Nombres complexes - module d'un quotient - demonstration

Posté par greyfar greyfar

Bonjour tout le monde,
je dois démontrer que module(1/z) = 1 / module(z).

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci

Posté par otto otto

Bonjour,
montre que |ab|=|a|.|b|
et pose a=z et b=1/z.

Posté par ciocciu ciocciu

salut
en posant z=p e^it avec p module de z et t arg(z)

calcules 1/z et tu en déduiras son module et arg

Posté par greyfar greyfar

Ok je vous remercie. En fait j'avais une démonstration dans un bouquin de prépa mais je la comprenais pas. Bref pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?

Posté par jamo jamo

Bonjour,

tout dépend d'où on part.

Si on ne veut ps utiliser la forme exponentielle, on peut utiliser la forme algébrique z=x+iy et ça marche assez bien aussi.

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

autre méthode

(1/z)*(z) = 1

module( (1/z)*(z) ) = module(1)

comme tu as du voir, en cours, que le module d'un produit est égal au produit des modules :

module( (1/z)*(z) ) = module(1/z)*module(z) = module(1)

tu déduis :

module(1/z)= 1/module(z)

Posté par J-P J-P

z = x + iy

1/z = 1/(x+iy) = (x-iy)/[(x+iy)(x-iy)] = (x-iy)/(x²+y²) = x/(x²+y²) - i.y/(x²+y²)

|1/z|² = [x/(x²+y²)]² + [y/(x²+y²)]² = (x²+y²)/(x²+y²)² = 1/(x²+y²)

|1/z| = 1/V(x²+y²)    (Avec V pour racine carrée).

|z| = V(x²+y²)

--> |1/z| = 1/|z|
-----
Sauf distraction.

Posté par mikayaou mikayaou

bien entendu, z est différent de 0...

Posté par mikayaou mikayaou

oops

ma "démo" de 17:57 n'est rien d'autre que celle d'otto à 15:28

Rendons à César ce qui appartient à Jules

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Tant qu' à faire, avec :

  

d' où

Posté par mikayaou mikayaou

ah, joli aussi cailloux-bonjour-

Posté par cailloux cailloux

Bonjour Mika

_{Je ne sais jamais si je dois mettre une majuscule aux pseudos ??}

Posté par mikayaou mikayaou

<sub>pour ma part, je me suis déjà prononcé dessus, je n'en mets pas

j'espère que personne ne s'en offusque</sub>

Posté par mikayaou mikayaou

ainsi j'ai appris qu'on devait employer la minuscule pour :

le p de : le prix Nobel

le o et le h de : un officier de la Légion d'honneur

Pour ma part, je respecte, jusqu'au bout, la façon dont le mathîlien a écrit son pseudo : en aucune manière, quand je l'écris en entier et non en abrégé, je le déforme...