Espaces projectifs réels

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonjour à tous

Maintenant c'est sur l'énoncé que je bloque:




C'est quoi ce bazar? Qu'est ce qu'une relation d'équivalence engendrée par quelque chose? Je comprends à vrai dire même pas qui est le quotient du coup.

Quelqu'un peut-il m'aider?


Ayoub

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !


Une relation d'équivalence sur E est une partie de E².

L'intersection d'une famille de relation d'équivalence est encore une relation d'équivalence.

du coup la relation d'équivalence engendré par une relation, c'est la plus petite relation d'équivalence qui contiens cette relation.

De facon plus explicite, si ~ est une relation, la relation d'equivalence ~~ qu'elle engendre est la relation : x~~y si et seulement si il existe une suite de point x0...xn, telle que xO=x, xn=y et pour tous i xi ~ x(i+1) ou x(i+1)~xi


Ici ta relation c'est juste que si x~~y, alors x=y ou y=-x.

sachant cela je te laisse résoudre l'exercice qui à mon avi te poser aucun problème ^^

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut

Ok j'ai compris l'idée. Mais il y a juste un truc qui me chiffone là: Pourquoi il se restreint à la sphère unité? C'est volontaire ou dans l'absolu on s'en fout?

Posté par tealc tealc

Salut,

on se restreind à la sphère parce que c'est justement qui est intéressant d'un point de vue topologique ^^ Mais on aurait pu la définir sur la boule unité, voire sur bien sur

Posté par Fractal Fractal


Parce que c'est ça la définition de l'espace projectif

Sinon tu peux prendre et la relation d'équivalence qui identifie deux vecteurs positivement proportionnels, et tu obtiens la même chose (c'est ce qui est dit à la fin), mais si dans tu considères la même relation d'équivalence que celle-là, ben t'obtiens un truc complètement différent ^^

Fractal

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ok thanks


J'adooore tes justifications Fractal.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Pour bien comprendre cette histoire:

Sur Rⁿ\{0} on définit la relation d'équivalence



Montrer que l'espace quotient est homéomorphe à celui obtenu dans le début de l'exo.

Posté par Camélia Camélia

Désolée: sur Rⁿ⁺¹\{0}

Posté par Fractal Fractal

Camélia -> Déjà je me suis trompé, lambda ne doit pas être positif, mais juste non nul, il me semble que cela ne donne pas le même résultat, on obtient une sphère plutôt qu'un espace projectif.
Et puis sinon, c'est exactement la fin de son exo, non?

Fractal

Posté par Camélia Camélia

Tu as raison; je n'ai pas tout lu! Je suis en bas débit dans une résidence secondaire, alors j'essaye de faire vite, et je fais des bêtises!

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1



Ouf! Merci Fractal, j'étais en train de me dire que j'avais rien capté...

Bon je crois avoir trouvé. Quand on quotiente en fait, on se retrouve avec une demi sphère (un point sur 2 vole). Comme toute droite vectorielle de R^(n+1) est entièrement déterminée par un vecteur directeur on peut dire qu'elle est entièrement déterminée par son intersection avec ladite demi sphère trouvée (d'où l'homéomorphisme qui devient assez naturel àtrouver maintenant).
La connexité ainsi que la compacité est assez évidente.

Quant à la question de Camélia: Ben oui, quand on quotiente on retrouve une demi sphère puisque pour chaque droite vectorielle on peut se contenter d'un unique représentant (celui qui est sur la demi sphère par exemple). On retrouve donc le résultat.

Juste?

Posté par Fractal Fractal



Mvoui, enfin je serais toi j'essayerais quand même de le montrer tout à fait rigoureusement, parce que d'accord on voit bien que ça marche mais des fois il faut faire attention à son intuition.
Par exemple comment est-ce que tu vois trivialement que l'application du quotient de la sphère dans l'ensemble des droites projectives est ouverte? Moi ça ne me semble pas si clair que ça.
De même pour le fait que le quotient de la sphère est séparé, c'est toujours mieux de le vérifier.

Fractal

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ok je vais essayer de le faire vraiment C'est là qu'on voit l'énorme différence avec l'algèbre

Posté par Fractal Fractal


Pourquoi?
En algèbre aussi il vaut mieux ne pas toujours se fier à son intuition, si?
En tous cas il me semble bien avoir vu plusieurs fois des résultats de théorie des groupes qui paraîssaient clairs à première vue, mais l'étaient bien moins quand on essayait de les démontrer.

Fractal

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Oh que si, on se (je me ?) trompe rarement en suivant son intuition en algèbre générale. Bon évidemment il y a toujours des résultats tordus (modules, ce bon vieux H...) mais globalement il y en a beaucoup moins qu'en topo...
C'est pour ça que je suis une quiche absolue en topo

Bon allez, on y retourne.

Posté par Fractal Fractal


Je ne dis pas qu'on se trompe souvent en suivant son intuition en topologie, juste que c'est pas parce que c'est clair que ce sera facile à démontrer.

Fractal

Posté par Ksilver Ksilver

Pour le coup je suis d'accord, en algèbre les résultat "raisonables" sont quasiement tous le temps triviaux à prouver.

en Topologie, y a quand meme de beaux exemple de résultat qui ont l'air évident mais qu'on peine vraiment à prouver rigouresement. (le th de Jourdan typiquement, ou certain lemme d'existence de fonction type partition de l'unité... )


Enfin ici c'est vraiment trivial :

on déduit les deux à partir des propriété équivalente de la shpère en passant au quotient :

pour la conéxité, on obtiens la conéxité par arc en projetant un arc reliant deux point sur la sphère dans le quotient.

Pour la compacité, on applique le critère s'équentielle en relevant la suite en une suite sur la sphère et en extrayant une sous suite qui converge sur la sphère...

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ben c'est bien ce à quoi je pensais quand je disais que c'était évident. Je croyais que c'était plus fin que ça...

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Encore une question: c'est normal que tout ça me semble complètemet anti-naturel? Ca vient avec le temps (comme les qoutients d'anneaux par des idéaux) ou ça restera foncièrement contre intuitif?

Posté par Camélia Camélia

Rebonjour

L'espace projectif n'est pas a priori une évidence! Pour intuiter P₂(R) (qui n'est pas plongeable dans R³). On veut identifier les points antipodaux de S². Grossièrement parlant, on commence par le faire pour tous les points sauf l'équateur. On trouve à peu près un disque, dont on veut encore identifier les points opposés du cercle de bord (c'est ce qui reste de l'équateur). Pour ce faire: on découpe deux calottes au dessus du tropique nord et au dessous du tropique sud.

Si on identifie les points opposés du bord de la bande centrale, on récupère une bande de Möbius, dont le bord est un cercle.

Si on recolle les deux calottes, on trouve à nouveau un disque, dont le bord est juste l'endroit de la coupure. Il n'y a qu'à le remettre le long du bord de la bande de Möbius!

P₂(R) n'est rien d'autre qu'une bande de Möbius avec un couvercle!

Posté par Rodrigo Rodrigo

Bonjour,
les espaces projectifs relevent autant de l'algèbre que de la topologie, je trouve, en tout cas quand on se place sur d'autres corps... Et moi je trouve ça assez visuel au ontraire...On se contente de rajouter les points qui nous manquent, ou encore on colle les espaces affine pour attraper les points qui nous manquent.

Pour en revenir a la naturalité de l'agèbre sur la topologie...JE trouve que quand on se place dans des contextes sympathiques en algèbre oui ça coule...après on doit adapter les résultats a des situations plus générales les demo en deviennent plus complexes et justement moins intuitives... Le probleme avec le topologie c'est qu'on se sert trop de nos yeux, et donc ce qu'on voit a l'air vrai, le probleme c'est qu'il y a des trucs qu'on voit pas et qui existent (les courbes de Peano par exemple, une saloperie)

Enfin Ayoub, si tu veux concilier les 2....fait de la topologie....algébrique....c'est de la balle

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Camélia >> Oh mon Dieu, trop fun, j'adooore. C'est trop beau.

Rodrigo >>

Oui enfin bon, faut pas trop comparer ce que tu fais et ce que nous, humbles étudiants découvrant l'algèbre générale, faisons.



Dès que j'ai fini mon pavé d'algèbre commutative... (J'ai zamais vu un truc aussi inutile et moche que le produit tensoriel, rien que d'y penser ça donne mal de tête ). En parallèle avec de la géométrie algébrique (je vais enfin pouvoir m'initier! Enfin... ).

Posté par Ksilver Ksilver

J'ai zamais vu un truc aussi inutile et moche que le produit tensoriel

>>>

Le produit tensoriel, c'est quelque chose d'assez simple et intuitif, mais qui est souvent mal présenté. quand on attaque directement par les produit tensoriel de Module par la définition mathmétique rigoureuse c'est assez insuportable, alors que par exemple, quand on commence par étudier les produits tensoriels d'espace vectorielle de dimension finit, avec une définition "moche" (genre en le définissant par une base) comme le font très bien les physiciens pour la mécanique quantique par exemple, on voit que c'est vraiment pas sorcier et on peut se familiariser avec toute les notions intéressante : produit d'application, propriété universelle, algèbre symétrique et antisymétrique etc...  et après seulement on s'occupe de généraliser cela aux Modules et de voir qu'il y a quand meme deux trois petites choses qui se complique (mais de toute facon, en général les produit tensoriel se font sur des espaces vectoriel ou tous ce passe très bien ^^ )

Et surtous, c'est quelque chose d'Extrement utile, aussi bien dans la pratique que comme notion théorique intuitive.

Posté par Camélia Camélia

Oui, oui vive le produit tensoriel! Même que c'est un truc qui sert en physique!

Heureuse d'apprendre que P₂(R) est "fun"!

Posté par Camélia Camélia

Rebonjour

J'ai quand même envie de rédiger à peu près les réponses aux questions initiales.

D'abord la séparation de Sⁿ/~: Je note q la surjection canonique. Elle est ouverte,
tout simplement patce que si U est un ouvert de Sⁿ, on a
ce qui montre que q(U) est un ouvert du quotient.

Alors deux éléments distincts du quotient, sont deux classes {x,-x} et {y,-y} où les quatre points
sont distincts. Il est possible de mettre un ouvert U autour de x et un ouvert V autour de y tels que
U,V,-U,-V soient disjoints et alors q(U) et q(V) séparent la classe de x et celle de y.

Mais ceci montre que le quotient M=q(Sⁿ) est compact et, en prime, connexe.

Soient maintenant i l'injection canonique de Sⁿ dans Rⁿ⁺¹ et q' la
surjection canonique de Rⁿ⁺¹ sur le quotient .

On voit facilement que q' o i est constante sur les classes d'équivalence de ~, donc il existe
continue telle que
Par des arguments purement ensemblistes, on voit que est bijective.
Mais M étant compact, une bijection continue est un homéomorphisme.

_{Je ne m'en lasse pas! C'est dans ce genre de choses que l'on voit toute la puissance de
la topologie!}

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut Camélia

Merci d'avoir rédiger. C'est plus ou moins ce que j'avais sur mon brouillon et/ou dans ma 'tite tête.


Ah?! Tu fais de la topo parce que c'est monstrueusement puissant toi?

Posté par Camélia Camélia

Ce n'est peut-être pas la raison principale. Ce qui est frappant, c'est que les choses sont démontrées une fois pour toutes et en utilisant juste les propriétés significatives... Je suis tombée amoureuse de la topologie le jour où j'ai compris que les théorèmes jumeaux du maximum et des valeurs intermédiaires que l'on me vendait ensemble depuis toujours étaient des "faux jumeaux" l'un étant une histoire de compacité et l'autre de connexité!

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1


Ah oui d'accord, carrément. Je savais pas que c'était aussi sérieux, on en apprend tous les jours.

Posté par Fractal Fractal


Ne faudrait-il pas montrer que l'espace des droites vectorielles est séparé pour l'affirmer?
Moi j'ai toujours entendu préciser "Une bijection continue d'un espace compact dans un espace séparé est un homéomorphisme"

Fractal

Posté par Camélia Camélia

>Fractal En fait la démonstration de la séparation pour les droites marche pareil que pour la sphère. Mais ta question est pertinente; je réfléchirai! (toujours mes problèmes de bas débit...)

Posté par Camélia Camélia

>Fractal Tu as raison! il est impératif de montrer que l'espace d'arrivée est séparé!

Contrexemple: K compact, K' le même espace muni de la topologie grossière. L'identité est continue, bijective et bien sur pas homéo!!

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Merci Camélia et Fractal pour ces précisions.