longueurs triangles inconnues

Posté par VoxSapientem VoxSapientem

Bonjour, révisions de vacances obligent...
Je refais mes devoirs de l'année et il y a un problème que je n'arrive toujours pas à résoudre:

"La hauteur d'un triangle rectangle mesure 4,8 cm. La somme des longueurs des côtés de l'angle droit est de 14 cm.
En calculant de deux manières différentes l'aire du triangle, déterminer les longueurs des côtés de ce triangle"

Pourriez-vous m'aider svp? Je vous en remercie beaucoup...

Posté par dormelles dormelles

Bonjour,
L'aire d'un triangle rectangle peut se calculer par le demi-produit des longueurs des côtés de l'angle droit ou par le demi-produit de la hauteur par l'hypoténuse.

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour,

On note a et b les longueurs des côtés perpendiculaires du triangle.
On sait que a + b = 14.
Et la longueur de l'hypothénuse est égale à (a² + b²).
Je suppose que la hauteur égale à 4,8 cm est celle issue de l'angle droit, donc elle est perpendiculaire à l'hypothénuse...

La formule générale pour calculer l'aire d'un triangle est    S = * base * hauteur.
Sachant que la hauteur est de 4,8 cm et que la base est égale à (a² + b²), on a :    S = 2,4(a² + b²).

On remarque également qu'un triangle rectangle, c'est la moitié d'un rectangle découpé suivant une de ses diagonales. Donc, l'aire du triangle rectangle est la moitié de l'aire d'un rectangle de côtés a et b.
Ce qui nous donne l'égalité suivante :    S = ab

c'est-à-dire :      2,4(a² + b²) = ab.

Pour trouver a et b, il faut maintenant résoudre le système d'équations suivant :
2,4(a² + b²) = ab
a + b = 14

Tu sais continuer ?

Posté par VoxSapientem VoxSapientem

Pardon, je suis bête... j'aurai dû dire ce que je savais déjà lol. Et ça en l'occurence je le savais déjà lol.

Mais bon voilà, j'ai deux façons de trouver l'aire mais ensuite je ne sais pas quoi faire avec ces formules lol

Posté par Flo08 Flo08

oups... un peu tard  
Bonjour Dormelles  

Posté par VoxSapientem VoxSapientem

Merci Flo08, j'avais répondu à Dormelles... je regarde ce que tu as écrit, j'essaye...

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Soit A le sommet ou le triangle est rectangle, B et C les autres angles et H le pied de la hauteur.

L'aire vaut: ABAC/2 mais aussi AHBC/2. Tu as donc ABAC=AHBC.

De plus tu sais que AB²+AC²=BC².

Si tu ajoutes ces deux équations tu trouves

(AB+AC)²=AHBC+BC².

En remplaçant par les données tu trouves une équation du second degré en BC.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour à tous! Très en retard!!

Posté par dormelles dormelles

bonjour Flo.
Pourquoi sapientem et non sapientis.
En écrivant b = 14-a et en reportant dans la 1° équation tu dois savoir finir (

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour Camélia  

Posté par VoxSapientem VoxSapientem

ok j'y suis enfin arrivée... c'est chaud comme exercice je trouve... Sur un brouillon c'est ok mais sur une copie je ne sais pas dû tout comment organiser mes calculs (pas étonnant que j'ai 8,5 à ce devoir lol)...

Enfin, merci beaucoup à vous tous.


Et puis c'est Sapientem et non Sapientis parce que c'est une erreur de déclinaison lol, lorsque je m'en suis rendue compte c'était trop tard... le pseudo est resté lol... preuve que l'erreur est humaine hein...

Posté par Flo08 Flo08

Une suggestion pour la résolution du système :

2,4(a² + b²) = ab
a + b = 14


en élevant au carré l'équation   a + b = 14   on obtient :
(a + b)² = 14²
a² + 2ab + b² = 196
a² + b² = 196 - 2ab

Puis en remplaçant   a² + b²   par   196 - 2ab   sous le radical de la seconde équation, on obtient :

4,8(196 - 2ab) = ab

On pose ensuite P = ab, et on élève au carré les deux membres de l'équation pour éliminer le radical. On obtient alors une équation du second degré avec pour variable P.
(à noter : P est le produit de deux longueurs, donc forcément positif...)


On arrive donc au système suivant :

a + b = 14
ab = ... la valeur de P

Ce qui est beaucoup plus facile à résoudre...

Posté par Flo08 Flo08

oups... ma suggestion arrive un peu tard, on dirait