Les temps sont durs
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Les temps sont durs
Posté le 19-07-08 à 11:28
Posté par 
J-P J-P 
Les temps sont durs et Gérard désire faire des économies de carburant lorsqu'il utilise sa voiture.
La consommation de carburant de la voiture peut se diviser en 2 parties.
a) Une consommation qui ne dépend pas de la vitesse et qui est de 2 litres/heure
b) une consommation qui dépend des frottements aérodynamiques de la voiture dans l'air et qui est donc proportionnelle au carré de la vitesse de la voiture.
Gérard sait que la consommation totale en carburant de la voiture est de 10 litres au 100 km lorsqu'il roule à 150 km/h.
Pouvez-vous aider Gérard à trouver la vitesse à laquelle il doit rouler pour avoir une consommation minimale en carburant et lui indiquer quelle sera alors cette consommation.
Pour avoir droit au
, il faut donc donner 2 réponses :
a) La vitesse idéale pour minimiser la consommation en carburant pour un trajet donné, cette vitesse sera donnée en km/h arrondie au km/h le plus proche.
b) La consommation minimale correspondante donnée en Litres/100km (arrondie au dixième le plus proche).
Bonne chance à tous.
J-P J-P Les temps sont durs et Gérard désire faire des économies de carburant lorsqu'il utilise sa voiture.
La consommation de carburant de la voiture peut se diviser en 2 parties.
a) Une consommation qui ne dépend pas de la vitesse et qui est de 2 litres/heure
b) une consommation qui dépend des frottements aérodynamiques de la voiture dans l'air et qui est donc proportionnelle au carré de la vitesse de la voiture.
Gérard sait que la consommation totale en carburant de la voiture est de 10 litres au 100 km lorsqu'il roule à 150 km/h.
Pouvez-vous aider Gérard à trouver la vitesse à laquelle il doit rouler pour avoir une consommation minimale en carburant et lui indiquer quelle sera alors cette consommation.
Pour avoir droit au
, il faut donc donner 2 réponses :a) La vitesse idéale pour minimiser la consommation en carburant pour un trajet donné, cette vitesse sera donnée en km/h arrondie au km/h le plus proche.
b) La consommation minimale correspondante donnée en Litres/100km (arrondie au dixième le plus proche).
Bonne chance à tous.
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 12:15
Posté le 19-07-08 à 12:15Posté par piepalm piepalm
La consommation aux 100 km est donc de la forme c=2*100/v+a*v^2, et puisque c=10 pour v=150, a=(10-4/3)/(150^2) ou 1/a=150^2/26. La consommation est minimale pour dc/dv=0 soit 2av-200/v^2=0 ou v^3=100/a.
Soit une vitesse optimale de (50*150^2/13)^1/3=44,23 km/h arrondi à 44.
La consommation est alors =6,78 arrondi à 6,8 l/100km
piepalm piepalmLa consommation aux 100 km est donc de la forme c=2*100/v+a*v^2, et puisque c=10 pour v=150, a=(10-4/3)/(150^2) ou 1/a=150^2/26. La consommation est minimale pour dc/dv=0 soit 2av-200/v^2=0 ou v^3=100/a.Soit une vitesse optimale de (50*150^2/13)^1/3=44,23 km/h arrondi à 44.
La consommation est alors =6,78 arrondi à 6,8 l/100km
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 12:21
Posté le 19-07-08 à 12:21Posté par Nofutur2 Nofutur2
Sur 100 km
C (en litres)= (2*100/v)+(k*v2).
C(v)=200/v + k*v2).
C'(v)=-200/v2+2k*v
C'(v)=0 pour v3=100/k
De plus, on sait que (en remplaçant par les données numériques).
10 = 200/150 + k*1502
k= 0,000385
donc v=63,80 km/h soit v
64 km/h
C= 4,702 L/100 soit C4,7 litres/100km
Nofutur2 Nofutur2Sur 100 kmC (en litres)= (2*100/v)+(k*v2).
C(v)=200/v + k*v2).
C'(v)=-200/v2+2k*v
C'(v)=0 pour v3=100/k
De plus, on sait que (en remplaçant par les données numériques).
10 = 200/150 + k*1502
k= 0,000385
donc v=63,80 km/h soit v
64 km/hC= 4,702 L/100 soit C
4,7 litres/100km
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 15:38
Posté le 19-07-08 à 15:38Posté par Flo08 Flo08
Bonjour,
On note C la consommation totale de la voiture en litres,
t la durée du trajet en heures,
D la distance parcourue en km.
La vitesse est V = D/t (en km/h).
La consommation est donc donnée par la formule suivante :
C = 2t + kV² = 2t + k(D/t)² où k est une constante à déterminer.
Autrement dit, si D = 100 km et V = 150 km/h, on a C = 10 litres. Ce qui nous permet de déterminer la constante k.
On trouve :
k =
On veut trouver la consommation minimale pour une distance parcourue fixée, donc, en considérant D comme une constante, on dérive l'expression de C en fonction de t :
C'(t) = 2 - 2kD2/t3
C'(t) = 0 si t = 3
(kD²) (racine cubique de (kD²)) avec k =
Si on remplace t par 3(kD²) dans l'expression de C et qu'on dérive par rapport à D, on constate que la fonction n'admet pas de minimum, donc la vitesse et la consommation optimales varient avec la distance parcourue. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la vitesse optimale et de la consommation minimale correspondante pour plusieurs distances.
... En espérant ne pas avoir répondu à côté
Flo08 Flo08Bonjour,On note C la consommation totale de la voiture en litres,
t la durée du trajet en heures,
D la distance parcourue en km.
La vitesse est V = D/t (en km/h).
Citation :
La consommation de carburant de la voiture peut se diviser en 2 parties.
a) Une consommation qui ne dépend pas de la vitesse et qui est de 2 litres/heure
b) une consommation qui dépend des frottements aérodynamiques de la voiture dans l'air et qui est donc proportionnelle au carré de la vitesse de la voiture.
La consommation de carburant de la voiture peut se diviser en 2 parties.
a) Une consommation qui ne dépend pas de la vitesse et qui est de 2 litres/heure
b) une consommation qui dépend des frottements aérodynamiques de la voiture dans l'air et qui est donc proportionnelle au carré de la vitesse de la voiture.
La consommation est donc donnée par la formule suivante :
C = 2t + kV² = 2t + k(D/t)² où k est une constante à déterminer.
Citation :
Gérard sait que la consommation totale en carburant de la voiture est de 10 litres au 100 km lorsqu'il roule à 150 km/h.
Gérard sait que la consommation totale en carburant de la voiture est de 10 litres au 100 km lorsqu'il roule à 150 km/h.
Autrement dit, si D = 100 km et V = 150 km/h, on a C = 10 litres. Ce qui nous permet de déterminer la constante k.
On trouve :
k =
On veut trouver la consommation minimale pour une distance parcourue fixée, donc, en considérant D comme une constante, on dérive l'expression de C en fonction de t :
C'(t) = 2 - 2kD2/t3
C'(t) = 0 si t = 3
(kD²) (racine cubique de (kD²)) avec k = Si on remplace t par 3
(kD²) dans l'expression de C et qu'on dérive par rapport à D, on constate que la fonction n'admet pas de minimum, donc la vitesse et la consommation optimales varient avec la distance parcourue. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la vitesse optimale et de la consommation minimale correspondante pour plusieurs distances.... En espérant ne pas avoir répondu à côté
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 16:06
Posté le 19-07-08 à 16:06Posté par link224 link224
Salut JP!
Alors la vitesse idéale pour minimiser la consommation de carburant est de 64km/h (arrondi au km/h le plus proche), et la consommation pour une vitesse de 64km/h sera de 4.7L au 100km (arrondi au dixième le plus proche).
@+ et merci pour l'énigme.
link224 link224Salut JP!Alors la vitesse idéale pour minimiser la consommation de carburant est de 64km/h (arrondi au km/h le plus proche), et la consommation pour une vitesse de 64km/h sera de 4.7L au 100km (arrondi au dixième le plus proche).
@+ et merci pour l'énigme.
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 16:17
Posté le 19-07-08 à 16:17Posté par veleda veleda
bonjour JP,
j'aime bien conduire mais je ne connais pas grand chose à la consommation d'essence,je vais tenter de répondre quand même tant pis si je suis la risée de tous
d'après les données
*en une heure à 150km/h la voiture de Gérard consomme 15 l
*si j'ai bien compris le texte on peut donc ecrire: 2+k(150)²=15=> k=13/(150)²
a)soit y la consommation aux 100km
y=2.(100/v)+kv²
y'=2kv-200/v²
y'=0<=> v3=100/k =100.150²/13
donc pour v0 =[100.150²/13]1/3 =55,7288km/h soit 56km/h (valeur arrondie au km /h le plus proche)y passe par un minimun
b)soit y0 la consommation aux 100km correspondante
y0=200/v0+kv0²=(200+kv03)/v0=300/v0=5,4 l/100km(arrondieau dixième le plus proche
y0=5,4 l/100km
merci pour cet exercice ,j'ai peut être tout faux mais j'ai appris la décomposition de la consommation d'essence .
veleda veledabonjour JP,j'aime bien conduire mais je ne connais pas grand chose à la consommation d'essence,je vais tenter de répondre quand même tant pis si je suis la risée de tous
d'après les données
*en une heure à 150km/h la voiture de Gérard consomme 15 l
*si j'ai bien compris le texte on peut donc ecrire: 2+k(150)²=15=> k=13/(150)²
a)soit y la consommation aux 100km
y=2.(100/v)+kv²
y'=2kv-200/v²
y'=0<=> v3=100/k =100.150²/13
donc pour v0 =[100.150²/13]1/3 =55,7288km/h soit 56km/h (valeur arrondie au km /h le plus proche)y passe par un minimun
b)soit y0 la consommation aux 100km correspondante
y0=200/v0+kv0²=(200+kv03)/v0=300/v0=5,4 l/100km(arrondieau dixième le plus proche
y0=5,4 l/100km
merci pour cet exercice ,j'ai peut être tout faux mais j'ai appris la décomposition de la consommation d'essence .
Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 16:41
Posté le 19-07-08 à 16:41Posté par rogerd rogerd
Bonjour J-P et merci pour cette énigme.
Une partie de l'énoncé ne me paraît pas très claire: la fraction de la consommation proportionnelle au carré de la vitesse est-elle en litre par heure (comme le laisse à penser le a) qui précède le b)) ou en litre au 100 km (comme le laisse à penser la phrase qui suit le b)?
La justification de cette consommation comme compensatrice de la force de résistance de l'air fait pencher plutôt vers une consommation "instantanée" donc "par unité de temps" . Je continue donc avec la première interprétation.
La consommation en litre par heure est donc de la forme k.v^2+2, où v est la vitesse en km/h.
Je détermine k en disant que pour v=150 , cette consommation horaire est de 15l.
La consommation horaire est donc de 13v^2/(150^2)+2.
Pour faire 100km , il faut 100/v heures.
On consomme donc 100(13v/(150^2)+2/v) litres de carburant.
Cette fonction de v passe par un minimum quand la dérivée s'annule.
Cela me conduit à une vitesse optimale légèrement inférieure à 59 km/h
En reportant dans la formule donnant la consommation pour 100 km, cela donne
une consommation légèrement inférieure à 6,8 litres aux 100 km
Remarque:
Si l'on prend la deuxième interprétation, on dit que la partie variable de la consommation en litres aux 100km est de la forme kv^2. La partie fixe est de 200/v.
On détermine k en prenant v=150.
On obtient une consommation totale pour 100 km égale à kv^2+200/v.
Cette fonction n'est pas la même qu'avec la première interprétation . Elle passe elle aussi par un minimum, qui fournit cette fois une vitesse optimale de 64 km/h et une consommation de 4,7 litres aux 100 km.
rogerd rogerdBonjour J-P et merci pour cette énigme.Une partie de l'énoncé ne me paraît pas très claire: la fraction de la consommation proportionnelle au carré de la vitesse est-elle en litre par heure (comme le laisse à penser le a) qui précède le b)) ou en litre au 100 km (comme le laisse à penser la phrase qui suit le b)?
La justification de cette consommation comme compensatrice de la force de résistance de l'air fait pencher plutôt vers une consommation "instantanée" donc "par unité de temps" . Je continue donc avec la première interprétation.
La consommation en litre par heure est donc de la forme k.v^2+2, où v est la vitesse en km/h.
Je détermine k en disant que pour v=150 , cette consommation horaire est de 15l.
La consommation horaire est donc de 13v^2/(150^2)+2.
Pour faire 100km , il faut 100/v heures.
On consomme donc 100(13v/(150^2)+2/v) litres de carburant.
Cette fonction de v passe par un minimum quand la dérivée s'annule.
Cela me conduit à une vitesse optimale légèrement inférieure à 59 km/h
En reportant dans la formule donnant la consommation pour 100 km, cela donne
une consommation légèrement inférieure à 6,8 litres aux 100 km
Remarque:
Si l'on prend la deuxième interprétation, on dit que la partie variable de la consommation en litres aux 100km est de la forme kv^2. La partie fixe est de 200/v.
On détermine k en prenant v=150.
On obtient une consommation totale pour 100 km égale à kv^2+200/v.
Cette fonction n'est pas la même qu'avec la première interprétation . Elle passe elle aussi par un minimum, qui fournit cette fois une vitesse optimale de 64 km/h et une consommation de 4,7 litres aux 100 km.
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 17:22
Posté le 19-07-08 à 17:22Posté par infophile infophile
Bonjour
Démonstration
La consommation est donnée par la formule suivante :
=2t+\alpha \(\frac{d}{t}\)^2)
avec
en heures, 
en kilomètre et 
le coefficient de proportionnalité cité.
Déterminons le coefficient :
A 150 km/h la consommation est de 10 L au 100 km
On prend donc
, 
, 
et 
On doit alors résoudre l'équation+\alpha(150)^2})
Il vient
Déterminons la vitesse idéale 
:
Ecrivons=2\(\frac{d}{v}\)+\alpha v^2})
Dérivons par rapport à la vitesse :
})
On veut minimiser la consommation donc on cherche le minimum de
.
![3$ \rm \magenta \fbox{\frac{dC}{dv}=0\Longleftright v_i=\sqrt[3]{\frac{d}{\alpha}}}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$ \rm \magenta \fbox{\frac{dC}{dv}=0\Longleftright v_i=\sqrt[3]{\frac{d}{\alpha}}})
En prenant et 
on obtient numériquement :
Déterminons la consommation 
correspondante :
On reporte la valeur de dans l'expression )
et on trouve :
Ces résultats me paraissent physiquement cohérents.
Merci pour l'énigme
infophile infophileBonjour Citation :
)
La vitesse idéale pour minimiser la consommation est 
)
La consommation correspondante est 
au 100 km
avec
A 150 km/h la consommation est de 10 L au 100 km
On prend donc
On doit alors résoudre l'équation
Il vient
Ecrivons
Dérivons par rapport à la vitesse :
On veut minimiser la consommation donc on cherche le minimum de
En prenant
On reporte la valeur de
Ces résultats me paraissent physiquement cohérents.
Merci pour l'énigme
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 17:56
Posté le 19-07-08 à 17:56Posté par Florian671 Florian671
Bonjour,
Voici ce que je proposerais ( je ne suis vraiment pas sûr ) :
On considère donc que la distance a parcourir est de 100 km.
La vitesse idéale pour consommer le moins d'essence est donc de 64 km/h.
La consommation est alors de 4.7 L/100 km.
Je me suis surement trompé, mais qui ne tente rien n'a rien.
Bonne soirée
Florian
Florian671 Florian671Bonjour,Voici ce que je proposerais ( je ne suis vraiment pas sûr ) :
On considère donc que la distance a parcourir est de 100 km.
La vitesse idéale pour consommer le moins d'essence est donc de 64 km/h.
La consommation est alors de 4.7 L/100 km.
Je me suis surement trompé, mais qui ne tente rien n'a rien.
Bonne soirée
Florian
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 18:17
Posté le 19-07-08 à 18:17Posté par Daniel62 Daniel62
Bonjour,
ma réponse est:
la Consommation Horaire est:
CH = k.v2 + 2
on sait que la consommation est de 10 litres/100 km lorsque v = 150 km/h
l'erreur à ne pas pas faire c'est de dire que CH = 10 lorsque v = 150
alors qu'en réalité 10 litres c'est pour 40 minutes
donc CH = 15 lorsque v = 150
calculons k:
15 = k.1502 + 2
la Consommation Totale est:
d étant la distance en km
le rapport CH par v est la consommation par km
la Consommation par Kilomètre est:
la dérivée est
elle s'annule pour
Daniel62 Daniel62Bonjour,ma réponse est:
la Consommation Horaire est:
CH = k.v2 + 2
on sait que la consommation est de 10 litres/100 km lorsque v = 150 km/h
l'erreur à ne pas pas faire c'est de dire que CH = 10 lorsque v = 150
alors qu'en réalité 10 litres c'est pour 40 minutes
donc CH = 15 lorsque v = 150
calculons k:
15 = k.1502 + 2
la Consommation Totale est:
d étant la distance en km
le rapport CH par v est la consommation par km
la Consommation par Kilomètre est:
la dérivée est
elle s'annule pour
re : Les temps sont durs Posté le 19-07-08 à 23:23
Posté le 19-07-08 à 23:23Posté par plumemeteore plumemeteore
bonsoir J-P
la vitesse la plus économique est 75 kilomètres à l'heure, avec laquelle on consomme 8 litres aux cent kilomètres; ce sont les valeurs exactes
à 150 km/h, la partie fixe consommée en une heure est 3 litres et la partie variable 12 litres
avec une vitesse de x kilomètres à l'heure, la consommation horaire est 3+(12x²/22500)
et la consommation par kilomètre est 3/x + x/1875
la dérivée de la consommation au kilomètre est -3/x² + 1/1875
elle croît quand x est positif et est zéro quand x² = 5625 et x = 75
la consommation minimale en une heure est 3 + 75²/1875 = 6 litres; la consommation aux cent kilomètres est 6*100/75 = 8 litres
plumemeteore plumemeteorebonsoir J-Pla vitesse la plus économique est 75 kilomètres à l'heure, avec laquelle on consomme 8 litres aux cent kilomètres; ce sont les valeurs exactes
à 150 km/h, la partie fixe consommée en une heure est 3 litres et la partie variable 12 litres
avec une vitesse de x kilomètres à l'heure, la consommation horaire est 3+(12x²/22500)
et la consommation par kilomètre est 3/x + x/1875
la dérivée de la consommation au kilomètre est -3/x² + 1/1875
elle croît quand x est positif et est zéro quand x² = 5625 et x = 75
la consommation minimale en une heure est 3 + 75²/1875 = 6 litres; la consommation aux cent kilomètres est 6*100/75 = 8 litres
re : Les temps sont durs Posté le 20-07-08 à 13:28
Posté le 20-07-08 à 13:28Posté par bizbiz bizbiz
Salut,
-Pour minimiser la consommation du carburant, la vitesse idéale est : 64km/h (arrondi au km/h le plus proche).
-Pour une vitesse de 64km/h, la consemmation est de 4.7L au 100km (arrondi au dixième le plus proche).
Merci et A+
bizbiz bizbizSalut,-Pour minimiser la consommation du carburant, la vitesse idéale est : 64km/h (arrondi au km/h le plus proche).
-Pour une vitesse de 64km/h, la consemmation est de 4.7L au 100km (arrondi au dixième le plus proche).
Merci et A+
re : Les temps sont durs Posté le 20-07-08 à 14:32
Posté le 20-07-08 à 14:32Posté par kioups kioups
Grâce à la donnée des 10 L au 100 à 150 km/h, on trouve le coefficient de proportionnalité pour la deuxième partie de la consommation.
Ainsi, on obtient une fonction de v qui nous permet de trouver que la consommation minimale est atteinte pour une vitesse d'environ 64 km/h. Cette consommation est d'environ 4,7 L pour 100 km.
kioups kioupsGrâce à la donnée des 10 L au 100 à 150 km/h, on trouve le coefficient de proportionnalité pour la deuxième partie de la consommation.Ainsi, on obtient une fonction de v qui nous permet de trouver que la consommation minimale est atteinte pour une vitesse d'environ 64 km/h. Cette consommation est d'environ 4,7 L pour 100 km.
re : Les temps sont durs Posté le 20-07-08 à 19:28
Posté le 20-07-08 à 19:28Posté par dhalte dhalte
Bonjour,
Je trouve une vitesse optimale de 64 km/h et une consommation de 3,1 litres/100 km
Soit d la distance à parcourir (en km) à la vitesse v (km/h), pendant le temps t (heures)
d=v*t
Soit k le coefficient de proportionnalité de la partie variable de la consommation
Soit c la consommation totale d'essence
la partie fixe de la consommation est proportionnelle au temps de parcours : 2*t
la partie variable est proportionnelle à la distance et au carré de la vitesse :
d)
La consommation moyenne en fonction de la distance est
Calcul de k : pour une vitesse de 150 km/h, cette consommation moyenne est de 10 l/100km, i.e. 0.1 l/km
^2)
La constante k :
Calcul de l'optimum de la fonction par dérivation
 = -\frac2{v^2}+2kv)
![f'=0 \Rightarrow v=\sqr[3]{\frac1k}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?f'=0 \Rightarrow v=\sqr[3]{\frac1k})
Application numérique
Consommation moyenne en fonction de la distance à cette vitesse
l/km 
l/100km
dhalte dhalteBonjour,Je trouve une vitesse optimale de 64 km/h et une consommation de 3,1 litres/100 km
Soit d la distance à parcourir (en km) à la vitesse v (km/h), pendant le temps t (heures)
d=v*t
Soit k le coefficient de proportionnalité de la partie variable de la consommation
Soit c la consommation totale d'essence
la partie fixe de la consommation est proportionnelle au temps de parcours : 2*t
la partie variable est proportionnelle à la distance et au carré de la vitesse :
La consommation moyenne en fonction de la distance est
Calcul de k : pour une vitesse de 150 km/h, cette consommation moyenne est de 10 l/100km, i.e. 0.1 l/km
La constante k :
Calcul de l'optimum de la fonction par dérivation
Application numérique
Consommation moyenne en fonction de la distance à cette vitesse
re : Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 00:19
Posté le 21-07-08 à 00:19Posté par mikayaou mikayaou
Bonjour
Soit une distance D en km, effectuée à la vitesse V en km/h pendant un temps T en heures.
On suppose que la vitesse est constante, et donc que D = VT
La première partie de la quantité de carburant consommée, Q1, sera de 2T litres, soit 2D/V litres
La seconde partie de la quantitée de carburant consommée, Q2, sera de (k.V²).T soit kVD litres
la consommation ramenée à la distance D parcourue sera de C = (Q1+Q2)/D = 2/V + kV exprimée en litre/km
Déterminons k en disant que la consommation totale est de 10 l par 100 km, soit C = 10/100 l/km, pour une vitesse de 150 km/h
1/10 = 2/150 + k(150) soit k = 13/150²
on a alors une consommation en l/km exprimée par C = 2/V + (13/150²)V de la forme y =a/x + bx qui est minimale pour x = racine(a/b) et qui donne y = 2racine(ab)
donc la consommation sera minimale pour V = racine(2/(13/150²) = 150racine(2/13) = 59 km/h et vaudra 2racine(2*13/150² )
comme il est demandé une consommation aux 100 km, la valeur cherchée est alors 200racine(26)/150 = 4racine(26)/3 = 6,8 l/100 km
-----------------------
En espérant que ce soit ça, et parce que ton énoncé demandait de trouver une valeur...
Car, si ton énoncé avait été moins directif, moins aidant, c'est-à-dire plus "ouvert" sous la forme :
Si vous pensez que vitesse optimale et consommation minimale sont fonctions de la distance D du trajet parcouru, donnez les expressions de ces valeurs en fonction de D, sinon donnez les valeurs numériques trouvées
je crois que je me serai planté en te disant que la vitesse optimale et la consommation minimale dépendait de D et valait :
V = racine_cubique( 3*150²D/26 )
et
C = 100racine_cubique( 26D²/50² )
Pour une histoire de confusion entre consommation en litres, et consommation aux 100 km...( j'aurais peut-être pas été le seul à faire cet erreur )
joli problème physique, d'ailleurs : est-ce que les 2 litres horaires sont une donnée plausible ?
merci
mikayaou mikayaouBonjourSoit une distance D en km, effectuée à la vitesse V en km/h pendant un temps T en heures.
On suppose que la vitesse est constante, et donc que D = VT
La première partie de la quantité de carburant consommée, Q1, sera de 2T litres, soit 2D/V litres
La seconde partie de la quantitée de carburant consommée, Q2, sera de (k.V²).T soit kVD litres
la consommation ramenée à la distance D parcourue sera de C = (Q1+Q2)/D = 2/V + kV exprimée en litre/km
Déterminons k en disant que la consommation totale est de 10 l par 100 km, soit C = 10/100 l/km, pour une vitesse de 150 km/h
1/10 = 2/150 + k(150) soit k = 13/150²
on a alors une consommation en l/km exprimée par C = 2/V + (13/150²)V de la forme y =a/x + bx qui est minimale pour x = racine(a/b) et qui donne y = 2racine(ab)
Citation :
donc la consommation sera minimale pour V = racine(2/(13/150²) = 150racine(2/13) = 59 km/h et vaudra 2racine(2*13/150² )
comme il est demandé une consommation aux 100 km, la valeur cherchée est alors 200racine(26)/150 = 4racine(26)/3 = 6,8 l/100 km
-----------------------
En espérant que ce soit ça, et parce que ton énoncé demandait de trouver une valeur...
Car, si ton énoncé avait été moins directif, moins aidant, c'est-à-dire plus "ouvert" sous la forme :
Si vous pensez que vitesse optimale et consommation minimale sont fonctions de la distance D du trajet parcouru, donnez les expressions de ces valeurs en fonction de D, sinon donnez les valeurs numériques trouvées
je crois que je me serai planté en te disant que la vitesse optimale et la consommation minimale dépendait de D et valait :
V = racine_cubique( 3*150²D/26 )
et
C = 100racine_cubique( 26D²/50² )
Pour une histoire de confusion entre consommation en litres, et consommation aux 100 km...( j'aurais peut-être pas été le seul à faire cet erreur )
joli problème physique, d'ailleurs : est-ce que les 2 litres horaires sont une donnée plausible ?
merci
re : Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 11:17
Posté le 21-07-08 à 11:17Posté par mikayaou mikayaou
On peut d'ailleurs montrer, si la solution que j'ai donnée n'est pas fausse, que :
plus la consommation horaire, p, indépendante de la vitesse, est élevée, plus la vitesse optimale est élevée
Avec les données de l'énoncé, 10 litres aux 100 km pour une vitesse de 150 km/h, on montre que :
}}{150})
Voici alors les représentations de :
¤ la vitesse optimale Vopt(p) :
¤ la consommation en fonction de la vitesse, Cp(V), avec le paramètre p de la consommation horaire :
)
¤ pour p = 0, il n'y a pas de consommation optimale puisque la consommation est alors linéaire avec la vitesse : C = 10.V/150
¤ pour p > 15, il n'y a plus de consommation optimum
¤ Fait qui peut sembler paradoxal, quand la consommation horaire est de 15 litres à l'heure, plus la vitesse est élevée, plus la consommation en litres aux 100 km diminue constamment, puisqu'elle est alors en C = 15/V
En espérant que ce développement complémentaire ne soit pas "out" si mon raisonnement initial l'était...
mikayaou mikayaouOn peut d'ailleurs montrer, si la solution que j'ai donnée n'est pas fausse, que :
plus la consommation horaire, p, indépendante de la vitesse, est élevée, plus la vitesse optimale est élevée
Avec les données de l'énoncé, 10 litres aux 100 km pour une vitesse de 150 km/h, on montre que :
Voici alors les représentations de :
¤ la vitesse optimale Vopt(p) :
¤ la consommation en fonction de la vitesse, Cp(V), avec le paramètre p de la consommation horaire :
¤ pour p = 0, il n'y a pas de consommation optimale puisque la consommation est alors linéaire avec la vitesse : C = 10.V/150
¤ pour p > 15, il n'y a plus de consommation optimum
¤ Fait qui peut sembler paradoxal, quand la consommation horaire est de 15 litres à l'heure, plus la vitesse est élevée, plus la consommation en litres aux 100 km diminue constamment, puisqu'elle est alors en C = 15/V
En espérant que ce développement complémentaire ne soit pas "out" si mon raisonnement initial l'était...
re : Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 11:35
Posté le 21-07-08 à 11:35Posté par mikayaou mikayaou
j'ai omis de vous donner la courbe de la consommation optimale en fonction de p, qui est une demi-ellipse :
Chose réparée
mikayaou mikayaouj'ai omis de vous donner la courbe de la consommation optimale en fonction de p, qui est une demi-ellipse :Citation :
Chose réparée
re : Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 12:15
Posté le 21-07-08 à 12:15Posté par kiko21 kiko21
Bonjour,
a) La vitesse idéale pour minimiser la consommation en carburant pour un trajet donné arrondie au km/h le plus proche est
b) La consommation minimale correspondante arrondie au dixième de litre le plus proche est^2} \approx 4,7 Litres/100km)
Merci et A+, KiKo21.
kiko21 kiko21Bonjour,a) La vitesse idéale pour minimiser la consommation en carburant pour un trajet donné arrondie au km/h le plus proche est
b) La consommation minimale correspondante arrondie au dixième de litre le plus proche est
Merci et A+, KiKo21.
re : Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 12:18
Posté le 21-07-08 à 12:18Posté par kiko21 kiko21
J'ai mal écrit mes racines cubiques de 13 en latex...
J'aurais du l'écrire ainsi![5$ \sqrt[3]{13}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?5$ \sqrt[3]{13})
au lieu de 
A+, KiKo21.
kiko21 kiko21J'ai mal écrit mes racines cubiques de 13 en latex...J'aurais du l'écrire ainsi
A+, KiKo21.
re : Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 13:48
Posté le 21-07-08 à 13:48Posté par mikayaou mikayaou
En m'appuyant sur l'énigme de J-P, on peut légèrement la complexifier :
Une fois l'énigme initiale de J-P comprise, celle-ci n'est guère plus difficile ...
Bonne réflexion !
mikayaou mikayaouEn m'appuyant sur l'énigme de J-P, on peut légèrement la complexifier :
Citation :
J-P désire faire des économies de carburant lorsqu'il utilise son véhicule et, après de nombreuses modélisations, il a constaté que la consommation de carburant de son véhicule pouvait se diviser en 3 parties :
a) Une consommation qui ne dépend pas de la vitesse et qui est de 2 litres/heure
b) Une consommation qui est proportionnelle à la vitesse
c) Une consommation qui dépend des frottements aérodynamiques du véhicule dans l'air et qui est donc proportionnelle au carré de la vitesse
J-P a eu beau refaire toutes ses mesures précisément, repris tous ses calculs consciencieusement, il a trouvé qu'il avait une consommation totale en carburant de 10 litres au 100 km lorsqu'il roulait aux deux vitesses suivantes :
¤ 50 km/h
¤ 150 km/h
Est-ce possible ?
Pouvez-vous aider J-P à trouver une/des vitesse(s) à laquelle il doit rouler pour avoir une consommation minimale en carburant et lui indiquer quelle serait alors cette/ces consommation(s) ?
J-P désire faire des économies de carburant lorsqu'il utilise son véhicule et, après de nombreuses modélisations, il a constaté que la consommation de carburant de son véhicule pouvait se diviser en 3 parties :
a) Une consommation qui ne dépend pas de la vitesse et qui est de 2 litres/heure
b) Une consommation qui est proportionnelle à la vitesse
c) Une consommation qui dépend des frottements aérodynamiques du véhicule dans l'air et qui est donc proportionnelle au carré de la vitesse
J-P a eu beau refaire toutes ses mesures précisément, repris tous ses calculs consciencieusement, il a trouvé qu'il avait une consommation totale en carburant de 10 litres au 100 km lorsqu'il roulait aux deux vitesses suivantes :
¤ 50 km/h
¤ 150 km/h
Est-ce possible ?
Pouvez-vous aider J-P à trouver une/des vitesse(s) à laquelle il doit rouler pour avoir une consommation minimale en carburant et lui indiquer quelle serait alors cette/ces consommation(s) ?
Une fois l'énigme initiale de J-P comprise, celle-ci n'est guère plus difficile ...
Bonne réflexion !
Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 14:53
Posté le 21-07-08 à 14:53Posté par geronimo 652 geronimo 652
bonjour J-P,
Je pense avoir la solution... même si mon raisonnement me paraît très archaïque! Tout mon raisonnement est basé sur des produits en croix et une superbe courbe faite avec Excel...
Donc voici comment j'ai procédé:
tout d'abord, tout au long du problème, j'ai laissé la consommation de carburant décomposée en deux parties. Je suis parti de 150 km.h-1 et j'ai calculé la consommation de carburant, puis j'ai fais aisi de suite en baisant se 10 km.h-1 en 10 km.h-1. Pour justifier mes calculs, je donne un exemple pour 110 km.h-1:
10L (au 100 km) <=> 150 km.h-1
x en L <=> 100 km.h-1
x= (100 * 10)/ 150 = 7,33L
et pour la consommation qui ne dépend pas de la vitesse:
en 1h, il parcourt 110 km ( toujours pour 110 km.h-1)
d'où en x h, il parcourt 100 km (car on veut les données en Litres/100km)
x=100/110= 0,909h
et pour la consommation on multiplie par 2 car 2 l/h d'où 1,82
Ensuite à l'aide d'Excel, on trace un graphique avec les deux courbes. L'endroit où se croise les deux courbes nous indique les solutions (notamment la vitesse idéale).
D'après le graphique, la vitesse idéale pour minimiser la consommation en carburant se situe entre 50 et 60 km/h. Puis en tatonnant, on constate qu'entre 53 km/h et 57 km/h la consommation minimale est de 7,3 L! En dehors de cet encadrement la consommation est bien supérieur!
Ma réponse est donc:
57 km/h qui est la vitesse la plus élevée pour une consommation minimale de 7,3 L
en espérant que ce soit juste... et merci pour cette énigme!
geronimo 652 geronimo 652bonjour J-P,Je pense avoir la solution... même si mon raisonnement me paraît très archaïque! Tout mon raisonnement est basé sur des produits en croix et une superbe courbe faite avec Excel...
Donc voici comment j'ai procédé:
tout d'abord, tout au long du problème, j'ai laissé la consommation de carburant décomposée en deux parties. Je suis parti de 150 km.h-1 et j'ai calculé la consommation de carburant, puis j'ai fais aisi de suite en baisant se 10 km.h-1 en 10 km.h-1. Pour justifier mes calculs, je donne un exemple pour 110 km.h-1:
10L (au 100 km) <=> 150 km.h-1
x en L <=> 100 km.h-1
x= (100 * 10)/ 150 = 7,33L
et pour la consommation qui ne dépend pas de la vitesse:
en 1h, il parcourt 110 km ( toujours pour 110 km.h-1)
d'où en x h, il parcourt 100 km (car on veut les données en Litres/100km)
x=100/110= 0,909h
et pour la consommation on multiplie par 2 car 2 l/h d'où 1,82
Ensuite à l'aide d'Excel, on trace un graphique avec les deux courbes. L'endroit où se croise les deux courbes nous indique les solutions (notamment la vitesse idéale).
D'après le graphique, la vitesse idéale pour minimiser la consommation en carburant se situe entre 50 et 60 km/h. Puis en tatonnant, on constate qu'entre 53 km/h et 57 km/h la consommation minimale est de 7,3 L! En dehors de cet encadrement la consommation est bien supérieur!
Ma réponse est donc:
57 km/h qui est la vitesse la plus élevée pour une consommation minimale de 7,3 L
en espérant que ce soit juste... et merci pour cette énigme!
les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 14:56
Posté le 21-07-08 à 14:56Posté par geronimo 652 geronimo 652
petite précision:
la consommation minimale est bien 7,3 L au 100 km
j'ai horreu des ambiguités
geronimo 652 geronimo 652petite précision:la consommation minimale est bien 7,3 L au 100 km
j'ai horreu des ambiguités
re : Les temps sont durs Posté le 21-07-08 à 15:19
Posté le 21-07-08 à 15:19Posté par yoyodada yoyodada
Vitesse correspondant au minimum: 63.79 km/h soit 64 km/h en arrondissant au km.
Consommation minimale: en utilisant l'arrondi, C = 4,7 Litres au cent.
yoyodada yoyodadaVitesse correspondant au minimum: 63.79 km/h soit 64 km/h en arrondissant au km.Consommation minimale: en utilisant l'arrondi, C = 4,7 Litres au cent.
re : Les temps sont durs Posté le 22-07-08 à 07:36
Posté le 22-07-08 à 07:36Posté par ITMETIC ITMETIC
La consommation C pour parcourir une distance D sera composée de deux parties que l'on va appeler C1 et C2
C1 dépend du temps C1=2t (t étant le temps exprimé en heures avec t=D/V)
C2dépend du carré de la vitesse, et de la distance parcourue
C2=
V2D
C=C1+C2=2t+V2D
Pour V=150 et D=100 C vaut 10 donc
2*100/150+1502*100=10 d'où on déduit =13/1503
La consommation C peut donc s'exprimer en fonction de V de la façon suivante
C=f(V)=2D/V+V2D avec =13/1503
Cherchons le minimum de f(V)
Pour cela calculons la dérivée de f
f'(V)=-2D/V2+2V D=2D(-1+V3)/V2 qui s'annule pour -1+V3=0
Soit V3=1/=1503/13 d'où V=63.79...km/h que l'on arrondit à 64 km/h
La consommation pour 100 km est alors de 4.7 l
ITMETIC ITMETICLa consommation C pour parcourir une distance D sera composée de deux parties que l'on va appeler C1 et C2C1 dépend du temps C1=2t (t étant le temps exprimé en heures avec t=D/V)
C2dépend du carré de la vitesse, et de la distance parcourue
C2=
V2DC=C1+C2=2t+
V2DPour V=150 et D=100 C vaut 10 donc
2*100/150+
1502*100=10 d'où on déduit =13/1503La consommation C peut donc s'exprimer en fonction de V de la façon suivante
C=f(V)=2D/V+
V2D avec =13/1503Cherchons le minimum de f(V)
Pour cela calculons la dérivée de f
f'(V)=-2D/V2+2
V D=2D(-1+V3)/V2 qui s'annule pour -1+V3=0Soit V3=1/
=1503/13 d'où V=63.79...km/h que l'on arrondit à 64 km/hLa consommation pour 100 km est alors de 4.7 l
re : Les temps sont durs Posté le 23-07-08 à 13:54
Posté le 23-07-08 à 13:54Posté par gloubi gloubi
Bonjour,
La vitesse optimale pour consommer le moins possible est environ 64 km/h.
A cette vitesse, la consommation est de 4,7 litres aux 100 km.
(valeurs arrondies comme demandé)
Sauf distraction.
A+
gloubi gloubiBonjour,La vitesse optimale pour consommer le moins possible est environ 64 km/h.
A cette vitesse, la consommation est de 4,7 litres aux 100 km.
(valeurs arrondies comme demandé)
Sauf distraction.
A+
re : Les temps sont durs Posté le 23-07-08 à 22:55
Posté le 23-07-08 à 22:55Posté par totti1000 totti1000
la consommation C (en litre) pour une distance d (exprimée en km) avec v la vitesse (en km/h):
C(d)=2d/v+k*v^2 où k est le coefficient de frottement aérodynamique (en L.h^2.km^-2)
Cherchons la valeur de k :
pour 100km à 150km/h : C=10L
10=2*100/150+k*150^2 soit k=13/33750
On cherche le minimum de consommation pour une distance donnée.
La dérivée de C(d) permet de trouver le minimum (courbe ne possédant qu'un minimum positif)
C'(d)=-2d/v^2+2k*v=0 => v=(d/k)^(1/3)
Réponse question a) donc la vitesse minimisant la consommation est Voptimal(d)=(d/k)^(1/3)
exemple : pour d=100km Voptimal=64km/h
Réponse b) La consommation minimale de ce véhicule est donc
Cmin(d)=2d/((d/k)^(1/3))+k((d/k)^(1/3))^2 avec k=13/33750
soit au 100km Cmin(d)=(2d/((d/k)^(1/3))+k((d/k)^(1/3))^2)*100/d
exemple pour une distance de 100 km : Cmin = 4.7 L/100km
totti1000 totti1000la consommation C (en litre) pour une distance d (exprimée en km) avec v la vitesse (en km/h): C(d)=2d/v+k*v^2 où k est le coefficient de frottement aérodynamique (en L.h^2.km^-2)
Cherchons la valeur de k :
pour 100km à 150km/h : C=10L
10=2*100/150+k*150^2 soit k=13/33750
On cherche le minimum de consommation pour une distance donnée.
La dérivée de C(d) permet de trouver le minimum (courbe ne possédant qu'un minimum positif)
C'(d)=-2d/v^2+2k*v=0 => v=(d/k)^(1/3)
Réponse question a) donc la vitesse minimisant la consommation est Voptimal(d)=(d/k)^(1/3)
exemple : pour d=100km Voptimal=64km/h
Réponse b) La consommation minimale de ce véhicule est donc
Cmin(d)=2d/((d/k)^(1/3))+k((d/k)^(1/3))^2 avec k=13/33750
soit au 100km Cmin(d)=(2d/((d/k)^(1/3))+k((d/k)^(1/3))^2)*100/d
exemple pour une distance de 100 km : Cmin = 4.7 L/100km
re : Les temps sont durs Posté le 25-07-08 à 11:25
Posté le 25-07-08 à 11:25Posté par Arcadius Arcadius
Nous savons que la consommation totale est divisée en deux parties, l'une constante de 2L/h et une autre proportionnelle au carré de la vitesse.
Nous allons tout d'abord faire en sorte que la première partie de la consommation soit en fonction de la vitesse. La première partie de la consommation sera notée z(x), x étant la vitesse en km/h
z(x)=2 * (100/x)
= 200/x
La seconde partie de la consommation est dite proportionnelle à la vitesse, donc de la forme y(x) = K.x2, x étant la vitesse. Nous noterons la seconde partie de la consommation a(x) :
a(x)=k.x²
La consommation totale s'exprimera donc avec cette équation (la conso totale est représentée par T(x)).
T(x) = z(x) + a(x)
= (200/x) + (k.x²)
Cherchons la valeur k avec les données qui nous sont fournis :
En roulant à 150km/h, la consommation totale est de 10 L/100km :
10 = (200/150) + (k.150²)
k = [10 - (200/150)] / 150²
k = (26/3) / 150²
= 13 / 33750
=======>>> T(x) = (200/x) + [ (13x²) / 33750 ]
Si l'on cherche le signe de la dérivée de T(x) une racine de T'(x) est 64 (en arrondissant).
Lorsque la vitesse augmente de 0 à 64km/h la conso totale diminue, puis une fois les 64km/h dépassés elle réaugmente.
1) La vitesse idéale moyenne lors d'un trajet pour minimiser la consommation totale est donc de 64 km/h
2) A cette vitesse la consommation totale est de 4,7 L/100km
Arcadius ArcadiusNous savons que la consommation totale est divisée en deux parties, l'une constante de 2L/h et une autre proportionnelle au carré de la vitesse.Nous allons tout d'abord faire en sorte que la première partie de la consommation soit en fonction de la vitesse. La première partie de la consommation sera notée z(x), x étant la vitesse en km/h
z(x)=2 * (100/x)
= 200/x
La seconde partie de la consommation est dite proportionnelle à la vitesse, donc de la forme y(x) = K.x2, x étant la vitesse. Nous noterons la seconde partie de la consommation a(x) :
a(x)=k.x²
La consommation totale s'exprimera donc avec cette équation (la conso totale est représentée par T(x)).
T(x) = z(x) + a(x)
= (200/x) + (k.x²)
Cherchons la valeur k avec les données qui nous sont fournis :
En roulant à 150km/h, la consommation totale est de 10 L/100km :
10 = (200/150) + (k.150²)
k = [10 - (200/150)] / 150²
k = (26/3) / 150²
= 13 / 33750
=======>>> T(x) = (200/x) + [ (13x²) / 33750 ]
Si l'on cherche le signe de la dérivée de T(x) une racine de T'(x) est 64 (en arrondissant).
Lorsque la vitesse augmente de 0 à 64km/h la conso totale diminue, puis une fois les 64km/h dépassés elle réaugmente.
1) La vitesse idéale moyenne lors d'un trajet pour minimiser la consommation totale est donc de 64 km/h
2) A cette vitesse la consommation totale est de 4,7 L/100km
re : Les temps sont durs Posté le 25-07-08 à 11:56
Posté le 25-07-08 à 11:56Posté par J-P J-P
Beaucoup de réponses identiques mais fausses...
L'énoncé parle parfois de consommation horaire et parfois de consommation au 100/km.
Dans le point b de l'énoncé, il n'est pas précisé s'il s'agit de consommation horaire ou de consommation au 100/km.
Il fallait donc trouver de quel type de consommation il s'agissait ... et l'énoncé donnait les indications nécessaires pour y arriver.
La force de frottement aérodynamique est proportionnelle au carré de la vitesse. (soit on le sait car cela doit être mentionné à je ne sais quel niveau des études secondaires, soit on trouve l'info sur le net).
Pour info à celui que cela intéresse : Voir le châpitre "La traînée" (non grivois) à l'adresse :
Par la relation : Travail = Force * Distance, et avec Force = -k1.v², le travail effectué par les forces de frottement aérodynamique est donc:
W = F * distance
W = -k1.v² * distance
La part de la consommation totale de la voiture due aux frottements aérodynamiques est évidemment proportionnelle à l'énergie dissipée par ces frottements et donc:
Consommation = k2 * k1.v² * distance
Soit : Consommation = K.v² * distance
Et on voit que c'est donc la consommation au 100 km qui est proportionnelle à v².
En tenant compte du résultat de cette réflexion, les solutions au problème étaient:
vitesse optimale = 64 km/h
et la consommation correspondante = 4,7 litres/100km
-----
Dommage pour ceux qui ont trouvé v = 59 km/h et C = 6,8 litres au 100 km, mais ces réponses sont fausses car elles impliqueraient dans un raisonnement similaire à celui ci-dessus que : Energie = Force * Temps, ce qui est évidemment faux.
J-P J-P Beaucoup de réponses identiques mais fausses...
L'énoncé parle parfois de consommation horaire et parfois de consommation au 100/km.
Dans le point b de l'énoncé, il n'est pas précisé s'il s'agit de consommation horaire ou de consommation au 100/km.
Il fallait donc trouver de quel type de consommation il s'agissait ... et l'énoncé donnait les indications nécessaires pour y arriver.
La force de frottement aérodynamique est proportionnelle au carré de la vitesse. (soit on le sait car cela doit être mentionné à je ne sais quel niveau des études secondaires, soit on trouve l'info sur le net).
Pour info à celui que cela intéresse : Voir le châpitre "La traînée" (non grivois) à l'adresse :
Par la relation : Travail = Force * Distance, et avec Force = -k1.v², le travail effectué par les forces de frottement aérodynamique est donc:
W = F * distance
W = -k1.v² * distance
La part de la consommation totale de la voiture due aux frottements aérodynamiques est évidemment proportionnelle à l'énergie dissipée par ces frottements et donc:
Consommation = k2 * k1.v² * distance
Soit : Consommation = K.v² * distance
Et on voit que c'est donc la consommation au 100 km qui est proportionnelle à v².
En tenant compte du résultat de cette réflexion, les solutions au problème étaient:
vitesse optimale = 64 km/h
et la consommation correspondante = 4,7 litres/100km
-----
Dommage pour ceux qui ont trouvé v = 59 km/h et C = 6,8 litres au 100 km, mais ces réponses sont fausses car elles impliqueraient dans un raisonnement similaire à celui ci-dessus que : Energie = Force * Temps, ce qui est évidemment faux.
re : Les temps sont durs Posté le 25-07-08 à 22:13
Posté le 25-07-08 à 22:13Posté par plumemeteore plumemeteore
bonsoir
je réessaie mon raisonnement en corrigeant mon erreur d'avoir pris la partie fixe de 2 litres comme se rapportant à 100 km
soit x la vitesse en km/h
en 1 heure, on consomme 2+ 13x²/22500
en 1 kilomètre, on consomme 2/x + 13x/22500
la dérivée de la consommation au kilomètre est -2/x² + 13/22500
comme x est positif, l'opposé du premier terme est décroissant, donc le premier terme et la dérivée son croissante
la dérivée est nul quand x²/2 = 22500/13
x = V(45000/13) = 58.834 km/h, vitesse optimale
supposons maintenant que la consommation variable soit proportionnelle au carré de la vitesse non plus sur des temps égaux mais sur des distances égales
soit x la vitesse en km/h
sur une distance de 150 km
la durée pour 150 km/h est 150/x
la consommation fixe est 300/x
à 150 km/h, la consommation totale est 15 et la consommation variable est 13
la consommation variable est 13x²/22500
la dérivée de la consommation totale est -300/x² + 13x/11250
x étant positif, les deux termes de la dérivée et la dérivée elle-même croissent
la dérivée s'annule quand 13x³/11250 = 300; x = racine cubique de (3375000/13)
= 63.794 km/h vitesse optimale
il aurait été plus délicat de préciser dans l'énoncé que la consommation est proportionnelle au carré de la vitesse sur une distance donnée et non sur une durée donnée; c'est une énigme de mathématiques, pas de physique
plumemeteore plumemeteorebonsoirje réessaie mon raisonnement en corrigeant mon erreur d'avoir pris la partie fixe de 2 litres comme se rapportant à 100 km
soit x la vitesse en km/h
en 1 heure, on consomme 2+ 13x²/22500
en 1 kilomètre, on consomme 2/x + 13x/22500
la dérivée de la consommation au kilomètre est -2/x² + 13/22500
comme x est positif, l'opposé du premier terme est décroissant, donc le premier terme et la dérivée son croissante
la dérivée est nul quand x²/2 = 22500/13
x = V(45000/13) = 58.834 km/h, vitesse optimale
supposons maintenant que la consommation variable soit proportionnelle au carré de la vitesse non plus sur des temps égaux mais sur des distances égales
soit x la vitesse en km/h
sur une distance de 150 km
la durée pour 150 km/h est 150/x
la consommation fixe est 300/x
à 150 km/h, la consommation totale est 15 et la consommation variable est 13
la consommation variable est 13x²/22500
la dérivée de la consommation totale est -300/x² + 13x/11250
x étant positif, les deux termes de la dérivée et la dérivée elle-même croissent
la dérivée s'annule quand 13x³/11250 = 300; x = racine cubique de (3375000/13)
= 63.794 km/h vitesse optimale
il aurait été plus délicat de préciser dans l'énoncé que la consommation est proportionnelle au carré de la vitesse sur une distance donnée et non sur une durée donnée; c'est une énigme de mathématiques, pas de physique
mais je suis pas le seul à avoir trouvé 
re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 09:26
Posté le 26-07-08 à 09:26Posté par J-P J-P
plumemeteore,
Les énigmes ne sont pas réservées aux mathématiques pures mais elles font en général intervenir les mathématiques. (D'où l'intitulé de la rubrique).
A quoi serviraient les maths sinon pour résoudre des problèmes concrets (et ici proche de ce qu'on peut voir tous les jours) ?
Bien entendu, les énigmes ne font pas appel à des connaissances pointues dans aucun domaine (pas plus les maths que la physique ou ...).
Pour la plupart de mes énigmes, juste du raisonnement et des notions apprises (quelle que soit la matière) au niveau secondaire et/ou facilement accessibles sur le net.
La relation de physique nécessaire à la résolution du problème était : Energie = Force * distance, qui est une des toutes premières qu'on enseigne au secondaire et donc supposée connue.
La seule question à se poser était de savoir de quelle sorte de consommation le point b de l'énoncé parlait, puisque cela n'avait pas été précisé, c'était le seul petit piège.
Préciser le type de consommation ou bien attirer l'attention en lettres rouges sur cette partie de l'énoncé aurait enlevé la seule petite difficulté et donc le sel de l'énigme.
Plusieurs énigmes ont déjà été posées en supposant des connaissances élémentaires en physique (pesanteur, inertie ...), toujours avec des notions qui devraient être maîtrisées au niveau secondaire).
Le piège était-il donc si vicieux ?
Tout commentaire des participants à l'énigme (et des autres aussi) est le bienvenu.
J-P J-P plumemeteore,
Citation :
c'est une énigme de mathématiques, pas de physique
c'est une énigme de mathématiques, pas de physique
Les énigmes ne sont pas réservées aux mathématiques pures mais elles font en général intervenir les mathématiques. (D'où l'intitulé de la rubrique).
A quoi serviraient les maths sinon pour résoudre des problèmes concrets (et ici proche de ce qu'on peut voir tous les jours) ?
Bien entendu, les énigmes ne font pas appel à des connaissances pointues dans aucun domaine (pas plus les maths que la physique ou ...).
Pour la plupart de mes énigmes, juste du raisonnement et des notions apprises (quelle que soit la matière) au niveau secondaire et/ou facilement accessibles sur le net.
La relation de physique nécessaire à la résolution du problème était : Energie = Force * distance, qui est une des toutes premières qu'on enseigne au secondaire et donc supposée connue.
La seule question à se poser était de savoir de quelle sorte de consommation le point b de l'énoncé parlait, puisque cela n'avait pas été précisé, c'était le seul petit piège.
Préciser le type de consommation ou bien attirer l'attention en lettres rouges sur cette partie de l'énoncé aurait enlevé la seule petite difficulté et donc le sel de l'énigme.
Plusieurs énigmes ont déjà été posées en supposant des connaissances élémentaires en physique (pesanteur, inertie ...), toujours avec des notions qui devraient être maîtrisées au niveau secondaire).
Le piège était-il donc si vicieux ?
Tout commentaire des participants à l'énigme (et des autres aussi) est le bienvenu.
re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 09:30
Posté le 26-07-08 à 09:30Posté par mikayaou mikayaou
rassure-toi, J-P, ton énigme est
¤ très sympa,
¤ parfaitement dans la philosophie des énigmes de l'
( avec des pièges de-ci,-delà )
¤ et surtout illustre l'utilité des mathématiques dans la vie quotidienne, ce qui doit être la meilleure image possible pour faire aimer les maths...
Bravo !
mikayaou mikayaourassure-toi, J-P, ton énigme est ¤ très sympa,
¤ parfaitement dans la philosophie des énigmes de l'
( avec des pièges de-ci,-delà )¤ et surtout illustre l'utilité des mathématiques dans la vie quotidienne, ce qui doit être la meilleure image possible pour faire aimer les maths...
Bravo !
re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 10:02
Posté le 26-07-08 à 10:02Posté par kioups kioups
Perso, je n'ai pas utilisé de notion de Sciences Physiques... ou alors sans m'en rendre compte...
kioups kioupsPerso, je n'ai pas utilisé de notion de Sciences Physiques... ou alors sans m'en rendre compte...re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 10:23
Posté le 26-07-08 à 10:23Posté par plumemeteore plumemeteore
bonjour
il semble que les perdants qui savaient la consommation est proportionnelle pour une même distance et non pour un même temps ont moins d'excuses que les autres
plumemeteore plumemeteorebonjouril semble que les perdants qui savaient la consommation est proportionnelle pour une même distance et non pour un même temps ont moins d'excuses que les autres
re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 10:23
Posté le 26-07-08 à 10:23Posté par J-P J-P
Salut kioups,
Comment as-tu alors déduit que la consommation (proportionnelle au carré de la vitesse) du point b de l'énoncé était une consommation pour une distance donnée et pas une consommation pour un temps de roulage donné ?
Les solutions finales dependent de ce choix.
Il reste évidemment possible de ne pas voir le piège et de choisir la bonne voie par hasard. (pile ou face)
J-P J-P Salut kioups,
Comment as-tu alors déduit que la consommation (proportionnelle au carré de la vitesse) du point b de l'énoncé était une consommation pour une distance donnée et pas une consommation pour un temps de roulage donné ?
Les solutions finales dependent de ce choix.
Il reste évidemment possible de ne pas voir le piège et de choisir la bonne voie par hasard. (pile ou face)
re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 10:30
Posté le 26-07-08 à 10:30Posté par kioups kioups
Je dois bien avouer ne pas saisir la différence. Pour une vitesse donnée, la distance et le temps sont proportionnels.
Pour le point b, ça m'a paru (malheureusement) "évident". C'est dans le a que je voyais un piège...
Bon, j'ai eu du bol....
kioups kioupsJe dois bien avouer ne pas saisir la différence. Pour une vitesse donnée, la distance et le temps sont proportionnels.Pour le point b, ça m'a paru (malheureusement) "évident". C'est dans le a que je voyais un piège...
Bon, j'ai eu du bol....
re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 11:44
Posté le 26-07-08 à 11:44Posté par J-P J-P
kiops,
Et pourtant:
Si c'était la consommation horaire qui était proportionnelle au carré de la vitesse, on aurait
Consommation horaire = 2 + kv²
Formule de laquelle on doit déduire la consommation au 100 km.
100 km parcouru à la vitesse v (en km/h) --> durée de parcours (en heure) = 100/v
Et donc consommation pour 100 km = (Consommation horaire) * (durée de parcours pour 100 km)
consommation au 100 km = (2 + kv²)*100/v
consommation au 100 km = 200/v + 100kv
et en posant 100k = K --> consommation au 100 km = 200/v + K.v (1)
-----
Alors que si on considère que c'est la consommation pour une distance donnée qui est proportionnelle au carré de la vitesse, on trouve:
durée de parcours (en heure) = 100/v --> consommation au 100 km pour le point a = 200/v
consommation au 100 km pour le point b : Kv²
Et la somme des 2 donne:
consommation au 100 km = 200/v + K.v² (2)
-----
La comparaison de (1) et (2) prouve bien que les résultat sont différents en considérant que que la consommation du point b est une consommation pour un temps donné ou bien pour une distance donnée.
-----
Il était donc impératif de choisir le bon type de consommation pour le point b de l'énoncé, ce qui était possible avec le raisonnement de mon message du 25/07/2008 à 11:56
L'autre manière était de ne pas voir la difficulté et de prendre la bonne voie par hasard.
J-P J-P kiops,
Citation :
Je dois bien avouer ne pas saisir la différence. Pour une vitesse donnée, la distance et le temps sont proportionnels
Je dois bien avouer ne pas saisir la différence. Pour une vitesse donnée, la distance et le temps sont proportionnels
Et pourtant:
Si c'était la consommation horaire qui était proportionnelle au carré de la vitesse, on aurait
Consommation horaire = 2 + kv²
Formule de laquelle on doit déduire la consommation au 100 km.
100 km parcouru à la vitesse v (en km/h) --> durée de parcours (en heure) = 100/v
Et donc consommation pour 100 km = (Consommation horaire) * (durée de parcours pour 100 km)
consommation au 100 km = (2 + kv²)*100/v
consommation au 100 km = 200/v + 100kv
et en posant 100k = K --> consommation au 100 km = 200/v + K.v (1)
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Alors que si on considère que c'est la consommation pour une distance donnée qui est proportionnelle au carré de la vitesse, on trouve:
durée de parcours (en heure) = 100/v --> consommation au 100 km pour le point a = 200/v
consommation au 100 km pour le point b : Kv²
Et la somme des 2 donne:
consommation au 100 km = 200/v + K.v² (2)
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La comparaison de (1) et (2) prouve bien que les résultat sont différents en considérant que que la consommation du point b est une consommation pour un temps donné ou bien pour une distance donnée.
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Il était donc impératif de choisir le bon type de consommation pour le point b de l'énoncé, ce qui était possible avec le raisonnement de mon message du 25/07/2008 à 11:56
L'autre manière était de ne pas voir la difficulté et de prendre la bonne voie par hasard.
re : Les temps sont durs Posté le 26-07-08 à 22:26
Posté le 26-07-08 à 22:26Posté par kioups kioups
Oki... J'arrivais à la même alternative, mais j'ai fait à ce moment-là plus appel à mon bon sens qu'à un raisonnement mathématique ou physique ! Enfin, le smiley est là et c'est bien l'essentiel !
kioups kioupsOki... J'arrivais à la même alternative, mais j'ai fait à ce moment-là plus appel à mon bon sens qu'à un raisonnement mathématique ou physique ! Enfin, le smiley est là et c'est bien l'essentiel ! Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 2454,17 %45,83 %
Temps de réponse moyen : 32:26:22.
Nombre de participations : 24
54,17 %45,83 %13 
11
11Temps de réponse moyen : 32:26:22.
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