integrale

Posté par freddou06 freddou06

salut!!

je souhaite trouvé la valeur de l'integrale suivant..

I = dx /(2 + cos(x)) entre 0 et pi

on me dit de faire un changement en posant t = tan(x/2)..

j'obtient en utilisant la formule I = 2 / ((2 + cos(2arctan (t))(1+t²)) dt entre 0 et + mais la je suis bloqué... ^^

merci de votre aide!!

Posté par infophile infophile

Salut

cos(x) = (1-t²)/(1+t²)

x = 2arctan(x) donc dx = 2/(1+t²)

Remplace et simplifie

Posté par freddou06 freddou06

en fait c'est au niveau du cos(2arctan(t)) que je bloque jarrive pas a le simplifier...

d'apres toi cos(2arctan(t)) =  (1-t²)/(1+t²)?!

Posté par infophile infophile

Oui c'est une relation à connaître :

Posté par freddou06 freddou06

ok merci a toi ta pas une ptite demo de cette relation parce que je lai trouvé nul part

Posté par J-P J-P

tg(x/2) = t

--> cos(x) = (1-t²)/(1+t²)
2 + cos(x) = (1-t²+2+2t²)/(1+t²)
2 + cos(x) = (t²+3)/(1+t²)


et dx = [2/(1+t²)] dt
-----

dx/(2 + cos(x)) = [2/(1+t²)] * [(t²+1)/(3+t²)]dt

dx/(2 + cos(x)) = [2/(3+t²)]dt

et en posant t = V3 u
dt = V3 du

dx/(2 + cos(x)) = 2*V3 *(1/(3(1+u²)) du

dx/(2 + cos(x)) = (2/V3) *(1/(1+u²)) du

S dx/(2 + cos(x)) = (2/V3) * S (1/(1+u²)) du

S dx/(2 + cos(x)) = (2/V3) * [arctg(u)]

x = 0 --> t = 0 --> u = 0
x = Pi --> t = +oo --> u = +oo

S(de 0 à Pi) dx/(2 + cos(x)) = (2/V3) * [arctg(u)](de 0 à +oo)

S(de 0 à Pi) dx/(2 + cos(x)) = (2/V3) * Pi/2

S(de 0 à Pi) dx/(2 + cos(x)) = Pi/V3
-----
Sauf distraction.

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

(salut Kevin)

Une démo qui se base dur le fait que  1/cos²(x) = 1+tan²(x)  (expression de la dérivée de tan)

cos(2a) = 2cos²(a) - 1 = 2/(1+tan²(a) - 1 = (1-tan²(a))/(1+tan²(a))

Ca te va ?

Posté par freddou06 freddou06

ok merci a vous tous ^^

Posté par lyonnais lyonnais

Salut J_P

Je confirme le résultat ( magnifique calcul rondement mené )

Posté par infophile infophile

Euh je les connais pas par coeur, je ferais comme ça :

1/cos²(x) = 1 + tan²(x) <=> cos(x)² = 1/(1+tan²(x))

Tu poses x = arctan(t) et tu reportes d'où cos²(arctan(t)) = 1/(1+t²)

Et comme cos(2x) = 2cos²(x) - 1 t'obtiens bien ce qu'il faut.

Posté par infophile infophile

Oua méga grillé

Salut à tous