[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_27

Posté par mikayaou mikayaou

Bonjour

Une tite JFF pour réveiller cette


Bien entendu, pour le plaisir de tous, réponses blanquées

Nota :
En référence aux dernières JFF, et pour ne pas gâcher le plaisir de ceux qui désirent chercher, il est demandé à ceux qui :
¤ soit l'ont déjà cherchée,
¤ soit l'ont déjà donnée en JFF ou en énigme,
¤ soit l'ont déjà vue donnée ailleurs,
¤ soit savent quoi que ce soit sur cette JFF
de ne rien dire, même en blanqué ( blanqués qui sont rarement respectés )

Les seules réponses que vous pouvez donner, pour le plaisir des autres participants, est de fournir votre solution blanquée à la question posée

En espérant avoir été assez clair, sans choquer personne, je vous souhaite une bonne réflexion

Posté par mikayaou mikayaou

un tineupe ?

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour Camélia

la/les relation(s) que j'attends est la plus simple possible :
¤ soit une relation (égalité/inégalité) linéaire entre x, y et z
¤ soit des égalités ou inégalités sur x, y et z : x>= ... y<=... z=...  ...

Je réponds en clair à ta question qui était de savoir si la proposition (compliquée) que tu proposais était la bonne

Posté par Camélia Camélia

Ah bon, je m'en doutais... J'y réfléchirai. A bientôt!

Posté par veleda veleda

bonsoir Mykayaou

Posté par mikayaou mikayaou

bonsoir veleda

Posté par mikayaou mikayaou

veleda

Posté par veleda veleda

bonjourMykayaou

Posté par mikayaou mikayaou

veleda

Posté par mikayaou mikayaou

ça ne me gène pas plus que ça, veleda, mais la connaissance de la genèse de mon pseudo est la suivante :

¤ mika pour le prénom mika
¤ yaou pour le provider yahoo

ainsi, le premier son "i" de mon pseudo est bien un "i" et non un "y"

maintenant, pas de souci outre-mesure, si tu tiens à écrire mon pseudo comme mykayaou, libre à toi

je prends bien le loisir d'utiliser des abréviations quand je trouve que les pseudos sont trop longs...

Posté par veleda veleda

reMikayaou

Posté par mikayaou mikayaou

alors en fait ( vu le peu de participation, je donne la soluce en clair puisque veleda a bien cherché )

il suffisait de dire que le système :



est tel que l'inéquation est toujours vraie et qu'il suffit de prendre trois réels quelconques différents de 1 vérifiant

--------------

Maintenant,


A vous !

Posté par veleda veleda

bonjour mikayaou

Posté par mikayaou mikayaou

il était un peu tôt pour moi aussi à 7:24 ce matin, veleda

c'est pas clair ?


A vous !

Posté par veleda veleda

>>[b]Mikayaou[/

Posté par rogerd rogerd

Bonsoir mikayaou

Il me semble que tu as donné la "réponse" mais pas vraiment la "soluce"?
Et justifier cette réponse ne me paraît pas évident.

Mon démarrage est-il bon?

Posté par mikayaou mikayaou

salut rogerd

en fait, il est maintenant demandé de montrer que :

Pour tous x, y et z (tous différents de 1) tels que le produit vaut 1, la somme des carrés des quotients de chacun à chacun moins un est supérieure ou égale à un

la résolution que je possède ne passe pas par ta fonction f(t)

peut-être aboutira-t-elle ?

Bonne recherche !

Posté par rogerd rogerd

Merci  mikayaou, le problème est maintenant clairement posé!

Posté par mikayaou mikayaou

je suis tout à fait d'accord avec toi

ma présentation était alambiquée, ce qui a du gêner veleda

bonne recherche !

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Posté par mikayaou mikayaou

salut cailloux

Posté par cailloux cailloux

>> Mika

Posté par mikayaou mikayaou

ah, comme tu ne disais pas tout, je pensais que tu y étais parvenu "à la main"

malhonnête est peut-être un peu fort, cependant ...

Si personne ne trouve, je donnerai un indice pour tenter de le faire plus "élégamment", comme tu dis

Posté par mikayaou mikayaou

bien qu'il y a rien de confidentiel, si un modo passe par là, il peut blanquer mon post précédent

merci

Posté par mikayaou mikayaou

étonnant ce triplet ( -2 ; -2 ; 1/4 )...

Posté par mikayaou mikayaou

Cet triplet ( -2 ; -2 ; 1/4 ) montre à veleda qu'il ne respecte pas sa proposition du 25/07/2008 à 22:31

z € [1/2;1[ U ]1,+oo[
ou la même condition sur x ou y

Posté par veleda veleda

bonjour Mikayaou
la condition que j'avais donnée était (je l'avais précisé)suffisantedonc il n'y a pas de contradiction
je n'ai pas eu le temps de chercher plus

Posté par amatheur22 amatheur22

Bonjour tout le monde.
Voici une démonstration simple de cette inégalité.Vous me permettrez de ne pas utiliser le latex que je ne maitrise pas encore!
Si xyz=1 alors l'un au moins des nombres x, y, ou z est supérieur ou = à 1/2.
En effet si x et y et z sont tous strictement inférieurs à 1/2,leur produit égal à 1 (par hypothèse) serait   inférieur à 1/8 ce qui n'est pas.
on peut donc supposer que x est supérieur ou = à 1/2, et montrer que c'est équivalent à  carré de x est supérieur ou = à carré de (x-1) et par conséquent le quotient du  carré de x par le  carré de (x-1) est est supérieur ou = 1.
Comme les deux autres termes sont positifs l'affaire est conclue.
PS:N'y aurait-il-pas un moyen moins compliqué que le latex pour formuler des énoncés mathématiques? Merci d'avance.                                        

Posté par Ju007 Ju007

Bonsoir amatheur,

le latex est le moyen le plus pratique pour taper des formules mathématiques sur ordinateur. Essaye et tu constateras la rapidité de son apprentissage.

Par ailleurs, il n'est jamais perdu d'apprendre le Latex. Hors l'île, il reste très utile pour rédiger des documents mathématiques.

Posté par cailloux cailloux

Bonsoir,

>>



Est-ce bien sûr? Par exemple , ,

Posté par amatheur22 amatheur22

Bonjour cailloux.
∀x réel ,x≤|x| .A partir de là on démontre que(x-1)^2≥(|x|-1)^2.
Il ne me reste plus qu'à formuler autrement :
Si xyz=1 alors l' une au moins des |x|  ou|y|  ou |z|  est≥1/2  
En effet sinon on aurait |xyz|<1/8   qui est exclu ! et le tour est joué.

Posté par rogerd rogerd

Pour amatheur22 et cailloux, je déblanke mon courrier du 30 juin:

Posté par amatheur22 amatheur22

Bonjour Ju007.
Merci de me répondre ,je te promets de m'y coller dès maintenant.Je vais essayer désormais de l'utiliser dans mes futurs messages.

Posté par amatheur22 amatheur22

Bonjour  rogerd *.
Il me semble que ma démonstration englobe tous les cas de figure.En réalité l'un au moins des trois termes du premier membre fait à lui tout seul l'affaire.

Posté par amatheur22 amatheur22

Ce n'est pas concluant ce que j'ai fait .je vais continuer à chercher.

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Amatheur22.

Je crois que nos courriers se sont croisés..

Posté par rogerd rogerd

Il faudrait que tu recolles tes deux morceaux de démonstration.
Je ne suis pas sûr que ça marche.

Posté par amatheur22 amatheur22

BONSOIR  rogerd *
On peut donc supposer dans la suite que:  x<y<0<z<1/2.
xyz=1implique xy=1/z qui est donc supérieur à 2.
En dressant le tableau de variation de la fonction f considérée plus haut,elle décroit de 1 à 0 sur ]-∞,0] et croit de 0 à 1 sur [0, 1/2[.
Ainsi lorsque z tend vers 1/2, f(z) tend vers 1 et c suffisant pour conclure.
Et  lorsque z tend vers 0, f(z) tend vers 0 et xy tend vers +∞.
En fixant y on a x tend vers -∞ et à ce moment f(x) tend vers 1.
Reste le cas où z se ballade librement entre 0 et 1/2!
Peut-on conclure en utilisant la continuité de f? Si oui, comment?
Quelle prise de tête?

Posté par amatheur22 amatheur22


Pouvez- vous me dire s'il vous plait comment on obtient pour les tableaux sous latex le symbole qui permet de changer de colonne? Merci!

Posté par infophile infophile

C'est tombé aux IMO cette année :

Posté par rogerd rogerd

Bonjour tout le monde!

Voyant que notre méthode utilisant une fonction ( amatheur22 et moi) n'a pas l'air d'aboutir, j'ai repris des calculs commencés il y a quelques jours et qui, finalement, semblent marcher.

Je considère X=x/(x-1) et les deux analogues Y et Z comme les racines d'une équation du 3° degré:

.

En remplaçant T par t/(t-1) et chassant les dénominateurs, je forme une équation du 3° degré vérifiée par x,y,z. Après réductions:

.

Le produit xyz des racines de cette équation est égal à 1.
J'en déduis que donc .

X,Y,Z sont donc racines de

.

La somme X+Y+Z des racines est égale à -a, la somme des produits deux à deux XY+XZ+YZ est égale à -(a+1).

La somme des carrés est égale à donc à .

Elle est donc effectivement supérieure ou égale à 1.

Infophile nous dit que c'est un exercice des Olympiades. Il y a donc sans donc sans doute une autre solution, au niveau Terminales.

Posté par infophile infophile

Le plus simple je pense est de factoriser P(x)-1 qui s'avère être un carré donc positif, et c'est terminé.

A noter que ce sont les IMO et pas les Olympiades académiques, donc la solution n'est pas nécessairement de niveau lycée.

Posté par rogerd rogerd

infophile: Que P(x)-1 se factorise agréablement ne saute pas aux yeux...

Posté par infophile infophile

Non, c'est peut-être pour ça que ça figure aux IMO (c'est les olympiades internationales, seuls les jeunes meilleurs matheux de chaque pays peuvent y participer).

Posté par rogerd rogerd

infophile:
j'aimerais bien voir cette factorisation. Comporte-t-elle vraiment très peu de calculs ?

Posté par rogerd rogerd

Bonjour et bonne journée à tous!

Dans l'attente d'une réponse d'infophile, j'ai relu ma démonstration du 6/8 à 16:48.
Elle se termine par d'où je déduis .
J'aurais pu écrire cela
C'est peut-être à cette factorisation que fait allusion infophile?
Peut-être peut-on l'obtenir plus rapidement que moi?

P.S. Que pense mikayaou de tout cela?  

Posté par infophile infophile

Je vais m'absenter 2 jours je posterai une réponse plus tard.

Posté par veleda veleda

bonjour à tous
voici ce que j'ai trouvé
je pose
d'où


  ce qui se traduit par u+v+w=1-(uv+vw+wu)

u²+v²+w²=(u+v+w)²-2(uv+vw+wu)=(u+v+w)²-2(u+v+w-1)=(u+v+w-1)²+11

>>[rogerdil me semble que c'est à peu prés ton résultat,je n'ai pas eu le temps de détaillé ta démonstration car j'ose à peine me servir de l'ordinateur à cause des orages j'ai déjà du remplacer la livebox la semaine dernière