L'ensemble C / injection

Posté par 4r1k 4r1k

Bonsoir,
Étant donné que j'arrive pas à résoudre ce problème j'aimerai donc bien que quelqu'un m'y réponde.

Pour Quels , L'application de dans définie par est-elle injective?

Posté par Thallo Thallo

Bonsoir,
Si n=1, c'est l'identité, donc oui .
pour n>=2, non puisque si je prend les racines de l'unité, il y en a n, distinctes, et ont toutes pour image 1

Posté par tealc tealc

Salut,

supposons

Si b = 0 alors a = 0. Supposons donc b différent de 0

alors

c'est à dire : est une racine n ième de l'unité. Pour conclure, on dit qu'il y a plus qu'une racine distincte n ieme de l'unité pour n > 1 pour en déduire que l'application n'est injective que pour n=1.

Sauf erreur

Posté par tealc tealc

(grilled ... Salut Thallo)

Posté par Thallo Thallo

Salut tealc !
belle démonstration qui prend a & b quelconques et se ramener au contre-exemple des racines de l'unité

(moi je suis fainéant, je me suis contenté du contre-exemple)

Posté par tealc tealc

Le coup du contre exemple est autrement plus efficace

Posté par 4r1k 4r1k

j'ai rien pigé
D'après ce que j'ai lu, pour montrer qu'une fonction est injective, je dois montrer normalement que implique
pour un certains n,or ce n'est pas le cas ici.

Posté par Mariette Mariette

bonjour,

f est injective si : pour tous a,b dans C tels que : f(a)=f(b) implique a=b.

donc :

f n'est pas injective si : il existe a,b, dans C tels f(a)=f(b) ET a et b distincts.

CE que te proposent tealc et Thallo (salut à vous ) c'est de montrer qu'il existe des a et b distincts tels que f(a)=f(b) :

si a et b sont des racines niémes de l'unité ( et par exemple) f(a)=f(b)=1.

a et b sont bien distincts pour n différent de 1. Pour n=1 f est l'identité donc elle est injective.