Forum : étude de fonctions :
[Vérification] Etude de fonction ^^

Bonjour à tous et à toutes! ^^
J'ai une petite hésitation pour ma réponse, alors au juste je m'explique! ^^
Je dois calculer 1/2 [f(x) + g(x)]
f(x) = 2x-3 + 1/(2x-1)
g(x) = 2x-3 - 1/(2x-1)

Pas très difficile, j'ai trouvé comme résultat : 2x-3.

Dans le repère (0;i;j) on désigne T sa courbe représentative, par M,N et P les points d'abscisse x placés respectivement sur C,T et D (avec x1/2)

La question est la suivante : Comment ce résultat se traduit-il pour les points M,N et P?

Je vous joins le graphique que j'ai fais :
(C) f(x) : bleu
(T) g(x) : rouge
(D) 2x-3 : Vert

Pour moi, j'hésite entre soit les points se confondent ou alors ils sont alignés!

Merci de votre aide!

Bonjour,

Tu peux montrer que tes courbes sont asymptotes  les unes par rapport aux autres , bleu et vert puis rouge et vert , et donc bleu et rouge .

salut,

Les points vont se confondre tout simplement

salut Kuider

Salut

J'ne suis pas tout à fait d'accord avec toi (je chipote ) , si les points se confondaient à un moment ,  cela voudrait dire que les courbes se coupent , je dirais donc que la distance entre les points va tendre vers 0 sans jamais l'atteindre

Bah c'est la question suivante Epicurien! ^^
Il faut déduire que C et T ont les mêmes asymptotes, et en effet c'est le cas.
Si les points se confondent pas, alors comment tu traduit le résultat pour les points M,N et P?

Salut, oui effectivement j'aurais du préciser, je répondait à :

citation :
Pour moi, j'hésite entre soit les points se confondent ou alors ils sont alignés!

Mais j'aurai du dire les points tendent vers la confusion
En effet leurs distance va tendre vers zéro mais il ne seront jamais confondu

S'ils ont la même abscisses ils sont nécessairement alignés lol

Pour montrer que (D) est asymptote à f, il faut que tu montre que la distance de f a (D) tend vers zéro, donc que limite en plus infini de f(x) - (2x-3) tend vers 0. Ce qui est évident aprés simplification

ou bien si tu veux faire ton Kéké essaie de montrer directement que bleu et rouge sont asymptotes .

Oui c'est vrai que c'est plus rapide et pas beaucoups plus dur :

Question subsidiaire:déterminer le centre de symétrie de rouge puis de bleu ^^

celle la je veux la traiter
D'après la tournure de ta question, il existe un centre de symétrie, les fonctions sont définies partout sauf en 1/2 et l'intersection de l'asymptote et de la droite y=1/2 donne le point (1/2;-2).

Bravo simon , c'était l'astuce

bonjour

Pour ceux qui veulent aller plus loin, question subsidiaire :

citation :
Déterminer la distance (minimale) entre les deux arcs rouges :

Mika, une question ,  Les points doivent-ils avoir la même ordonnée? (je dirais 1 en distance minimale lol ^^)

c'est ça le hic, Epi

les points ont-ils la même ordonnées ?

essaie de répondre toi même à la question en tentant quelque chose...

les maths, ce n'est pas seulement que d'appliquer des formules, c'est aussi d'oser faire des choses, de poser des hypothèses

pour ceux qui désirent vérifier leur résultats, je trouve une distance de : (dommage qu'on ne puisse pas blanquer...)

si tu le désires, après que tu aies un peu cherché ou envisager quelquechose, je te donne une piste...

Personne ?

alors un indice, pour débloquer

Vu la nature symétrique de la courbe vis à vis de I ( 1/2 ; -2 ), définis une droite D_t dépendant du paramètre t passant par I

cette droite a pour équation y = t(x-1/2)-2

citation :

maintenant cherche les points M et N d'intersection avec la courbe rouge

tu vois ensuite où je veux en venir ?

Oui , je vois ou tu veux en venir

Ah oui, pas bête ! Je vois tu cherche en fait à déterminer t tel que la distance soit minimale , astucieux , je ne connaissais pas je te promet de chercher apres avoir mangé .

je suis certain que ça va te plaire, Epi ...

Re-bonjour,
J'ai trouvé comme résultat,...
(pour ma part, j'ai du utiliser le calcul vectoriel pour résoudre l'exercice)

Re,

Je bloque un peu en fait ..

J'ai fait ça:

2x-3-1/(2x-1)=t(x-1/2)-2

2x-1-1/(2x-1)=1/2t(2x-1)

1-1/(2x-1)²=1/2t

et là , blocage

epicurien, montre déjà que pour un coefficient directeur donné, la droite qui passe par I donne toujours la distance MN minimum.
Ensuite cherche parmis toute les droites passant par I la quelle permet d'atteindre le minimum MN

Ah oui simon , voilà la donnée que j'ai pas exploitée! Merci bien!

Je cherche

désolé, Quent, nos valeurs sont très proches mais pas égales

à moins de m'être trompé...

simon , en fait aprés relecture , je tourne en rond ... je sors géogébra pour tester un truc

héhé a ton service Kuid
Souvent ce genre de raisonnement est assez utile, du genre pour démontrer qu'avec un périmetre donné le triangle qui a la plus grande aire est la triangle equilatéral, tu montres que si on a un coté donné, alors l'aire maximale est lorsque le traingle est isocèle en "le point qui n'est pas sur le segment dont on connait la longueur" (). Puis tu reutilise se résultat en faisant varier la longueur de départ.
(Peut-être que ma propriété de l'aire maximale est fausse, mais je le saentais bien. A vérifier donc )

tu tourne rond ? a quel endroit ?

Rah , j'laisse tomber cette piste (krodur pour moi) , j'en ai une autre (krodur pour moi) , un peu bizarre en fait , la distance minimale MN est atteinte lorsque la perpendiculaire à la tangente au point M et la perpendiculaire à la tangente au point N sont confondues.

Qu'en pensez-vous?  (j'demande avant de me lancer dans de gros calculs qui finalement ne seraient pas fondés..)

Oups, erreur de copier coller:


lire:

Rah , j'laisse tomber cette piste (krodur pour moi) , j'en ai une autre  , un peu bizarre en fait , la distance minimale MN est atteinte lorsque la perpendiculaire à la tangente au point M et la perpendiculaire à la tangente au point N sont confondues.

Qu'en pensez-vous?  (j'demande avant de me lancer dans de gros calculs qui finalement ne seraient pas fondés..)

Allo?

Bonjour
tout d'abord, la réponse à la question initiale, que je ne crois pas avoir vue jusqu'ici (mais j'avoue, j'ai lu en diagonale depuis les subsidiaires de mika :embarras : P est le milieu de [MN] ! c'est la conséquence immédiate de l'égalité (f(x) + g(x))/2 = ...

maintenant, je m'intéresse à la subsidiaire

ben je vois pas où tu coinces, Epi

fais comme je te l'ai dit :

tu as (D); cherches "bêtement" les intersections D et Cf

montre, au passage, qu'il y aura intersection pour t < 2

une fois que tu as x1 et x2, calcule d=IM en fonction de t

tu devrais trouver d² = (1+t²)/(4-2t)

ensuite, détermine t pour que d ( donc d² ) soit minimal

tu devrais trouver t = 2 - racine(5)

puis tu remplaces en disant que MN = 2IM pour t=2-racine(5)

suis-je clair

tu essaies de le faire selon la procédure que je viens de te décrire ?



tout ça, sauf erreur de ma part...
.

et en changeant de repère, pour prendre comme axes les deux bissectrices (intérieure et extérieure) des asymptotes ?

Quent, peux-tu développer comment tu trouves racine(34)/6 ?

"y'aurait plus qu'à" calculer 2y(0) ....

nan, c'est bête ce que je dis : plutôt chercher les abscisses des points d'intersection avec le nouvel axe horizontal

Oui , Mika , euh , l'équation de D , tu as travaillé avec laquelle toi? J'suis resté avec la paramétrée ..

en effet, epi, c'est bien avec la paramétrée qu'il faut travailler

tes x1 et x2 dépendent bien de t

tu poursuis ?

Ah mais oui , ok , je vois dans ce cas! En fait , je savais pas qu'il fallait que x1 et x2 dépendent de t !

Oui , je poursuis avec plaisir , ça m'a débloqué ^^

si la distance dépendant de t, M(t) et N(t) aussi

en fait, il faut absolument que tu "vois" ton problème avant d'écrire des équations

il te faut acquérir ce feeling qui te permettra d'élaborer des hypothèses et te débloquer des situations

ça vient avec le temps...

citation :
ça vient avec le temps...

papy mika a dit /D

grr , pas /D

quand je dis ça vient avec le temps, je pense aux élèves, lafol

j'avais eu une élève en cours particulier en seconde, qui traînait un peu les pieds avec les maths...

quand je l'ai laissée en terminale, je lui donnais des exos...pour le plaisir, pardon...pour son plaisir

"venir avec le temps" n'était que sur une période de 2 ans

Je pars d'ici pour simplifier: 1-1/(2x-1)²=1/2t

Alors,

1-1/(2x-1)²=1/2t

1/(2x-1)²=1-1/2t

(2x-1)²=1/(1-1/2t)

4x²-4x-1=1/(1-1/2t)

J'appelle A=1/(1-1/2t) par fénéantise

L'équation devient:

4x²-4x-1-A=0

=16+16*(1+A)

Donc , là  , pour qu'on ait deux solutions il faut que

1+A>0

1-1/2t>0

soit t<2


Je continue?

ok

confirmes-tu, sur la droite Dt pivotante en I, que t doit-être inférieur à 2 ?

Oui , c'est mon dernier mot Mika

c'est parfait si tu as eu le réflexe de confirmer ta condition t < 2

tu continues ?

donne éventuellement tes résultats qu'on puisse confirmer pas à pas... à moins d'aller jusqu'au bout tout seul

A toi de voir

Ok , je continue ,j'attendais ton feu vert

Oui , je préfére donner au fur à mesure , suis trop nul pour faire tout d'un coup

ça te gêne pas?