integrale!!

Posté par freddou06 freddou06

bonjour, je narrive pas a faire cet exercice :

on cherche a etudier la convergence de lintegrale ;

(xln + a)dx entre 1 et avec a .

merci de votre aide!!

Posté par kaiser kaiser

Bonjour freddou06

On est en train d'intégrer une fonction continue pour x > 0. les seuls problèmes sont en 1 et l'infini.

En 1, il n'y a finalement pas de problème car le log est intégrable en 0 (à détailler un peu).
En l'infini, écrit d'une autre manière pour pouvoir utiliser le Dl de ln(1+u) en 0.

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ok merci de ton aide je vais essayer comme ca par contre elle est bien continue pour x>1 et non 0 car ln n'est pas definit si x [0 , 1] non?

Posté par kaiser kaiser

ah oui, effectivement, il y a un problème. Tu es sûr de ne pas avoir oublié de valeurs absolues ?

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

non il n'y a pas de probleme puisque on me demande lintegrale entre 1 et linfini on a pas besoin de regarder x sur [0,1[

Posté par kaiser kaiser

oula, je te prie de m'excuser, je dois être fatigué !!
Bref, on recommence.
En 1, vois-tu pourquoi c'est bien intégrable ?

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

lol cest pas grave je me penche sur la question et je te dis ce que je trouve^^

Posté par freddou06 freddou06

non je ne vois pas ce quil faut utiliser pour montrer que c'est bien integrable en 1..

Posté par freddou06 freddou06

tu peu me donner une piste?

Posté par freddou06 freddou06

peut etre un petit changement de variable t = x-1

Posté par kaiser kaiser

essaie de déterminer un équivalent simple en x=1.

Kaiser

Posté par kaiser kaiser

oui, pour pouvoir se ramener en 0.

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

bon ca me donne pas grand chose jobtien:

xln + a dx (entre 1 et a ou a )

= (t+1) ln + a dt (entre 0 et a-1)
mais bon jarrive pas a montrer que celle ci converge en 0

Posté par kaiser kaiser

écris que .

le deuxième terme est continue partout donc pas de problème. Le premier est équivalent ln(t) en 0. Reste à se souvenir pourquoi le log est intégrable en 0.

Autre chose : je suppose que c'est un lapsus quand tu dis "intégrale en 0 et a-1" (plutôt entre 0 et l'infini).

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ben je sais pas je pose "a" pour  separer l'integrale en 2 integrale une allant de (1 a "a") et 'lautre allant de ("a" a +oo) puisque il y a probleme en 1 et +00

un peu comme la fonction 1/x^ ou il y a probleme en 0 et en +00 on pose a = 1...

jai poser a pour ne soccuper que d'un probleme a la fois... lol cest pas bon?!

Posté par kaiser kaiser

a priori, a est n'importe quel réel. En particulier, il peut être entre 0 et 1 et tu te retrouve alors à intégrale ta fonction sur un sous-intervalle de [0,1], là où la fonction n'est pas définie.
Si tu veux séparer, tu peux par exemple regarder entre 1 et 2, d'une part, et entre 2 et l'infini, d'autre part. OK ?

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ouai desolé g mis a j'aurai du preciser aussi a > 1

Posté par freddou06 freddou06

on va mm dire b au lieu de a puisque ya un a dans l'enoncé ^^

Posté par kaiser kaiser

deux secondes. Tu peux me confirmer que l'intégrale dont il faut déterminer la nature est la suivante :



où a est a priori quelconque ?

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

c'est ca sauf que la borne inferieur de l'integrale c'est 1 et non 0

Posté par kaiser kaiser

pour éviter de rajouter des notations, tu peux comme je te l'ai conseillé, prendre b=2, par exemple.

Kaiser

Posté par kaiser kaiser

oui, désolé : laspus, à nouveau.

Bref, revenons à nos moutons : te souviens-tu pourquoi ln est intégrable en 0 ?

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ok en prenant b = 2 on a donc:

xln + a dx (entre 1 et 2)

= (t + 1) ln + a dt (entre 0 et 1)

= (t + 1) ln(t) - (t + 1) ln(t + 2) + a dt (entre 0 et 1)

en calculant ca, on obtient pas un reel?
sinon pour le ln

si on pose ln x dx (entre 0 et 1)
en integrant par partie on trouve que cest egale a 1

donc cest convergent en 0..

Posté par kaiser kaiser


si mais il faut dire pourquoi. (en gros celui qui pose problème c'est le ln(t) dont il faut dire que ce n'est finalement pas un problème).

Sinon, pour l'intégrale du log, ce que tu dis est correct, à la seule différence que son intégrale entre 0 et 1 vaut -1 et non 1.

Maintenant, regardons ce qui se passe en l'infini.

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ok juste pour que tu verifie :
je finis le calcul en 0:


=   (t + 1) ln(t) - (t + 1) ln(t + 2) + a dt (entre 0 et 1)
= (t + 1) ln(t)dt - (t + 1) ln(t + 2)dt + a dt (toutes entre 0 et 1)

jobtient en integrant les deux premiere par partie:

(t + 1) ln(t)dt = -2

(t + 1) ln(t + 2)dt = ln(3) - 1 celui la je crois quil y a une erreur.. j'ai poser u = ln(t+2) et v' = (t+1)

a dt = a

donc : (t + 1) ln(t) - (t + 1) ln(t + 2) + a dt (entre 0 et 1) = -2 - ((3/2)ln(3) - 1)) + a


donc convergente cest a dire en remontant,

xln + a dx (entre 1 et 2) converge!

Posté par kaiser kaiser

on te demande de montrer que ça converge et de calculer, ou alors de ne montrer que la convergence ?

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

jai fais quekques erreur le premier vaut -(5/4)
et le second ln(3) - (1/4)
mais la fin du raisonnement est pareil

Posté par freddou06 freddou06

il faut juste montrer que ca converge

Posté par freddou06 freddou06

mais pour que ca converge il faut que lintegrale soit egale a un reel donc on peut par le calcul prouver la convergence non?

Posté par kaiser kaiser

dans ce cas, ce n'est pas la peine de calculer pour montrer que ça converge.
Ici, là où ça coince c'est de savoir si (t+1)ln(t) est intégrable en 0. Or, (t+1)ln(t) est équivalent à ln(t) en t=0. Or on a dit ln est intégrable en 0 donc le tout est intégrable en 0 et on peut alors passer à ce qui se passe en l'infini.

Kaiser

Posté par kaiser kaiser



on peut mais c'est inutile : on dispose de critères pour prouver la convergence sans passer par le calcul (d'ailleurs, il y a des moments on ne peut pas calculer l'intégrale ou bien pas de manière immédiate.

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ok ca marche j'ai bien compris
donc l'integrale de depart est integrable en 1 quelque soit a ..

Posté par kaiser kaiser

oui, maintenant, on s'occupe de l'infini.

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ok tu ma dit dutiliser les DL?

Posté par kaiser kaiser

oui

Posté par freddou06 freddou06

xln + a = xln + a = x (ln (1-) - ln (1 +)) + a

or ln (1-) = - - - + o()

et ln (1 +) = - + + o()

donc ln (1-) - ln (1 +) = - - + o()

soit x (ln (1-) - ln (1 +) + a
= -2 - + o() + a et cette fonction tend vers -2 + a lorsque x tend vers +
donc il faut que a soit egale a 2... mais la limite en + qui tend vers 0 ne suffit pas pour dire que lintegral est convergente en +

Posté par kaiser kaiser

non, ça ne suffit pas pour conclure : la fonction fait mieux que de tendre vers 0, lorsque a=2 : donne un équivalent de cette fonction dans le cas a=2.

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

equivalent - or - converge en +00 donc lintegrale converge en +00 pour a = 2 et donc converge tout court en a = 2

Posté par kaiser kaiser

Oui, c'est bien ça !
Sinon, parle plutôt d'intégrabilité au lieu de convergence (car si une fonction est équivalente à une autre et que celle-ci possède une intégrale convergente, ce n'est pas forcément le cas de la première) !

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

je peux dire par exemple f est intégrable en +00 pour a = 2?!

Posté par kaiser kaiser

oui et en fait, on a montré mieux : l'intégrale de f existe si et seulement si a=2.
En effet, en 1, il y a intégrabilité et en l'infini, pour que l'intégrale converge, il faut a=2 et dans ce cas, il y a même intégrabilité.

Kaiser

Posté par freddou06 freddou06

ok merci beaucoup pour ton aide!

Posté par kaiser kaiser

Mais je t'en prie !

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour

Ce topic (très pédagogique) me permet de féliciter Kaiser "de vive voix" et de lui dire que je suis très content pour lui.

Posté par kaiser kaiser

Salut et Merci Jeanseb !

Posté par yasminou87 yasminou87

BONJOUR A TOUS , je galère un peu avec cette intégrale ln(x^2) est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer un peu s'il vous plait ? merci !

Posté par freddou06 freddou06

salut !!
tu aurait du ouvrir un autre topic
t'as essayer avec l'integration par partie en posant U = ln(x²) et V' = 1..
Ca marche!! ^^

Posté par yasminou87 yasminou87

MERCI FREDDOU , je vais essayer avec l'itegration par parties !a bientot