Barycentre à 4 points

Posté par Tidad Tidad

Bonjour à tous et à toutes!
Je vais avoir besoin d'aide car là je suis perdu, j'arrive pas à faire cet exo! :s
L'énoncé est le suivant :

ABCD est un carré direct. Une machine dispose en tournant (dans le sens direct) des masses à chaque sommet, de valeurs successives 1,2,3,4,5,6, etc...
Après chaque tour, on considère le barycentre des points A,B,C et D pondérés par les masses cumulées déposées par la machine : ainsi, à l'issue du premier tour, on note G₁ barycentre de (A,1),(B,2),(C,3) et (D,4).
A l'issu du deuxième tour, on note G₂ barycentre de (A,1+5),(B,2+6),(C,3+7) et (D,4+8).

1. Construire G₁ et G₂. (On remarquera que la somme des masses en A et D est égale à la somme des masses en C et B.)

Déjà je ne sais pas comment on fait lorsqu'on a 4 points, je n'ai pas de formules dans mon cours avec 4 points. :s

Merci de bien vouloir m'aider!

Posté par dormelles dormelles

bonjour,
construis les barycentres E et F de A et D d'une part et de B et C d'autre part et ensuite le milieu de E et F

Posté par Tidad Tidad

Il n'y a pas de points E et F.
Je comprends pas ce que tu veux dire! :s

Posté par dormelles dormelles

E est le barycentre (que tu vas construire) de A et D. De même pour F

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

1) Tu utilise les barycentres partiels : soit E=bar{(A,1);(D,4)} et F=bar{(B,2);(C,3)}.
On a donc : . Tu peux ainsi construire les barycentres E et F. Comme on avait =bar{(A,1);(B,2);(C,3);(D,4)}, on a maintenant : =bar{(E,5);(F,5)}. Le point est donc le milieu de [EF].

Tu refais pareil pour .

En espérant t'avoir aidé

Posté par Tidad Tidad

Merci à vous deux!
Je tente tout sa, et je vous tiens au courant de ma progression!

Posté par Tidad Tidad

Pour G₂, voici ce que j'ai trouvé :

Soit M barycentre de (A,6);(D,12) et N barycentre de (B,8);(C,10).
On a donc : AM = 12/18 AD et BN = 10/18 BC

G₂ barycentre de (A,6);(B,8);(C,10);(D,12)
G₂ barycentre de (M,18);(N,18)
G₂ milieu de [MN]

Est ce que c'est bon?

Pour AM,AD,BN et BC ce sont des vecteurs mais je sais pas comment on fait sur le forum!

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Tout est bon !
Pour faire des fractions ou écrire des formules il faut utiliser le latex dont le manuel est ici : (clique sur la maison c'est un lien).

Voilà, si tu as d'autres questions, n'hésite pas

Posté par dormelles dormelles

Cela me semble correct; tu peux simplifier 12/18 = 2/3 et 10/18 = 5/9

Posté par Tidad Tidad

Par contre après la suite de l'exercice, sa devient vraiment difficile!

On note G_n le barycentre des points A,B,C et D pondérés (avec leur masse totale) par la machine à l'issue du n-ième tour et on cherche à connaître la position limite de G_n lorsque n devient très grand.

1. Quelle est la nature des suites de masses déposées à chaque tour aux différents sommets?
La nature des suites de masses déposées à chaque tour aux différents sommets est arithmétique.
(Cette question sa va, car on a déjà vu les 2 natures de suites : arithmétique et géométrique)

2. Démontrer qu'à l'issue du n-ième tour la masse totale en A est n(2n-1) et celle en D est n(2n+2).

3. Dans le repère (A;[vec]AB[/vec];[vec]AD[/vec]), déterminer les coordonnées du Barycentre K_n de (A,n(2n-1)) et (D,n(2n+2)).

4. Démontrer que les coordonnées du barycentre partiel L_n de B et C affectés de leur masse totale sont :

(1; (2n+1)/(4n+1) )

5. En déduitre les coordonnées du point G_n, ainsi que la position limite de G_n quand n tend vers +.

La 1. sa va, mais le reste pour moi c'est incompréhensible, je pense même pas avoir vu sa en cours! :s
J'ai vraiment besoin de votre aide!

Posté par dormelles dormelles

Au n) tour la machine a déposé en A : 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 4(n-1)+1 ; ce nombre est la somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 1 d'où la réponse : (1+4(n-1)+1).n/2

Posté par Tidad Tidad

J'ai pas compris ton résultat :s

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

2) Je reprends ce qu'a dit dormelles,
On appelle par exemple la suite qui traduit la masse déposée en A au tour (n+1).
On peut également écrire cette suite arithmétique comme ça : .
Pour connaître la masse totale en A au n-ième tour, il faut calculer la somme des masses déposées jusqu'au tour n :


Pour la masse totale en D, c'est exactement la même chose sauf que cette fois-ci.
D'où :

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Je continue,

3) Il te suffit d'exprimer le vecteur en fonction du vecteur :


On a donc qui sont colinéaires, donc est sur la droite (AD) (ce qui est logique car le barycentre de deux points appartient à la droite formée par ces deux points).
Dans le repère donné, on a donc immédiatement : car le point A est l'origine, est le vecteur   est un vecteur unitaire (de norme égale à 1).

(désolé si pour le multi-post mais je donne mes réponses au fur et à mesure parce que je suis occupé en même temps , j'espère d'ailleurs ne pas faire d'erreurs )

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

4) Cette question reprend exactement le même principe que les questions précédentes.
On détermine la masse totale en B et C : . On exprime alors le barycentre :

Rappelons que (ABCD) est un carré, donc le barycentre se situant sur la droite (BC), a pour abscisse 1 dans le repère et on a également . Le vecteur est donc unitaire. On en déduit les coordonnées du barycentre :

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

5) On a =bar{(A,n(2n-1));(B,2n²);(C,n(2n+1));(D,n(2n+2)).
On utilisant le théorème des barycentres partiels, on introduit les deux barycentres précédents :
=bar{(,4n+1);(,4n+1)}.
On en déduit donc que est le milieu du segment [].
D'où : .

On résume donc les coordonnées du barycentre : .

L'abscisse de est donc constante tandis qu'à l'infini on a :


La position limite de est donc le point .

Voilà, en espérant t'avoir aidé. Si tu as des questions n'hésite pas