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K-ev
Bonjour a tous!Quelqu'un pourrait m'expliquer ,exemples a l'appui, la différence entre un K-ev de dimension fini et un K-ev de dimension infinie.
Merci d'avance
Bonne journée a tous
Munnin
Bonjour ! 
Une petite définition :
Un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement s'il admet une famille génératrice ayant un nombre fini d'éléments.
Un espace vectoriel de dimension infinie est donc un espace vectoriel qui ne peut pas etre généré par une famille finie.
Par exemple, l'ensemble des polynomes à coefficients réels, sans condition sur le degré, est de dimension infinie.
L'ensemble des fonctions continues définies sur [0;1] l'est aussi.
Pour qu'un espace vectoriel E soit de dimension infinie, il faut et il suffit qu'il existe une famille libre infinie d'éléments de E.
Pour l'espace des polynomes, la famille
Si c'est pas clair, n'hésites pas.
Bonjour K-evin (lol moyen la blague),
Quand tu as une dimension finie, cela signifie que tous les éléments de l'espace peuvent être exprimés comme combinaison linéaire d'un nombre fixé et fini d'entre eux (la base). Par exemple:
² est un -ev de dimension finie car tout couple (a;b) peut s'exprimer comme:
a*(1;0)+b*(0;1)
Par contre, [X] n'est pas de dimension finie car tout polynôme à coefficients réels ne peut pas s'écrire comme combianaison linéaire d'un nombre fixé et fini de polynômes. Supposons que ce soit le cas:
Je considère donc P un polynôme dont le degré est maximal (qui existe même si je ne le prouve pas).
Alors X*P(X) est dans [X] et son degré est plus grand que celui de P. Donc il y a contradiction.
C'est très clair!!Merci pour ton explication!tjs rapide sur l'ile les reponses!!
Merci bcp
bonne journée a toi
Munnin
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