densité & continuité

Posté par Thallo Thallo

soit f:E->F continue, constante sur H tel que et (ie H dense dans E, avec H distinct de E))
Est-ce qu'alors f est constante sur E ?

je prend E=F, non vide & distinct d'un singleton, et je le munis de sa topologie grossière
toute partie non vide y est donc dense.
pourtant, si je prend f=Id, ma fonction sera bien continue et pourtant elle ne sera pas constante.
Rapé donc.

En fait je me demande si on peut généraliser le fait que si f:R->R continue, constante sur Q, alors elle est constante sur R

Posté par infophile infophile

Salut

Il est possible que je sois à côté de la plaque.



On a avec C constante.

Puisque est dense dans , tout élément est limite d'une suite de rationnels, on peut écrire .

Puisque est continue on a donc . Et puisque on a bien donc est constante sur .

A confirmer/infirmer

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !

Il faut que la topologie soit séparer pour que tous cela soit vrai. dans ton exemple (topologie grossière) ce n'est pas le cas.

Posté par infophile infophile

Salut Ksilver

J'y connais rien en topologie, tu peux développer ? Et dire ce qui est faux dans ce que j'ai fait.

Merci !

Posté par Thallo Thallo

Salut vous2!

pour infophile :
merci de la démonstration(qui me semble bonne), mais en fait je demandais si on pouvait généraliser ça à d'autre ensemble que R
Et Wikipedia est ton ami pour la topologie (bien que j'ai relu je ne sais combien de fois les articles et laisser "reposer la pâte" :p pour finalement ne pas savoir grand chose xD)

à Ksilver :
séparé : Pour (x,y) différents il existe 2 ouverts (notons Ox et Oy) tel que leur intersection soit vide ?
Et en quoi c'est cette séparation qui permet de montrer mon résultat ?

Posté par infophile infophile

Ah ok au temps pour moi



Mais là f n'est même pas constante sur la partie dense aussi

Posté par Thallo Thallo

arf, en effet, grossière erreur !(suis-je bête des fois xD)
quoique, si E={a,b} (avec a & b différents), j'ai bien id constant sur {a} comme sur {b} et ses deux parties sont denses dans {a,b} muni de sa topologie grossière
(quoi, rattrapage in extremis ? )

Posté par infophile infophile

Bien joué

Posté par Thallo Thallo

Erf, j'ai même mieux :
Soit E muni de la topologie grossière(avec E non vide, non singleton)
et je pose H={a}, avec a€E. H est distinct de E et est dense, Id_E est bien constante sur H. Id_E est évidement continue.
Et donc j'ai bien mon contre-exemple
(même pas besoin de prendre juste E={a,b}^^)
donc non non, ça marche bien, même avec E quelconque

Sinon pour la demo :
f:E->F continue, constante sur H qui est dense dans E
on a donc f(H)={a}, a€F
on prend F_a un fermé contenant a.
Comme f continue, f^-1(F_a) est un fermé de E, et qui contient H. or H est dense, donc f^-1(F_a)=E.
En particulier l'adhérence de {a} a pour image réciproque E
On en déduit aussi que tout ouvert ne contenant pas a, a pour image réciproque l'ensemble vide.
Mais je n'ai pas {a} un fermé (heureusement, sinon le résultat serait immédiat).
Donc je me retrouve bloqué :s
Une idée avec la séparation ?

Posté par Ksilver Ksilver

Re-bonjour ^^


On en déduit aussi que tout ouvert ne contenant pas a, a pour image réciproque l'ensemble vide. >>> soit maintenant b un point distinct de a. comme l'ensemble est séparé il existe un ouvert O contenant b et ne contenant pas a. l'image réciproque de cette ouvert est vide, donc b n'est pas atteint pas f. a est la seul valeur atteinte par f, donc f est constante !

Posté par Thallo Thallo

ha, tout simplement !
Merci beaucoup Ksilver.

mais "séparé", c'est pas normalement pour tout x,y différents, il existe Ox et Oy des ouverts disjoints ?
Là pour tout x,y il existe Ox un ouvert ne contenant pas y, c'est une exigence plus "faible" non ?

Posté par Ksilver Ksilver

Les anglophones ont une listes assez imprésionante de définition non équivalente de la séparation, qu'on peut trouver ici :

La définition francophone (Bourbakiste en fait :p) précise correpont à l'axiome T2. comme on le voit l'axiome T1 est suffisant pour ton problème. (je pense meme que le fait que ta caractérisation marche pour toute application et toute partie dense est une CNS pour que l'espace soit T1.. à vérifier...).


NB :T1 est en fait équivalent à l'énoncé plus classique, pour tous point a et b, il existe un voisinage de a qui ne contient pas b.
On voit bien que c'est plus fort que T0, et moins fort que T2. c'est équivalent à l'énoncé de wikipédia :

dans un sens, si {b} est fermé, alors E-{b} est un ouvert contenant a ne contenant pas b.

et dans l'autre sens, pour tous point b, on note Ob un ouvert contenant b qui ne contiens pas a, alors E-{a} = Union des Ob pour b parcourant E-{a} : c'est une réunion d'ouvert, donc un ouvert, et donc {a} est fermé !

Posté par Thallo Thallo

Rha, anglais & français, faut jamais avoir la même définition.
Ils font un concours de non-compréhension mutuelle ?

T1 est plus fort que T0, car on impose l'existence d'ouvert qui contient l'un mais pas l'autre, pour les 2. Alors qu'en T0 un seul ouvert nous suffit ?

"alors E-{a} = Union des Ob pour b parcourant E-{a}"
Je vois mal pourquoi on a effectivement ça :s

On pose Eb la réunion des ouverts contenant b mais pas a.
On suppose Eb est différents de E-{a} : donc il existe c différent de a appartenant à E-Eb. De plus, il existe Oc un ouvert contenant c, et ne contenant pas a. En particulier Ob union Oc est un ouvert de b ne contenant pas a, donc est inclus dans Eb.
D'où c élément de Eb, ce qui est contradictoire.
D'où Eb=E-{a} correct ?

Posté par Ksilver Ksilver


T1 est plus fort que T0, car on impose l'existence d'ouvert qui contient l'un mais pas l'autre, pour les 2. Alors qu'en T0 un seul ouvert nous suffit ?>>> tous a fait.



Pour le E-{a}, Ce que tu dit fonctione, mais ma construction était un peu plus simple :

pour chaque point b différent de a on choisit un voisinage Ob qui contiens b mais pas a. et on fait la réunion de tous ces ouverts. on obtiens E-{a} puisque a n'est pas dedans, mais que tous point b différent de a est dedans (puisqu'il est dans l'ouvert Ob...)

Posté par Thallo Thallo

Ouki !
Merci beaucoup Ksilver

Posté par Thallo Thallo

Je pense que T1 est trop fort(donc n'est pas une CN)

Prenons E={a,b}, f:E->E, f(E)={a},et T={o,{a},E}
Ma topologie est T0, mais pas T1.
f^-1(o)=o, f^-1(E)=f^-1({a})=E, donc f est continue.
je prend H={a}, alors H est bien dense, et f constante sur H.
Et j'ai bien f constante sur E sans avoir ma topologie T1
On voit même qu'il n'y a pas besoin que pour tout b différent de a, il existe Ob ne contenant pas a !

pourtant T0 ne me paraît pas suffisant.
Soit a et b différents :
-ou il existe Ob ne contenant pas a, alors b n'est pas atteint
-ou il n'existe pas de Ob ne contenant pas a, mais il existe Oa ne contenant pas b. Je trouve que Oa est dense dans F :s mais bon, pour conclure que b n'est pas atteint non plus :s

On va bien trouver un jour une CNS

Posté par Ksilver Ksilver

Tu t'embrouille les idées la.

Ce que tu donne n'est pas un contre exemple : si ta fonction est bien constante, alors quand tu l'as restreint à une partie dense elle est toujour constante.

L'équivalence qu'on peut espérer (je n'ai pas réfléchit elle peut-etre vrai.. ou peut-etre fausse ) c'est "E est T1 <=> pour toute fonction f continue sur E et toute partie dense H de E, si f est constante sur H alors f est constante sur E"

Toi tu prend un espace non T1, et tu montre qu'il existe quand meme une fonction constante sur E... c'est pas intéréssant.

Posté par Thallo Thallo

En effet, en effet. mea culpa

tentons c'est équivalence :
pour toute fonction f continue sur E, et pour tout partie dense H de E, alors :
si f est constante sur H, f est constante sur E <=> E est T1

On a déjà <=.
montrons =>

Soit a,b€F différents, mais topologiquement non distincts
soit f:E->F avec f(H)=a et f(E-H)=b
alors f est continue, constante sur H mais pas sur E : contradictoire
Donc F est au moins T0.

Mais T0 ne suffit pas pour avoir la propriété,
et je n'arrive pas à obtenir T1 :s

Posté par Ksilver Ksilver

Euh.. t'es entrain de montrer que F est TO... c'est E qui nous interesse nous ^^

en attendant mieux j'ai ceci :

E est T1 est équivalent à : pour toute fonction continu sur E, et toute parti H de E, si f est constante sur H alors f est constante sur l'adhérence de H.

en effet :


Soit a un point de E telle que {a} ne soit pas fermé.

alors l'application identité de E dans E est constante sur {a}, mais non constante sur l'adhérence de {a}.


Je sais pas si on peut faire mieux...

Posté par Ksilver Ksilver

Sinon je propose ceci, mais je suis pas totalement convaincu...


Montrons que

pour toute fonction f continue sur E, et pour tout partie dense H de E, alors :
si f est constante sur H, f est constante sur E <=> E est T1



Soit {a} un singleton non fermé, et G l'adhérence de {a}.

Posons F={a} Union (E - G )

et considéreons H le quotient de E par la relation d'équivalence R engendré par "pour tous (x,y) dans F, xRy". qu'on munie de la topologie quotient.

alors la projection canonique p:E->H est continu, constante sur F (qui est dense dans E) mais non constante globalement.

Posté par Thallo Thallo

Hum, c'est vrai qu'au cours de la discussion on est passé de f:E->F a f:E->E.
et moi je viens de repasser à f:E->F (mais je ne le dis qu'après avoir énoncer l'équivalence)
Mais c'est bien le fait que l'espace d'arrivé soit T1 qui nous permettait de conclure.
donc il fallait bien que je montre que F est T1 ?


Hum, ne plus se préoccuper de la densité, mais de l'adhérence donc ?
Pourquoi pas

va falloir que je révise la topologie quotient par contre, car là je n'ai pas tout capté. Notamment la relation d'équivalence que tu prends ?

Posté par Ksilver Ksilver

Non non, c'etait bien la séparation de l'espace de départ qui etait importante.


La relation d'équivalence, c'est la relation xRy si et seulement si x=y ou "x et y sont tous les deux dans F". en gros le passage au quotient identifie tous les point de F entre eux.

va falloir que je révise la topologie quotient par contre >>> oui moi aussi... y a peut-etre un truc ou deux pas nette dans ce que je viens de dire... mais il y a quand meme de bonne chance que ca soit juste ^^

Posté par Thallo Thallo

Je cite >>>
On en déduit aussi que tout ouvert ne contenant pas a, a pour image réciproque l'ensemble vide. >>> soit maintenant b un point distinct de a. comme l'ensemble est séparé il existe un ouvert O contenant b et ne contenant pas a. l'image réciproque de cette ouvert est vide, donc b n'est pas atteint pas f. a est la seul valeur atteinte par f, donc f est constante !

Donc c'est bien l'ensemble d'arrivé qu'on a supposé T1 ?

merci pour la relation d'équivalence, c'est plus clair ^^
Par contre je ne pas du tout quels sont les ouverts de E/R (ceux qui ont pour image réciproque un ouvert de E par la fonction qui a x associe sa classe d'équivalence ?"
Ici nos classes d'équivalence sont donc F et {b}, avec b€E-F ?

Posté par Ksilver Ksilver

Oui tu as raison, je me suis embrouillé...

on reprend tous à zéro :

on veut montrer :
F est T1 <=> "pour tous espace topologique E, toute application continue de E dans F et toute partie H dense de E, f est constante sur H => f est constante sur E "

le sens => a été fait plus haut.

montrons <=.

Soit {a} un singleton de F, et b un point de l'adhérence de {a}

Considérons E={0,1} munie de la topologie { vide, E, {1} }
et l'application f:E->F, 1->a, 0->b

montrons que f est continu. pour cela on va vérifier que l'image réciproque d'un fermé est fermé.

Soit M un fermé de F, on à a priori 4 cas possible :
M contiens a et b, f^(-1)(M) = {0,1} est un fermé.
M contiens ni a ni b : f^(-1)(M)=vide est fermé
M contiens a mais pas b : c'est impossible car M est fermé et b appartient à l'adhérence de {a} !
M contiens b mais pas a : f^{-1}(M)={0} est fermé (complaimentaire de {1} )

f est donc bien continu.

Enfin f est constante sur une partie dense de E : {1} (aucun fermé autre que E ne contiens {1}...), donc f est constante sur E, et donc a=b. d'ou l'adhérence de {a} est {a} : tous les singleton de F sont fermé. F est T1 !

Posté par Thallo Thallo





la petite bête c'est que ce n'est pas "pour tout espace topologique E" ?
Mais chapeau en tout cas Merci beaucoup !

Si on remplace E={1,0} munie de {o,{1},E} comme topologie
par juste E, et H une partie dense de E, {a} un singleton de F, b un point de l'adhérence de {a}
et f:E->F avec f(H)=a et f(E-H)=b

Si on reprend M une fermé de F alors :
* contient a et b, alors f^-1(M)=E qui est fermé
* contient ni a, ni b : alors f^-1(M)=o
* contient a, mais pas b : impossible par définition de b et de l'adhérence
* contient b mais pas a : f^-1(M)=E-H, et là on ne sait pas si c'est un fermé :s

Posté par Ksilver Ksilver

Non il y a pas bessoin de faire ca :

Pour l'implication =>, il faut montrer que "pour tous espaces topologique E etc..."


mais dans mon pose, je prouve l'implication <=, ici le fait que "pour tous espace topologique E, [toute application continue de E dans F et toute partie H dense de E, f est constante sur H => f est constante sur E ]" est une hypothèse, je peut donc l'appliquer à un espace E particulier.

Si tu ne fais pas le choix d'un espace particulier, il est difficle de construire une application continu non constante de E->F (c'est meme parfois impossible...)

Posté par Thallo Thallo

ha vi, faut que je revois ma logique :s
(on va dire que l'odeur du white spirit des travaux n'aide pas à avoir l'esprit lucide )

Et merci pour ton aide, je sens que je vais adorer la topologie :p

Posté par Ksilver Ksilver

De rien, mais normalement, on fait pas ce genre de chose en spé :p