Trigo

Posté par Bardamu Bardamu

Bonjour, je veux montrer que:

l*(1-(cos a)^n)/(tan a/2) = sina*l*(1-sin^n a)/(1-sin a)

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

sauf erreur, cette égalité n'est pas vraie pour tout a

vérifie ton énoncé

Posté par Bardamu Bardamu

En fait , c'est l'une des dernières questions de mon exercices donc j'ai dû me tromper quelque part: voilà l'exo en entier.

Dans le triangle isocèle OA_0B_0,A_1 est le milieu de [A_0,B_0]. On note B_1 le symétrique de A_1 par rapport à (OB_0) et A_2 le milieu de [A_1,B_1]. En itérant ce processus, on obtient une suite de triangles isocèles OA_nB_n.

1) Pour n>=1, exprimer OA_n en fonction de OA_(n-1) et de l'angle a. En déduire OA_n en fonction de n , l et a.

2) Exprimer la distance A_(n+1)A_n en fonction de n.
Calculer la longueur de la ligne polygonale:
      A_0A_1A_2...A_(n-1)A_n

donc ici j'avais trouvé:  sina*l*(1-sin^n a)/(1-sin a)

3)a) Vérifier que la longueur L_n de la ligne polygonale peut s'écrire :

L_n=l*(1-(cos a)^n)/(tan a/2)

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour,

Je joins la figure que j'ai faite pour cet énoncé (en espérant l'avoir bien compris).



Je suppose également que "a" désigne l'angle formé par la base et les côtés du triangle isocèle initial et que "l" désigne la longueur des deux côtés égaux du triangle isocèle initial. La valeur de l'angle "a" est la même pour chaque triangle car ils sont semblables (sur ce coup j'ai pas la foi de mettre une démonstration ).

1) On voit très vite par les relations trigonométriques que .
De même . Plus généralement on en déduit car la longueur correspond à la hauteur du triangle OA_n-1B_n-1.
On peut donc écrire que .

2) De même, on a également dans chaque triangle toujours en utilisant les relations trigonométriques dans un triangle.
On calcul donc : en utilisant la somme des termes d'une suite géométrique.

3) Reste à vérifier que mais là à 4h du mat j'ai pas la foi de m'y coller

Voilà, il faudrait quand même vérifier mes calculs qui ont de fortes chances de contenir une erreur vu l'heure qu'il est

Sur ce bonne nuit et à demain

Posté par mikayaou mikayaou

salut PloufPlouf06

'doit y  avoir des ptites erreurs car ça colle pas

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Salut mikayaou,

Je viens de me lever donc je vais voir vite fait où je me suis trompé

Euh j'ai fait une erreur en recopiant l'énoncé aussi : la formule que je donne est à comparer avec celle dans l'énoncé (j'ai écrit 1-cos(a) au lieu de 1-cos^n(a) ). C'est peut-être pour ça que ça ne colle pas aussi .

Sinon quelque chose m'échappe là, si on ne considère que la distance A₀A₁, on a donc n=1 et évidemment ce qui ici colle avec ma formule. Si on prend la formule donner dans l'énoncer, ça nous donne : . Et visiblement on a deux valeurs différentes de L₁. La formule que je propose semble pourtant correcte vu qu'en se plaçant dans un triangle isocèle, hauteur et médiane sont confondues, donc chercher la longueur A₀A₁ revient à travailler dans le triangle OA₀A₁. A ce stade on a donc le triangle rectangle en A₁ dont l'hypoténuse vaut l, et dont l'angle formé par l'hypoténuse et A₀A₁ est a. On a donc bien la formule que je propose non ? (dois-je retourner immédiatement en 4ème ? )

Merci d'avance de me montrer où j'ai faux

Posté par lafol lafol

Bonjour
a ne serait-il pas plutôt le demi angle au sommet O du triangle isocèle en O ?

en le comprenant ainsi, j'arrive à : la suite des est donc géométrique de raison cos a, et de premier terme l, d'où .

ensuite

la longueur de la ligne polygonale est la somme de n termes de la suite géométrique de raison cos a et de premier terme sin a, elle vaut , et , d'où le résultat attendu.

Posté par Bardamu Bardamu

je trouve plutôt A_(n+1)A_n=sina*cos^na*l

Posté par Bardamu Bardamu

à part l'oublie du l, le reste du raisonnement de Lafol est bon. Merci beaucoup à tout le monde. En fait c'était à la question 2) ou j'avais faux donc la suite j'y arrivais pas.

Posté par PloufPlouf06 PloufPlouf06

Bonjour lafol,

Je me disais bien que l'erreur ne venait pas de mon calcul. Bien vu sinon pour le demi angle
En fait il aurait mieux valu que ce soit précisé dans l'énoncé pour éviter toute ambiguïté

Posté par Bardamu Bardamu

Oui , sur mon livre, y'a un petit dessin. Ca a la forme d'un escargot.

Posté par lafol lafol

oui en effet, le l étant en facteur partout, j'ai oublié de le recopier ....

Posté par lafol lafol

Bardamu, la prochaine fois, essaye de décrire la figure, au moins les éléments d'information qu'elle contient : par exemple ici, que désignent les lettres l et a ....