Forum : étude de fonctions :
Limites/dérivées

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice :

Soit f la fonction définie sur ]0;+00[ par f(x) = (x-2)/x². On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O I J) avec I = 1 cm et J = 4 cm.

1/ Calculez lim f et lim f. Précisez les asymptotes de (C).
          x->0+     x->+oo                              

J'ai fais :

en 0+ :

lim x-2 = -2       lim x² = 0
x->0+             x-> 0+

donc lim f(x) = -00
x->0+


en +00 :

lim x-2 = +00 lim x²= +00
x-> +00 x-> +00

donc lim f(x) = +00
x-> +00

lim f(x) = lim 1/x = 0


lim f(x)= -00
x-> 0+          donc la droite d'équation x=0 est asymptote verticale à (C).

lim f(x) = 0  
x->+00          donc la droite d'équation y=0 est asymptote horizontale à (C).


2/ Etudiez les variations de f

J'ai calculé la dérivée de f :

f'(x) = [x² - (x - 2)2x]/x^4 = [-x² + 4x]/x^4
= (4 - x)/x³

Je pense que f est strictement positive sur ]-00;2[U]2;+00[ donc f est strictement croissante sur ]-00;2[U]2;+00[.

3/ Donnez une équation de la droite T tangente à (c) au point d'abscisses xo = 2.

Je sais que la tangente est donnée par y = f'(x0)(x - x0) + y0 mais je n'arrive pas à résoudre.

4/ Représentez T de (C)

5/ Soit g la fonction définie sur ]0;+00[ par g(x) = |f(x)|. Tracez la courbe (c') représentative de g dans le même repère que (C).

Merci

Bonjour.

1°) Limites.

en 0 : -

en +/- : 0

Donc asymptote verticale x = 0 et asymptote horizontale y = 0

2°) Variations



Le signe est donc celui du produit -x(x - 4). (Tu as intérêt à garder x⁴ au dénominateur pour ne pas avoir à en tenir compte dans les signes).

Donc, f est :

décroissante sur ]- , 0 [
croissante sur ] 0 , 4 [
décroissante sur ] 4 , + [

Tangente au point d'abscisse 2

Tu reprends la formule que tu donnes avec :

y₀ = f(x₀) = f(2)
f '(x₀) = f '(2)

salut
ok pour le 1)
ta dérivée est juste
mais tu dois trouver son signe et ça c'est faux ...il faut faire un tableau de signes...
allez hop ....!

salut raymond

tu m'as grillé!

Bonjour ciocciu.

Pour une fois que j'arrive avant les autres !!

Slt à tous. La fonction f étant définie sur ]0,+00[ pourquoi l'étude des variations ne se limite pas à cette intervalle?

oui très juste mouni ...une remarque des plus pertinentes  

Bonjour mouni 90.

Je n'avais pas vu cette condition dans l'énoncé. Tu as raison.

Pour la tangente je trouve :

y = f'(xo)(x-x0)+yo
yo = f(xo) = f(2) = 0
f'(x0) = f'(2) = 1/4

donc y = 1/4(x-2)+0
     y = 1/4x - 1/2

c'est tout bon la tangente