équation différentielle

Posté par cygne cygne

Bonjour
soit l'équa différentielle : x^2y''-x*y'+y=0 J ai bien vérifié que les solutions sont *x+x*ln(x)
Ce que je n ai pas bien saisi c'est que le Wronskien vérifit l'équation
W'-W/x=0
Qu'es-ce que ce W'??
Pourrait-on m'écrire cette égalité en la détaillant ?
Merçi par avance

Edit Coll : espaces… Vérifie avec "Aperçu" avant de poster !

Posté par cygne cygne

il s 'agit de  x^2*y''-x*y'+y=0
Désolé je ne sais pas pourquoi le xpuissance 2 ne s'affichait pas
Merçi

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour cygne

le wronskien c'est si tu notes :

X1 : x --> x   et
X2 : x --> x.ln(x)

W(x) = W(X1,X2)(x) = X1(x).X2'(x) - X1'(x).X2(x)

Et en fait tu peux vérifier que si ton équa diff est :

y" + p.y' + q.y = 0

Alors le Wronskien vérifie :

W'(x) = -p(x).W(x)

Tu essais de montrer cette égalité ?

Posté par cygne cygne

Bonjour
Ok merçi au lyonnais J'ai bien vérié ça
Ce que je n avais pas compris , c'est que je voulais vérifier cette égalité seulement avec la solution évidente ( x) et avec seulement ça
Ce qui devait me permetre de trouver l 'autre ????
Merçi

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

Pour trouver l'autre solution, tu peux utiliser la technique suivante (on se place sur IR^+*)

Si z (ici z : x --> x) tu cherches une solution sous la forme y(x) = a(x).z(x)

En remplaçant dans l'équation : y" + py'+qy = 0  tu trouve que a vérifie :

a" + (2z'/z + p).a' = 0

Donc ici :

a" + (2/x - 1/x).a' = 0   ie :  a" + (1/x).a' = 0

D'où :

il existe µ1 tq pour tout x de , a'(x) = µ1.exp[-ln(x)] = µ1/x

D'où il existe (µ1,µ2) tq pour tout x de IR^+* , a(x) = µ1.ln(x) + µ2

Solutions sur IR^+* :

y : x --> Ax + B.x.ln(x) , (A,B) dans IR

Ok ?