Inégalité

Posté par cohlar cohlar

Bonjour, je n'arrive pas à montrer que pour une application de classe C¹ de [0,1] dans R, on a :
x[0,1], f(x)²2(f(0)²+(0 à 1) f'(t)²dt)
Est-ce que quelqu'un aurait une petit coup de pouce à me donner svp?
Merci d'avance

Posté par Rodrigo Rodrigo

Bonjour,
C'est une simple application de Cauchy-Schwartz.

Posté par cohlar cohlar

Là non plus je ne vois pas comment tu applique Cauchy-Swarz, peux-tu détailler stp?

Posté par Rodrigo Rodrigo

Tu ecris que

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

Je suis d'accord, c'est une simple application de Cauchy-Scwarz :

pour tout x dans [0,1] en utilisant Cauchy Schwarz tu montres facilement que :

|f(x)| |f(0)| + int(0,1) |f'(t)|² dt

Après il reste à utiliser une toute petite astuce

Posté par cohlar cohlar

Décidément, Cauchy-Schwarz est la réponse à tout ^^
Merci beaucoup, il faudrait que je réfléchisse plus souvent à ce genre d'astuces!

Posté par Fradel Fradel

Bonjour,

ok, lyonnais, mais je ne vois pas la "toute petite astuce" qui permet de conclure

Posté par cohlar cohlar

L'astuce a été donnée par Rodrigo au-dessus.

Posté par Fradel Fradel

Bonsoir,

Je dois être bien fatigué mais je ne saisis toujours les raisonnements qui vous conduisent à la démonstration de la propriété énoncée.
Personnellement je vois les choses comme suit :
Rodrigo a écrit :
    f(x)=f(0)+int(0,x) f'(t)dt
ok, rien à redire. Suite à ça, lyonnais répond :
    abs(f(x))<= abs(f(0))+ int(0,1) f'^2(t)dt
peut-être, mais après?
Moi, j'écris:
     abs(f(x))<= abs(f(0)) + int(0,x) abs(f'(t))dt
et donc
     abs(f(x))<= abs(f(0)) + int(0,1) abs(f'(t))dt
En élevant au carré et remarquant que, pour a>=0 et b>=0, on a (a+b)^2<=2*(a^2+b^2) on a:
     f(x)^2 = 2*(f(0)^2 + (int(0,1) abs(f'(t))dt)^2
Puis on a la conclusion en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
     (int(0,1) abs(f'(t))dt)^2 <= int(0,1) f'^2(t)dt
Y-a-til un raisonnement plus rapide ?

Posté par cohlar cohlar

Non, ton raisonnement est très bien ^^
En fait avant cette question on définit le produit scalaire suivant sur les fonction C1 sur [0,1] à valeurs réelles :
<f,g>=f(0)g(0)+int(0,1)f'(t)g'(t)dt
Du coup, moi j'ai écrit que f(x)=f(0)+int(0,1)f'(t)dt=<f,g> où g(t)=1+t et l'inégalité de Cauchy-Schwarz me donne directement |<f,g>|||f||.||g|| avec ||g||=2.
Mais ta méthode me parait un peu plus rapide, le "secret" était juste de décomposer f(x) comme il fallait