c'est à dire le signe de ses vap, pourquoi?

On dit qu'une matrice symétrique S est définie positive ssi pour tout vecteur colonne X;

Une propriété de ces matrices, c'est qu'une matrice symétrique est positive ssi ses vap sont positifs, c'est cette propriété qu'on a utilisée...

J'espère avoir été clair ...

Merci, très clair !

Mais quelques questions :

- Qu'est-ce qu'un point de selle ?

citation :
Après: tu sais bien que le déterminant d'une matrice c'est le produit de ses valeurs propres, et la trace c'est la somme des valeurs propres.

As-tu une démo ? Parce que les valeurs ne sont pas au programme de sup chez nous.

citation :
Une propriété de ces matrices, c'est qu'une matrice symétrique est positive ssi ses vap sont positifs, c'est cette propriété qu'on a utilisée...

Une démo aussi ?

citation :
(le gradient est donc cul)

Kéké >> Le premier point est évident: Trigonalise et conclut.

Oui mais pourquoi les valeurs propres sont sur la diagonale ?

Salut les gars

Kéké > Parce qu'on a cherché une base dans laquelle la matrice s'écrive ( valeurs propres)

et vu que la trace est invariante par changement de base..

Ensuite pour le déterminant on l'a facilement aussi non ?

_{Bêtises ?}

Oui là tu as diagonalisé, mais ça me dit pas pourquoi les lambda sont les valeurs propres

_{gui_tou >> Je crois que tu n'es pas le seul à croire qu'on met qui on veut sur la diagonale.}

Je le savais pas je sais pas d'où ça vient, démo ?

oulà ! je vous assure que c'est une faut de frappe !

citation :
As-tu une démo ? Parce que les valeurs ne sont pas au programme de sup chez nous.

Bon pour le cas matrice 2x2, c'est très clair:

Soit

Le polynôme caractéristique de A est

Or, tu sais bien que les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristiques, donc en utilisant les relations de Newton des coefficients-racines, on a bien tr(A) la somme des vap, et det(A) leur produit.

Pour le cas général, on montre que le polynôme caractéristique s'écrit sous la forme:



Pour ton deuxième point :

Considérons un endomorphisme symétrique positif f (c-a-d sa matrice est symétrique positive), une vap est x un vecteur propre associé :

On a donc

on a:

Or f est positif, c-à-d pour tout x

Ainsi

kéké >> On le voit quand on démontre que "poly caractéristique scindé ==> trigonalisable". Les valeurs propres se mettent bien sagement sur la diagonale.

Merci !

Et ca se montre comment le cas général ? ^^

monrow ->

Fractal

Guitou>> Avant de dire ça, il faut montrer que ta matrice est diagonalisable (ici il n'y a pas de problème puisque toute matrice symétrique réelle est diagonalisable, ça s'appelle le théorème spectral si je ne m'abuse), dons ce cas oui, la trace est bien une invariante de similitude.

Salut à tous

Fractal

Désolé guillaume pour le mini cours sur ton topic

_{PS : Bien les photos de HX1}

Soit

On cherche et (diagonale) tq

On suppose A diagonalisable

On suppose    où  D est diagonale avec des sur la diagonale.

Soit tq où base de .
Soit une nouvelle base de tq P soit la matrice de passage de vers

Donc si on traduit D, on a


(of course )
non injectif





Les valeurs propres de A sont les lambda_i qu'on retrouve sur la diagonale de D.


Guillaume > pour m'excuser je vais chercher ton défi

gui_tou >> Je pense qu'il y a une supposition en trop nan? (l 3).

Fractal>>

Merci guigui

_{Vais faire bronzette, à plus tard}

monrow ->

Kévin, Guitou, Ayoub -> Ya pas de problème pour le cours sur mon topic
Ça m'apprend des choses, en plus ^^
Mais je veux bien que vous cherchiez mon défi

Fractal

Oui Ayoub, je l'ai rajouté après ^^

M'enfin je vois que je n'ai que de petits outils face à vos connaissances et théorèmes

Guillaume > une tite question : comment montre-t-on la convergence de l'intégrale impropre ?

Kéké > C'est comme ça que le prof nous a introduit les valeurs propres le dernier jour, même si on repasse par un endomorphisme c'est assez compréhensible Bonne bronzette!

Guitou ->

citation :
comment montre-t-on la convergence de l'intégrale impropre ?

Tu la calcules, et tu passes à la limite, il n'y a pas d'astuce particulière

Fractal

Oui

J'ai cru que c'était mal embarqué, mais j'ai confondu avec le cas où on a exp(-t²) ^^

Mon prochain post sera une réponse à la première question

Fractal>>

J'ai cru que c'était mal embarqué, mais j'ai confondu avec le cas où on a exp(-t²)
ça convergerait encore plus vite ...

on n'a pas vraiment besoin de calculer l'intégrale, c'est un peu bourrin, il suffit de regarder le comportement asymptotique de P(x)exp(-x) et de voir que ceci converge très rapidement en l'infini, quel que soit le degré de P d'ailleurs...

Calculons    en introduisant un produit scalaire.



Merci Guigui

otto -> Toutafé, mais vu qu'au final il faudra de toutes façons calculer l'infimum, autant calculer l'intégrale

Guitou ->
Maintenant, la deuxième méthode

Fractal

monrow ->

Fractal

Bon personnellement je préfère de l'algèbre linéaire ...

citation :
Bon personnellement je préfère de l'algèbre linéaire ...

Oki, c'est justement ce que j'allais mettre

Fractal

rien ne dit que l'inf est un minimum atteint en un point critique de f(x,y) c'est là la difficulté
tu as une fonction continue qui admet des dérivées partielles en tout point et qui est positive.
Il me semble que c'est suffisant, non ?

oups j'aurais du blanker, j'ai perdu l'habitude, désolé
De toute facon, rares sont ceux qui veulent répondre honnetement sans passer tous les posts précédents ...

Salut otto

Si on avait eu du exp(-t²) on serait bien embêtés pour calculer les intégrales, non ?

Oui oui de l'algèbre linéaire facile ce serait sympa

citation :
tu as une fonction continue qui admet des dérivées partielles en tout point et qui est positive. Il me semble que c'est suffisant, non ?

Quand on a fait cet exercice en cours j'ai effectivement pensé la même chose, et avec mon voisin on a essayé de le démontrer, mais sans succès.
Quand on a demandé à notre prof de maths il nous a dit qu'il n'y avait strictement aucun raison pour que ce soit le cas.
Il se pourrait tout à fait qu'en allant assez loin on passe en dessous de 4, et rien ne nous dit que cela doive nécessairement rajouter un point critique.
Je n'ai pas de contre-exemple, mais à mon avis il peut en exister, ou sinon il faudrait le démontrer mais avec les fonctions de deux variables on peut faire des choses très bizarres ^^

Fractal

Si tu vas très très loin tu vas en dessous de 4 mais il me semble bien que ta fonction tende vers +infini selon toute direction (ce que j'ai oublié de préciser), donc ca me semble clairement compromis...

Ce genre de trucs se fait en 2 temps:
tu montres que par le fait d'une limite a l'infini, tu es plus grand que 5 a l'extérieur d'une boule fermée assez grande.
sur ta boule qui est compacte tu atteints nécessairement un minimum, ici la valeur 4 est atteinte.

Tu compares les 2 et c'est gagné.

citation :
Ce genre de trucs se fait en 2 temps: tu montres que par le fait d'une limite a l'infini, tu es plus grand que 5 a l'extérieur d'une boule fermée assez grande. sur ta boule qui est compacte tu atteints nécessairement un minimum, ici la valeur 4 est atteinte. Tu compares les 2 et c'est gagné.

Oui, ça marche en faisant comme ça, mais du coup il faut montrer que la fonction tend vers l'infini en l'infini, ce qui risque d'être un peu pénible (c'est comme ça que notre prof l'avait fait au tableau, et puis en plus il s'était un peu embrouillé à essayer de trouver la bonne norme pour laquelle tout marche bien)
Mais c'est quand même plus court d'écrire x = 4+h et y = -2+k.

Fractal

Non je suis d'accord, mais je voulais juste dire que c'est pas si compliqué de prouver l'existence d'un min avec des arguments relativement élémentaires.

Pour dire que ca tend vers l'infini, c'est intuitif et c'est vrai, mais c'est pas amusant trop trop à démontrer, je passe mon tour

Dans ce cas on est tous les deux d'accord

En fait ce que je pensais c'était qu'il soit possible de conclure sans même avoir à montrer que la fonction tend vers l'infini, mais sinon c'est sûr que ça marche

Fractal