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Petit théorème de Fermat


terminalePetit théorème de Fermat

#msg1936334 Posté le 19-07-08 à 11:06
Posté par ProfilHanspeter2 Hanspeter2

Bonjour,
je suis en train de consulter un ouvrage et l'auteur y parle du petit théorème de Fermat, mais j'ai vraiment de la peine à comprendre ses applications:

1. On cherche 1993^{1994^{1995}} \(mod \ 7):

1994^{1995}\equiv 2^{1995}\equiv 2 \(mod \ 6)
1993^{1994^{1995}}\equiv 1993^2\equiv 4\(mod \ 7)
Comment se fait-il qu'il change tout à coup de modulo ? et où est Fermat là-dedans ?

2. Pour le théorème d'Euler maintenant. On veut 5^5^5^5^5 \(mod \ 2^5\cdot 5^5):

\varphi(2^5)=16, donc il suffit de déterminer le reste de la division euclidienne de 5^5^5^5 par 16.
Je ne vois vraiment pas pourquoi...

Merci d'avance de votre aide .
re : Petit théorème de Fermat#msg1936468 Posté le 19-07-08 à 15:08
Posté par ProfilThierryMasula ThierryMasula

Si je ne me trompe, le petit théorème de Fermat appliqué ici nous dit que

4$\forall a\not\equiv0\(mod\ 7);\quad a^6\equiv 1\(mod\ 7)\quad puisque\ \varphi(7)=6
On réduit ainsi l'exposant.
re : Petit théorème de Fermat#msg1936483 Posté le 19-07-08 à 15:28
Posté par ProfilHanspeter2 Hanspeter2

Oui, je vois bien les énoncés des deux théorèmes, mais je ne vois pas comment ils sont utilisés dans la démarche présentée.
Pourquoi utilise-t-on un modulo 6, tandis que l'on travaille en modulo 7 ? On dirait de plus que l'auteur le réinjecte dans la congruence modulo 7...
re : Petit théorème de Fermat#msg1936552 Posté le 19-07-08 à 17:28
Posté par ProfilDrysss Drysss

Pour le 1), tu t'intéresses d'abord à la congruence modulo 6 de l'exposant puisque

a^(6k+r) congru à a^r modulo 7 selon le petit théorème de fermat du coup, on obtient :

1993 ^ 1994 ^ 1995 congru à 1993 ^ 2 modulo 7.

Pour la 2), je vois pas trop puisque je n'ai pas fait le théorème d'Euler.
re : Petit théorème de Fermat#msg1936558 Posté le 19-07-08 à 17:38
Posté par ProfilHanspeter2 Hanspeter2

Oui, c'est ça !
Cela résout aussi le deuxième, c'est le même principe.
Merci bien

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