[Vacances 1ère-Tle] Dérivées et polynômes

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Pente de la tangente en A dans [3/2 ; 2[ U ]2 ; 3]

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on sait que :


donc

Donc :





Donc

quand
1er cas :

Dans ce cas, . Donc
Donc est solution.

2eme cas:

Donc est solution

3eme cas : :



Donc
Donc est solution.

Donc S=[1/2;3]
Voilà, il doit manquer quelques raisonnements par équivalence mais bon, il y a l'idée de la démonstration.

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Je suppose que c'est accessible en 1ère, mais je n'ose plus me prononcer tant les programmes sont réduits d'année en année.

Pour ma part, j'ai fait ceci:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

avec f(0) = 0, f(1) = 1 et f'(1) = 0, on obtient directement le système:

d = 0
a+b+c = 1
3a+2b+c = 0

Qui permet d'exprimer b et c et fonction de a, on a alors:
f(x) = ax³ - (2a+1)x² + (a+2)x sur [0 ;1] et avec a différent de 0 (sinon on n'aurait pas de 3ème degré).

La concavité impose alors: f''(x) <= 0 sur [0 ; 1], soit:
3ax-2a-1 <= 0 sur [0 ; 1] et avec a différent de 0.

De là on déduit : a dans [-1/2 ; 0[ U ]0 ; 1]
Et la pente de f(x) en A étant f'(0) = (a+2), on a : Pente de la tangente en A dans [3/2 ; 2[ U ]2 ; 3]
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-->1ere condition: f(0)=0
Ceci n'est possible qui si d=0

-->2e condition: f(1)=1
Dès lors a+b+c=1

-->3e condition : f'(1)=0
Or f'(x)=3ax²+2bx+c
Donc, f'(1)=0<=>3a+2b+c=0

Avec ces conditions on a à résoudre le système suivant:



Posons où est une solution, le système s'écrit:

Les solutions sont donc ( puisque a ne peut être nul)

-->4e condition: f''(x)<0 lorsque 0<x<1.
c-à-d: 6ax+2b<0 lorsque 0<x<1
    
     1er cas: a<0
     ------------
Si a<0 alors
et
Donc

     2e  cas: a>0
     ------------
Si a>O alors
Et
Donc


Conclusion
~~~~~~~~~~

Comme


Sauf erreur(s), bien entendu