Forum : arithmétique :
Petit théorème de Fermat

Bonjour,
je suis en train de consulter un ouvrage et l'auteur y parle du petit théorème de Fermat, mais j'ai vraiment de la peine à comprendre ses applications:

1. On cherche :



Comment se fait-il qu'il change tout à coup de modulo ? et où est Fermat là-dedans ?

2. Pour le théorème d'Euler maintenant. On veut :

, donc il suffit de déterminer le reste de la division euclidienne de par 16.
Je ne vois vraiment pas pourquoi...

Merci d'avance de votre aide .

Si je ne me trompe, le petit théorème de Fermat appliqué ici nous dit que


On réduit ainsi l'exposant.

Oui, je vois bien les énoncés des deux théorèmes, mais je ne vois pas comment ils sont utilisés dans la démarche présentée.
Pourquoi utilise-t-on un modulo 6, tandis que l'on travaille en modulo 7 ? On dirait de plus que l'auteur le réinjecte dans la congruence modulo 7...

Pour le 1), tu t'intéresses d'abord à la congruence modulo 6 de l'exposant puisque

a^(6k+r) congru à a^r modulo 7 selon le petit théorème de fermat du coup, on obtient :

1993 ^ 1994 ^ 1995 congru à 1993 ^ 2 modulo 7.

Pour la 2), je vois pas trop puisque je n'ai pas fait le théorème d'Euler.

Oui, c'est ça !
Cela résout aussi le deuxième, c'est le même principe.
Merci bien