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AF: Hahn-Banach
Bonsoir,
Soit un espace vectoriel normé.
On peut montrer à l'aide du théorème de Hahn-Banach que pour tout , il existe
tel que
et
.
Là j'ai du mal à voir pourquoi si est strictement convexe il y a unicité de
, et pourquoi il n'y a pas unicité en général.
Merci pour votre aide.
Bonsoir,
Attend E' c'est le dual topologique? Il est toujours convexe...c'est un espace vectoriel...C'est quoi exactement que tu appelles strictement convexe pour un espace metrique?
Bonsoir,
oui est le dual topologique.
Ah oui, j'ai pas précisé désolé:
Un ev normé est strictement convexe si pour tous
,
et
,
on a quelque soit
.
en dimension finie ça parait clairement strictement convexe,
dans le Brezis, il dit que les espaces de Hilbert le sont aussi.
Et les espaces (a priori pas strictement convexe) ont aussi l'unicité de
(pour d'autres raisons qui me paraissent encore obscur
)
Bon c'est tres simple que la stricte convexité implique l'unicité...
Si il y a deux f et g de norme 1 tel que <f,x0>=|x0|, et <g,x0>=|x0|, alors <tf+(1-t)g,x0>=|x0|, cela signifie que |tf+(1-t)g| est supérieur à 1...
.
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