Module de type fini - Anneau quotient noethérien

Forums

» » » »

Module de type fini - Anneau quotient noethérien

Posté le 10-07-08 à 12:24

Posté par 1 Schumi 1

Bonjour à tous

Je bloque en ce moment sur l'exo sympa suivant:

Citation :

Soit $\rm M$ un $\rm A$ -module noethérien et $\rm I=(0:M)$ l'annulateur de $\rm M$ dans $\rm A$ .
Montrez que $\rm A/I$ est un anneau noethérien.

Mon idée est tout bebête: On procède par l'absurde en supposant l'existence d'un suite $\rm (a_n)_{n\in\mathbb{N}*}$ d'éléments de $\rm A/I$ telle que pour tout n on ait: $\rm (a_1,...,a_n)\subset (a_1,...,a_{n+1})$ (inclusion stricte bien évidemment).
On montre alors que $\rm (a_1)M\subset(a_1,a_2)M\subset...\subset(a_1,...,a_n)M...$ ce qui contredit l'hypothèse "M est noethérien".

Oui mais voilà, j'arrive pas vraiment à montrer que $\rm ((a_1,...,a_n)M)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est effectivement une suite strictement croissante de sous modules de M...

En traduisant l'hypothèses "M est noethérien" sous la forme $\rm M=(m_i)$ la famille des $\rm m_i$ étant finie je me retrouve avec un système n équation n inconnues sur un anneau qui n'est a priori même pas intègre...

Bref la galère quoi et pourtant je suis persuadé que ça va marcher...

Quelqu'un aurait-il une ch'tite idée? J'ai surement dû passer à côté de quelque chose foncièrement bête mais là... nada je vois plus rien.

Merci d'avance.

Ayoub

_{P.S: J'ai toujours eu la sale manie d'appeller les éléments d'un anneau et leur classe d'équivalence dans l'anneau quotient de la même façon. Donc prière de ne pas dégainer pour mes notations.}

re : Module de type fini - Anneau quotient noethérien

Posté le 10-07-08 à 13:25

Posté par 1 Schumi 1

Ah ça y est je crois avoir trouvé...

Ma première idée ne convenait pas vraiment.
Pour ceux que ça peut intéresser:

On considère $\rm f:$ $\rm A\to M^k\\a \to (am_1,...,am_k)$ . On a alors que $\rm A/I$ est isomorphe à $\rm Imf/ker f$ avec $\rm ker f=I$ . D'où finalement A/I est isomorphe à un sous module de M^k qui est évidemment de type fini.
On conclut zézaiement.

re : Module de type fini - Anneau quotient noethérien

Posté le 10-07-08 à 13:33

Posté par monrow

Je t'en pris

re : Module de type fini - Anneau quotient noethérien

Posté le 10-07-08 à 13:34

Posté par 1 Schumi 1

re : Module de type fini - Anneau quotient noethérien

Posté le 10-07-08 à 13:36

Posté par infophile

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster

Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
16 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.