Vecteurs unitaires tangents à la surface d'un cône

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Vecteurs unitaires tangents à la surface d'un cône

Posté le 14-07-08 à 20:41

Posté par Fractal

Bonjour

On considère l'espace topologique $3$\cal{T}=(\bar{\mathbb{D}}\times\mathbb{S}^1)/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ où $3$\pm\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ agit par $3$(x,y)\maps\pm(x,y)$ .

Il s'agit de l'ensemble des vecteurs unitaires tangents à un cône sur sa surface latérale.

Cet espace est-il homéomorphe à un tore tout bête $3$\bar{\mathbb{D}}\times\mathbb{S}^1$ ? (c'est à dire les vecteurs unitaires tangents à un disque fermé)

Sans tenir compte des vecteurs, le cône est clairement homéomorphe au disque, mais au niveau de la pointe du cône il y a deux fois moins de vecteurs qu'au centre du disque, donc ce n'est pas du tout clair que les fibrés tangents unitaires soient homéomorphes.
Seulement je n'arrive pas à trouver d'argument pour montrer qu'ils ne sont pas homéomorphes, auriez-vous une petite idée?

Merci

Fractal

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