Ellipse paramétrée

Posté par lexouu lexouu

Bonjour !

J'ai un petit problème sur un exercice de vacances ! Voici l'énoncé :

Soit P un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé (O,i,j). Soit E l'ellipse de centre O paramétrée par :

x(t) = 5 cos(t)
y(t) = 3 sin(t)    t[-,]

Soit t[-,]. On note M(t) le point de E de paramètre t.
1) Montrer que l'équation de la tangente T_t à E au point M(t) est 3(cos t)x + 5(sin t)y = 15.
2) Montrer qu'il existe un unique point P sur la tangente T_t tel que les droites T_t et OP sont orthogonales.
3) Quel est le point P lorsque le point M(t) est un sommet de l'ellipse E ?
4) Démontrer que les coordonnées du point P sont :
X(t) = 45 cos(t)/(9 + 16(sin t)²)
Y(t) = 75 sin(t)/(9 + 16(sin t)²)

Voilà après y'a encore une deuxième partie mais je sais la faire.

J'ai fait la question 1) qui est plutôt facile, mais y'a juste un truc que je ne sais pas : dans l'équation de la tangente, le x et le y correspondent au x(t) et y(t) ou bien c'est juste x et y ? Je penche pour la deuxième option mais je suis pas sûr, je demande confirmation ^^
Sinon la 2) je vois pas comment faire, j'ai pensé à un produit scalaire mais je vois pas lequel faire, sinon j'ai pensé à un vecteur normal à la tangente, qui serait de coordonnée (3 cos t, 5 sin t), puis je cherche l'équation de la droite (OP) dirigée par ce vecteur, mais je vois pas comment le rédiger et je sais pas si c'est la bonne voie également !
Pour la 3), je suppose que c'est le sommet de l'ellipse lui même, et pour la 4) je n'ai pas encore d'idée !

Merci d'avance pour votre aide ^^

Posté par lafol lafol

Bonjour
question 1 : x et y sont x et y comme dans toute équation de droite. Ici, t est un paramètre lié au point en lequel on écrit la tangente.

question 2 : le point P cherché est le projeté orthogonal de O sur la droite Tt. ça suffit à justifier son existence et son unicité, non ?

si tu veux en plus ses coordonnées, écris qu'il est sur la droite : première équation 3(cos t)x + 5(sin t)y = 15, et que (OP) orthogonale à Tt : produit scalaire

ça te fait une deuxième équation, tu n'as plus qu'à résoudre le système

Posté par lafol lafol

mais trouver les coordonnées, ce n'est que la question 4 ....

Posté par lexouu lexouu

Ahh oui d'accord, pour l'existence et l'unicité du point P, oui ça doit sûrement suffir, c'est juste que lorsque je vois l'énoncé et ensuite la réponse, ça me semble pas assez, mais bon ça doit être ça.
Et pour les coordonnées, merci, j'ai fait les calculs je tombe sur le bon résultat ! ^^
Merci beaucoup ^^

Posté par lafol lafol

avec plaisir