Bonjour à tous

Je bloque en ce moment sur l'exo sympa suivant:

Mon idée est tout bebête: On procède par l'absurde en supposant l'existence d'un suite d'éléments de telle que pour tout n on ait: (inclusion stricte bien évidemment).
On montre alors que ce qui contredit l'hypothèse "M est noethérien".

Oui mais voilà, j'arrive pas vraiment à montrer que est effectivement une suite strictement croissante de sous modules de M...
En traduisant l'hypothèses "M est noethérien" sous la forme la famille des étant finie je me retrouve avec un système n équation n inconnues sur un anneau qui n'est a priori même pas intègre... Bref la galère quoi et pourtant je suis persuadé que ça va marcher...

Quelqu'un aurait-il une ch'tite idée? J'ai surement dû passer à côté de quelque chose foncièrement bête mais là... nada je vois plus rien.

Merci d'avance.

Ayoub

_{P.S: J'ai toujours eu la sale manie d'appeller les éléments d'un anneau et leur classe d'équivalence dans l'anneau quotient de la même façon. Donc prière de ne pas dégainer pour mes notations.}