calcul d'intégrale avec une fonction holomorphe

Posté par mellepapillon mellepapillon

Bonjour,

Je suis en train de comprendre une part de la théorie des fonctions de la variable complexe et je bloque sur cet exercice... Je serais ravie si quelqu'un peut m'aider, travailler seule est toujours difficile!

En considérant le trianle de sommets O, R et (i+1)R et la fonction qui a z associe , calculer et démontrer la convergence de l'intégrale de Fresnel:


Pour ma part j'ai commencé à faire un dessin, et donc je me suis dit , que comme la fonction a considérée était holomorphe il "fallait" utiliser le théorème de Goursat (intégrer sur un triangle donne 0 ).
Ensuite j'ai décomposer mon intégrale en trois , correspondant aux trois morceaux du triangle,en écrivant que le tout fait 0, puis je pensais faire tendre R vers l'infini mais si la droite de 0 à R correspond à la fonction à z on associe z ,  j'aurai envie de dire que c'est la même fonction pour toutes les droites... vraiment je ne vois pas quoi faire, comment distinguer ces trois cotés, comment faire apparaitre le i ...

Merci d'avance pour votre aide

Melle Papillon

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !

voila en gros ce qu'il faut montrer :


-la contribution du coté R ,(1+i)R va tendre vers 0 quand R tend vers l'infinit : ce qu'il faut c'est la majorer.

-sur le coté 0,R tu va retrouver l'intégral de 0 à R de exp(-x^2/2), qui tend vers l'intégral de gauss que tu dois connaitre quand R->l'infinit

-sur le coté 0 (1+i)R tu paramétrise par t->(1+i)t et tu trouve que ton intégral vaut intégral de 0 à R de exp(-(1+i)^2t^2/2)*(1+i)dt

et l'astuce, c'est que (1+i)^2 =1^2 +i^2 +2i =2i, du coup tu va retrouver l'intégral de fresnel sur ce coté si.


du coup, en utilisant le th de Goursat et en faisant tendre R vers l'infinit tu va en déduire une relation entre l'intégral de Gauss et celle de Fresnel !

Posté par mellepapillon mellepapillon

ah ok, merci beaucoup, mais comment paramétrises tu sur le segment R,(1+i)R ?
je suis en train d'essayer...

Posté par mellepapillon mellepapillon

je viens de voir que tu es en master à Paris, dans quelle université es tu ? je vais rentrer en master à l'UPMC et je galère pour trouver mes options pour le deuxième semestre, je cherche conseil aurpès de quelqu'un qui s'y connait un peu... ( pour passer ensuite l'agrégation)

Posté par mellepapillon mellepapillon

en faite pour le poste de 14:11 c'est bon j'ai trouvé
merci

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !

Je suis élève à l'ENS, donc je suis un régime un peu particulier : j'ai passé ma Licence et mon M1 dans l'école, mais j'irais passer mon M2 dans une fac parisienne (P6,P7 ou P11 à priori). au prochain semestre j'irais suivre des cours dans ces 3 fac (et aussi un peu à l'ens) pour ensuite préparer l'agrégation à partir de janvier, et terminer mon M2 l'ans prochain...

J'ai pas encore choisit les cours que je suivrait l'ans prochain, mais si tu as des question sur les cours de P6 je peut peut-etre t'aider quand meme (on a eu pas mal de réunion/discusion avec nos profs sur ce qui ce fait dans les différentes fac...)

Posté par mellepapillon mellepapillon


ça me donne:

  mais du coup il me manque le sur 2 dans l'exponentielle...

Puis

qui vaut lorsque R tend vers l'infini

Puis le dernier côté

, mais je ne suis pas sure que cet élément là tend vers 0...puis que dans l'exponentielle ça tend vers l'infini.

qu'en penses tu ?

Posté par mellepapillon mellepapillon

C'est sympa merci!

Voici la page qui donne accès à la doc pour les M1 , expliquant les différentes options

http://www.master.math.upmc.fr/M1/documents/2008-2009/master_math_upmc_2008-2009_080718.pdf

Pour le premier semestre je suis entièrement fixé:
MM o10 probabilités de base puisque je n'ai jamais fait de proba
MM001 Algèbre géométrique, ça me plait bien et parait il c'est très bien dans l'optique agrégation

avec l'anglais j'ai tout les ECTS qu'il faut

ça se corse pour le deuxième semestre
j'en ai déjà parlé ( par mail) avec deux profs de là bas
on me conseille de prendre
MM 049 Théorie analytique des équations différentielles ordinaires ( soit disant la grande faille des étudiants et que c'est bien pour l'agrég)

mais après c'est le flou le plus total! j'ai déjà fait la théorie de Galois en licence, et je me disais pour approfondir un peu pourquoi pas théorie des nombres MM025 mais ce n'est qu'une idée...
tu trouveras une liste d'option page 14-15 pour le deuxième semestre, moi ça me parle pas ou peu.. si tu as des conseils je suis preneuse! En tout cas merci beaucoup !

Posté par Ksilver Ksilver

Déja pour ton exo :

mais du coup il me manque le sur 2 dans l'exponentielle... >>> un changement de variable t=u/sqrt(2) fera réapparaitre le deux qu'il mangue.

pour le dernier coté, tu as été un peu vite dans ton paramétrage :

tu as intégral sur [R,(i+1)R] de exp(-z²/2)dz = intégral de 0 a R exp(-(R+it)^2/2)*i dt, en posant z=R+it. (qui est bien une paramétrisation de [R,(i+1)R] )

apres on majore ca (notons I cette intégral) :

|I| <= R.intégral de 0 a R |exp(-(R+it)^2/2)| dt = intégral de 0 a 1 exp(-Re((R+it)^2)/2) dt = intégral de 0 a R exp(-(R^2-t^2)/2) dt = exp(-R²) * intégral de 0 à R de exp(-t^2/2) dt

bon, apres il s'agit de voir que  intégral de 0 à R de exp(-t^2/2) dt = o(exp(-R^2/2)) et pour cela on utilise une petite astuce :

exp(-t^2/2) = o( t.exp(-t^2/2) ), et donc par intégration des relations de comparaison :

l'intégral de exp(-t²/2) de 0 a R = o( intégral de 0 a R de t.exp(-t²/2) )
et cette dernier intégral ce calcule et vaut exp(-R²/2) !!

voila !

Posté par Ksilver Ksilver

Pour les question d'orientation, tu arrive tous juste au moment ou il va falloir choisir certaine branche des mathématiques plutôt que d'autres, et donc réfléchir un peu à ce qui t'interesse.

Déja vu que tu prévoit de passer l'agrégation, tu devrait commencer par jeter un oeil au Option pour l'agrégations, en gros il y a un option algèbre, une option analyse, une option Proba/stat et une option informatique (les énoncé précis sont assez différent, mais je les ai pas en tetes... enfin on doit les trouver facilement sur internet...) et choisir au moins un cours qui prépare à l'option que tu compte faire.

après il faut aussi voir si tu es obligé de donner une liste définitive des cours que tu compte suivre dès maintenant ou bien si tu peut aller à un certain nombres de cours au début du semestre et de choisir ceux que tu va continuer après une semaines ou deux de cours, si tu le peux je te conseil vraiment de faire ca : cela te permetra de juger par toi même l'interet que tu porte a certaine discipline, plus ou moins la quantité de travaille que ca va te demander et surtous la qualité du cours : arrivé au niveaux M1 il faut reconnaitre que d'un prof à l'autre la qualité d'un cours peut changer totalement, si tu tombe sur un prof nul et que tu te retrouve à bosser uniquement sur des bouquins c'est un peu dommage ^^


Sinon à partir de ce que tu dit je dirais que tu t'interesse plutot à l'algèbre, dans ce cas je te conseilerai effectivement le cours de théorie des nombres, le cours "groupe finit" qui à mon avi devrait traiter de choses (extrement classique) sur les représentation de groupe finit. je ne sais pas trop ce que tu as pu faire la dessu pendant ta licence.
Le cours "Groupe fondamental et Revétement" peut aussi t'interesser : c'est une introduction à la topologie algébrique dont l'objectif est de ramener des problèmes de topologie à des problèmes d'algèbres donc un peu de topologie et un peu d'algèbre. faut avour qu'on fait assez peu d'algèbre à P6 donc ca te laisse pas beaucoup de choix ^^

mais je connais pas assez bien le programe de l'agreg pour savoir si ca peut facilement servir à l'oral de l'agreg par exemple...

SInon si tu veux faire des probas ou de l'analyse il y a plein d'autres cours.

Posté par mellepapillon mellepapillon

merci pour mon exo, effectivement j'ai voulu aller trop vite, en plus je l'avais fait correctement dans un autre exercice, je vais essayer de tout rédiger sans le corriger, je pense que ça me permettra de voir si la méthode est bien comprise.

Oui j'aime bien l'algèbre, j'ai aussi beaucoup aimé la topologie... la théorie de Galois fut difficile mais avec du recul j'aime bien...nous avons fait beaucoup d'algèbre dans ma fac en licence donc j'ai plus de faille en analyse...

je vais mieux regarder le programme de l'agreg..j'avais vu qu'il y a une option à choisir..difficile choix quand personne ne t'en parle.

Merci pour ton aide en tout cas

A bientôt

Posté par Ksilver Ksilver

Dans ce cas tu devrait quand meme suivre le conseil qu'on ta donné : MM 049 Théorie analytique des équations différentielles ordinaire.

ca risque de pas t'intéresser beaucoup, mais il vaut mieux etre au niveaux en analyse pour l'agrégation ^^