Racines nièmes de l'unité

Posté par scrogneugneu scrogneugneu

Hello !

Je voudrai comprendre un truc sur les racines nièmes de l'unité !

J'ai lu dans un bouquin que tout z dans C privé de 0 admet exactement n racines nièmes.

Preuve :

Soit de module et d'argument
On cherche avec tel que , c'est-à-dire et tels que et

L'égalité des modules de et donne

est donc l'unique racine nième, réelle positive, du réel positif

On montre que

Puis on montre que ssi où

Et là on conclut qu'il y a racines nièmes.

C'est ça que je ne comprends pas !

Est-ce parce que par exemple si , alors (car multiple de n)

Donc en fin de compte les valeurs se répètent.

Mais je ne sais pas si c'est la bonne justification !

Ensuite il restera à montrer qu'elles sont distinctes.

MErci pour votre aide

Posté par scrogneugneu scrogneugneu

?

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !

Si si tu as bien compris. (ou alors c'est moi qui comprend pas ce que tu as dit :p )

Posté par ma-t-h ma-t-h

on dit qu'elle admet n racines nièmes cet pour dire que k  prends une valeur qui varie de {o,.....,n-1} ou k varie de {1,.....,n}
je peux essayer de t'expliquer géométriquement en essaye de constituer ou de tracer un cercle de solution et ou chaque valeur de k représente un point du cercle ! intuitivement tu te dis k vari de 0 à n mais non sa ferai un nœud je ne sais pas quelle est le terme mathématique avec le quelle en qualifie se phénomène mais j'espère que tu as compris se que j'ai dis !

j'espère que j'ai pas fait d'erreur d'explication j'ai juste dit comment moi j'ai compris sa se peux que j'ai rien compris aussi XD j'attends un consolidation de mon explication ou un explication plus juste

Posté par scrogneugneu scrogneugneu

re !
Comment s'assure-t-on que les arguments pour k variant de 0 à k-1 ne sont pas égaux à 2Pi près ?

merci

Posté par veleda veleda

bonjour,
>>scrogneugneu
les arguments pour k variant de 0 à n-1 forme une suite arithmétique de raison 2/n,à chaque fois on ajoute 2/n donc ils ne peuvent pas être égaux
quand k prend la valeur n on a ajouté 2 et l'on retrouve le premier argument( modulo 2)
donc c'est fini
si tu places les images des racines  nièmes sur le cercle de rayon le module tu obtiens les sommets d'un polygone régulier à n côtés