[Vacances 1ère] Dérivées et polynômes

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 [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 11:00
Posté par matovitch matovitch

Bonjour !

Avant de partir en vacances voici un petit exercice pour s'entraîner sur les dérivées :

Citation :

M.Jaimelebeautemps, après avoir acheté sa piscine (voir ) a acheté un petit toboggan (pour mettre dans la piscine).

La vue en coupe du toboggan est une courbe qui doit répondre aux contraintes suivantes:

- le toboggan fait 2 mètres de haut pour 5 mètres de long

- la courbe passe pas les points A, B et I le milieu de [AB].

- la fonction définissant la courbe obtenue dans le repère orthonormé (A;i,j) est dérivable.

- les demi-tangentes en A et b sont horizontales (pour se raccorder sans angle avec le plan).

Bref le dessin :

1) Donner la fonction polynôminale du 3ème degré dont la courbe représentative est le toboggan (le moins facile).

2) Montrer que la pente maximale est atteinte en I et donner l'angle formé avec l'horizontale (facile).

3) En déduire la mesure de la surface entre le toboggan et le sol (très facile).

Bonne vacances à tous et bon courage !

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 12:05
Posté par mikayaou mikayaou

salut MV 

sympa ton exo de vacances 1°

Je ne vois cependant pas trop l'intérêt de la 3° question ? c'est pour construire le tobogan et déterminer le volume de ciment ?

En revanche, mais ce n'est pas niveau 1°, peut-être que connaître la longueur du tobogan peut être intéressante...

------------

par ailleurs, je suis étonné de ta courbe en x^3 :

en la représentant à l'échelle sur ton graphique imagé, je la trouve beaucoup moins bombée que comme tu l'as représentée 

Me serais-je trompé ou ne l'as-tu pas fait "à l'échelle " eparce que ce n'est -comme on lit dans les pubs immobilières- qu'une vue "d'artiste"  ?

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 12:13
Posté par mikayaou mikayaou

une question complémentaire à ton exo pourrait-elle celle-ci :

Citation :

Les enfants trouvent que le tobogan ne décoiffe pas assez, et demandent à MV de lui faire un tobogan qui "déchire" un peu plus 

Pour des raisons de sécurités, MV décide que la pente au point I ne peut pas dépasser 45°

il décide donc de créer un tobogan dont les contraintes de construction sont :

¤ pente nulle en A,

¤ pente nulle en B,

¤ pente de 45° en I,

¤ tronçons en x² sur les portions AI et IB

Quels sont les expressions y=f(x) des tronçons AI et IB ?

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 13:44
Posté par Hugalov Hugalov

Bonjour MKY !

En fait cet exo est basé sur la monté d'une marche de 2 mètre par un chariot, et c'est pour ça que le toboggan ne "déchire" pas beaucoup.

Au départ, c'est 2 fonction de degré 2, donc ça penche plus (d'où le dessin).

C'est vrai que la question 3 n'a pas trop d'interêt. Je vais essayer de chercher la longueur du toboggan avec mes notions de 1ère.

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 13:46
Posté par matovitch matovitch

C'est MV, qui parle. (mon frère jumeau qui ne c'est pas déconnecté, désolé  )

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 13:46
Posté par mikayaou mikayaou

Ok et bonjour Hugalov 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 13:47
Posté par mikayaou mikayaou

alors OK et bonjour MV 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 13:49
Posté par mikayaou mikayaou

alors, MV ou HV , lis(ez) ce lien, c'est facilement accessible aux 1°...

Abscisse curviligne sur wiki : 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 13:49
Posté par matovitch matovitch

Mille pardons...(fait gaffe à l'attaque des clones).

Multi-compte de 2 individus isomorphes 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 13:50
Posté par mikayaou mikayaou

isomorphes... à qques pxels 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:03
Posté par mikayaou mikayaou

le lien est accessible ( surtout celui-ci  ) , le calcul de la longueur ( 4,45 m pour la courbe en x^3 ) l'est beaucoup moins 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:16
Posté par matovitch matovitch

Le seul problème, c'est que j'ai pas vu les intégrales.

Je vais essayer de faire "à ma façon". 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:22
Posté par simon92 simon92

mikayaou, je trouve ton lien de wikipedia, très moyennement accessible a des premières.
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:31
Posté par Epicurien Epicurien

Salut ,  

on peut participer , même si on est plus vieux?  
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:33
Posté par Epicurien Epicurien

 Cliquez pour afficher
Euh par contre la question 2 je la trouve un peu "simple" , I étant le point d'inflexion de C non?

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:36
Posté par matovitch matovitch

Bien sûr, c'est simple, mais c'est un exo d'entrainement. Vous voulez peut-être approfondir ? 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:39
Posté par matovitch matovitch

Sinon MKY, tu as du te tromper dans tes calculs, car si on va tout droit on a :

L = V(2²+5²) = V29 = 5.38516...> 4.45.

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:51
Posté par Epicurien Epicurien

 Cliquez pour afficher
Citation :
3) En déduire la mesure de la surface entre le toboggan et le sol (très facile).

J'ne vois pas comment faire sans passer par l'intégration ..facile pour un Term mais pour un premiére..^^
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:54
Posté par matovitch matovitch

Epi >>
 Cliquez pour afficher
Pas besoin d'integrer.

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:55
Posté par simon92 simon92

Heu épi tu me fait peur la.
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:56
Posté par Epicurien Epicurien

la surface , c'est une aire non?! 
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:57
Posté par mikayaou mikayaou

pardon MV erreur de recopie : 5,45125...

sinon, EPi, pense à la symétrie...

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:58
Posté par matovitch matovitch

simon >> Ca t'es jamais arrivé de bloquer sur un truc, et après coup tu te rends compte que c'étais trop simple ? 

C'est ce qui ma valu de perdre une bonne place aux olympiades.

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 14:58
Posté par simon92 simon92

si carrément souvent, c'est soulant d'ailleurs, mais je dis ca en rigolant 
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:00
Posté par Epicurien Epicurien

Ah mais oui , rah mdr le gros c*n !  
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:00
Posté par matovitch matovitch

simon >>Je sais...moi aussi ça me saoule.

MKY >> Ca va mieux ! 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:03
Posté par Epicurien Epicurien

Mika >  Cliquez pour afficher
Comment tu fait pour la longueur de la courbe? je sais (trés vite fait) faire pour une parabole mais ici , c'est pas le cas ..:s 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:11
Posté par matovitch matovitch

Epi >> Tu passes en sup ou en term ?

MKY >> en calculant l'écart moyen (E) de la dérivée avec 2/5, puis en assimilant la courbe à 2 fonction affine de coeffs dircteur 2/5-E et 2/5+E, je trouve L = 5,4323 m.

Mais c'est peut-être (sans doute) pas correct.

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:13
Posté par simon92 simon92

oula, a mon avis ta méthode est completement fausse, elle peut te donner une idée, masi c'est pas rigoureux
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:14
Posté par Epicurien Epicurien

Ni l'un ni l'autre matovitch 
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:17
Posté par matovitch matovitch

Tu vas où alors tu vas te pendre ? (no alternative)

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:19
Posté par Epicurien Epicurien

Non , j'vais en prépa intégrée. 

Mais sinon ,j'suis d'accord avec simon , de maniére rigoureuse , il doit y avoir des intégrales bien capilotractées..

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 15:30
Posté par matovitch matovitch

D'accord, je pensais que tu avais vu les intégrales en 1ère.

Bon, moi il faut que je vous laisse, j'ai pris "un peu" de retard pour le ménage...MV-Cosette  
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 16:49
Posté par Drysss Drysss

Je suis en terminale mais je fais quand meme le 1) .

 Cliquez pour afficher
Soit f la fonction polynome de 3eme degré qui correspond à la courbe.

On sait : 

et : 

Comme f(0)=0, d=0

Comme f'(0)=0, c=0

Comme f'(5)=0, 

d'où 15a+2b=0

2b=-15a

f(5)=2

Donc :

125a+25b=2

-125a/2=2

-125a=4

Donc 

Sauf distraction 

PS: ils sont quand même bizarre les coefficients >.>

Sinon pour la 2), on dit que l'abscisse de I est 2.5, on fait le tableau de variation de f' (en calculant f'') et on trouve que f' atteint un maximum en 2.5. D'où pente maximale en I.

En ayant l'équation de la tangeante, on trouve l'angle.

Pour la 3), moi, j'intégrerais ca mais comme on est en 1ere... je vois pas 
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 17:30
Posté par matovitch matovitch

Voir solution de la 1 ici (mon 1er message) : 

Drysss (toi au moins tu perds pas ton os  )>>

 Cliquez pour afficher
Bon, les coeffs, j'avoue...

Pour la 1 et la 2 c'est correct, et pour la 3 pas besoin d'integrer... 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 17:39
Posté par mikayaou mikayaou

Pour Drysss

 Cliquez pour afficher

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 17:43
Posté par mikayaou mikayaou

ou encore plus explicite, pour Drysss :

 Cliquez pour afficher

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 17:52
Posté par matovitch matovitch

MKY >>
 Cliquez pour afficher
Je choisirais plutôt la droite (AB) que (KM).

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 18:00
Posté par mikayaou mikayaou

pour ma part, MV, il est plus simple de calculer la surface d'un rectangle droit que celle d'un triangle, fut-il rectangle 

et avec AB c'est moins aisé à justifier 

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 18:14
Posté par mikayaou mikayaou

oui, tiens, MV, comment tu le justifies en prenant AB... ?

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 18:35
Posté par mikayaou mikayaou

Autre question à laquelle je n'ai pas réfléchi complètement :

Citation :

quelle est la courbe polynomiale passant par A, B et I, symétrique et changeant de concavité en I, qui a la plus faible pente en I ?

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 18:45
Posté par matovitch matovitch

En prenant AB, il est vrai que c'est plus difficile (de toute façon, f'(x) symétrique pour x = 2,5 ça justifie tout).

Réponse à ta question : Plus le degré du polynome est élevé, plus la pente en I est faible.

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 19:26
Posté par simon92 simon92

mika, je pense qu'il n'en existe pas une, mais plusieurs, car la pente peut être nulle en I.
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 20:06
Posté par Epicurien Epicurien

Dryss , ça me rassure que tu fasses la même bourde que moi!  

..oui , quand on s'en aperçoit apres on se sent niais ..
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 20:32
Posté par mikayaou mikayaou

Suite à l

Réponse à ta question : Plus le degré du polynome est élevé, plus la pente en I est faible.

Je reprécise ma question
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 20:43
Posté par mikayaou mikayaou

Grr

Suite à la réponse de MV :

Réponse à ta question : Plus le degré du polynome est élevé, plus la pente en I est faible.

Je reprécise ma question :

quelle est la courbe polynomiale passant par A, B et I, symétrique et changeant une seule fois de concavité en I, qui a la plus faible pente en I ?

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 20:57
Posté par Epicurien Epicurien

Mika > Peut etre en jouant sur la parité de l'exposant? 
 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 21:58
Posté par mikayaou mikayaou

on peut simplifier le problème en considérant :

Citation :
¤ le point I en l'origine O d'un repère

¤ une courbe impaire => polynôme ne d° impair

¤ f(0)=0 : la courbe passe en O

¤ le point B est en B(1;1) : la courbe réelle (pour 0<x<5 et 0<y<2) se déduira par homothétie sur x et y

¤ f(1)=1 pour B

¤ f'(1)=0 pour la tangente horizontale en B

¤ f doit être croissante pour 0<x<1 : B est le premier extremum à droite de O

il faut alors déterminer la/les fonction(s) telles que la pente en O, f'(0), soit la plus faible possible

 re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 10-07-08 à 23:31
Posté par mikayaou mikayaou

personne ?

alors on peut encore faire plus simple :

Citation :

Soit une fonction du 3° degré, croissante et strictement concave entre O(0;0) et B(1;1)

Quelles valeurs peut prendre la pente de la tangente en O ?

  re : [Vacances 1ère] Dérivées et polynômes Posté le 11-07-08 à 02:51
Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonsoir,

Est-ce que ça sert vraiment de blanker ? 
 Cliquez pour afficher
Je réponds histoire de répondre quelque chose 

On dérive pour avoir la dérivée en O :

La pente de la tangente en O peut prendre toutes les valeurs de c (super utile comme information ).

On a également en B :

En combinant avec a+b+c=1, on a : 

Je vois toujours pas où cela me mène mais bon.

Au fait le but c'est quoi ? de trouver une fonction qui respecte les mêmes conditions que celles de l'exercice initial, en ayant la plus faible pente en O ? Parce que dans l'exercice initial il est écrit que la tangente en O est nulle  Donc qu'est-ce qu'on cherche au juste ? 

Autant voir si je m'arrête là ou pas
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