Petit théorème de Fermat

Forums

» » » »

Petit théorème de Fermat

Posté le 19-07-08 à 11:06

Posté par Hanspeter2

Bonjour,
je suis en train de consulter un ouvrage et l'auteur y parle du petit théorème de Fermat, mais j'ai vraiment de la peine à comprendre ses applications:

1. On cherche $1993^{1994^{1995}} \(mod \ 7)$ :

$1994^{1995}\equiv 2^{1995}\equiv 2 \(mod \ 6)$
$1993^{1994^{1995}}\equiv 1993^2\equiv 4\(mod \ 7)$
Comment se fait-il qu'il change tout à coup de modulo ? et où est Fermat là-dedans ?

2. Pour le théorème d'Euler maintenant. On veut $5^5^5^5^5 \(mod \ 2^5\cdot 5^5)$ :

$\varphi(2^5)=16$ , donc il suffit de déterminer le reste de la division euclidienne de $5^5^5^5$ par 16.
Je ne vois vraiment pas pourquoi...

Merci d'avance de votre aide

re : Petit théorème de Fermat

Posté le 19-07-08 à 15:08

Posté par ThierryMasula

Si je ne me trompe, le petit théorème de Fermat appliqué ici nous dit que

$4$\forall a\not\equiv0\(mod\ 7);\quad a^6\equiv 1\(mod\ 7)\quad puisque\ \varphi(7)=6$
On réduit ainsi l'exposant.

re : Petit théorème de Fermat

Posté le 19-07-08 à 15:28

Posté par Hanspeter2

Oui, je vois bien les énoncés des deux théorèmes, mais je ne vois pas comment ils sont utilisés dans la démarche présentée.
Pourquoi utilise-t-on un modulo 6, tandis que l'on travaille en modulo 7 ? On dirait de plus que l'auteur le réinjecte dans la congruence modulo 7...

re : Petit théorème de Fermat

Posté le 19-07-08 à 17:28

Posté par Drysss

Pour le 1), tu t'intéresses d'abord à la congruence modulo 6 de l'exposant puisque

a^(6k+r) congru à a^r modulo 7 selon le petit théorème de fermat du coup, on obtient :

1993 ^ 1994 ^ 1995 congru à 1993 ^ 2 modulo 7.

Pour la 2), je vois pas trop puisque je n'ai pas fait le théorème d'Euler.

re : Petit théorème de Fermat

Posté le 19-07-08 à 17:38

Posté par Hanspeter2

Oui, c'est ça !
Cela résout aussi le deuxième, c'est le même principe.
Merci bien

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster

Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

arithmétique en terminale
1 fiches de mathématiques sur "arithmétique" en terminale disponibles.