optimisation une fonction avec une contrainte

Posté par adoulou adoulou

Bonjour j'avais un probléme pour résoudre ce petit probléme ,aidez moi SVP
Exercice :
min F(x)=2x² + y
x²+ y² = ²    
1)Resoudre ce probléme par la méthode de lagrange en illustrant graphiquement les solutions  
2)Resoudre ce probléme par élimination d'un variable

indication:  min= minimiser ; F(x)=2x² + y
min F(x)=2x² + y :c'est de minimiser la fonction F(x)
je vous remercié infiniment de votre aide
Merci

Posté par otto otto

Bonjour,
où est le problème ?

F est une fonction de x et de y en passant.

Il suffit de faire ce que l'on te demande. Au moins pour la 2e méthode, tu es capable de t'en tirer avec le genre d'initiatives qu'on a en classe de seconde.

Pour la première, il faut que tu égales le gradient de F à celui de lambda.G où G(x,y)=x^2+y^2-beta^2.

Posté par adoulou adoulou

merci beaucoup otto de m'avoir repondre  
j'ai le probléme pour la 1er question comment on peut  résoudre ça par la méthode graphique ?
pour la 2éme question j'ai fait sortir x en fonction de et y  
x²=²-y²
et j'ai remplacé dans la fonction et j'ai pas trouvé un minimum je ne sais pas si c'est juste ou non !!
pour la 1er question je ne sais pas comment faire pour la résoudre
merci beaucoup

Posté par otto otto

On ne te demande pas de résoudre graphiquement mais d'illustrer les solutions ...

Si tu ne trouves pas de minimum, il y'a un problème, tu as une fonction continue sur un compact ...

Pour la première question, je t'ai dit quoi faire et c'est du cours ...

Posté par adoulou adoulou

On a pas fait ça au cour deja c'est un exercice d'examen de synthése et maintenant je vais passé au rattrapage ,vous pouvez m'expliqué  comment faire svp
merci beaucoup

Posté par otto otto

Bonjour,
comme je te l'ai dit, il suffit d'égaler le gradient de f à un multiple de celui de g.

Posté par J-P J-P

Sans garantie sur la méthode.

Contrainte:
Avec g(x,y) = x² + y² - beta²
g(x,y) = 0





Conduit à :




x² = beta² - (1/16)

min F = 2( beta² - (1/16)) + 1/4

min F = 2.beta² + 1/8

-----
2x²+y = 2(Beta²-y²) + y = -2y² + y + 2Beta²

f(y) = -2y² + y + 2Beta²
f '(y) = -4y + 1
min de f(y) pour y = 1/4

f(1/4) = -1/8 + 1/4 + 2Beta²
f(1/4) = 2Beta² + 1/8

min F(x) = 2Beta² + 1/8
-----
Sauf distraction ou erreur.

Posté par adoulou adoulou

mais dans la 2éme question quand on fait la dérivé seconde de f on trouve qu'elle est egale a -4 alors y=1/4 est un maximum local de la fonction f !

Posté par J-P J-P

Ah oui, c'est un maximum.

Erreur.

Posté par adoulou adoulou

c'est pas grave on suppose qu'il n'existe pas un minimum pour la 2éme question et pour la 1er question comment faire pour  illustrer les solutions grafiquement!!
merci

Posté par otto otto

c'est pas grave on suppose qu'il n'existe pas un minimum pour la 2éme question
Bein tu fais ce que tu veux, mais je t'ai deja dit qu'une fonction continue sur un compact admettait un max et un min ...
Tu as l'air de te foutre un peu de ce qu'on te dit, tu ne connais pas tes théorèmes et tu n'as pas l'air au courant des méthodes vues en cours.
C'est bizarre de faire un examen de synthèse sur quelque chose que tu n'as pas vu en classe ...

En l'occurence

f(x,y)=2x^2+y

ta contrainte
g(x,y)=x^2+y^2-b^2=0

en particulier

x^2=b^2-y^2

donc

h(y)=2(b^2-y^2)+y

y se ballade sur le cercle x^2+y^2=b^2 donc x se ballade entre -b et b

donc il suffit d'étudier la fonction h sur le segment [-b,b].


C'est bien d'aider les autres, mais il faut faire attention à ce que l'on raconte, les extrema ne sont pas nécessairement sur les points qui annulent la dérivée ...

Posté par otto otto

y se ballade sur le cercle x^2+y^2=b^2 donc x se ballade entre -b et b

Il faut lire

y se ballade sur le cercle x^2+y^2=b^2 donc y se ballade entre -b et b.

Posté par adoulou adoulou

vous avez raison Otto j'ai pas fait attention comme vous m'avez dit la fonction continue sur un compact admettait  un  max et un  min   
j'ai étudier la fonction h sur un segment [-;] et j'ai trouver le point minimum est (0,-)  je ne sais pas si c'est juste ou non !
merci beaucoup

Posté par stokastik stokastik



C'est comme ça que ça a fini entre adoulou et moi (il y a eu un passé pour que ça en arrive là)

adoulou, il faudrait peut-être que tu travailles la communication dans le fond non ?

Posté par adoulou adoulou

Stakastik c'est un malheur que vous avez choisi ce pesudo parceque au lieu d'aider des gens dans les forums vous prenez comme si vous étes le genis et j'ai pensé que vous avez dit la dernniere fois que vous adressez jamais a moi alors je ne sais pourquoi vous venez me parler ; et si vous connaissez rien je vous conseil de ne pas mettre un étudiant dans la merde  et essayez d'aider les étudiants au lieu de mettre des commentaires
merci

Posté par J-P J-P

Calme ...

f(x,y) = 2x²+y
contrainte: x²+y²=B² (et donc x et y sont dans [-|B| ; |B|])

x² = B²-y²

f(y) = -2y² + y + 2B² (avec y dans [-|B| ; |B|])
f '(y) = -4y + 1

a) |B| >= 1/4
f '(y) > 0 pour y dans [-|B| ; 1/4[ --> f est croissante.
f '(y) = 0 pour y = 1/4
f '(y) < 0 pour y dans ]1/4 ; |B|] --> f est décroissante.
Il y a un max local de f pour y = 1/4

Le min de f est soit pour x = -|B|, soit pour x = |B|
f(-|B|) = -2B² - |B| + 2B²
f(|B|) = |B|

f est donc minimum pour y = -|B|. On a alors x² = B² - B² = 0
f(x,y) est minimum pour pour le couple(x,y) = (0,-|B|) et ce min vaut -|B|

b) |B| < 1/4
f '(y) > 0 pour y dans [-|B| ; |B|[ --> f est croissante.
Le min de f est pour x = -|B|

f(x,y) est minimum pour le couple(x,y) = (0,-|B|) et ce min vaut -|B|
---
Donc quel que soit B, f(x,y) est minimum pour pour le couple(x,y) = (0,-|B|) et ce min vaut -|B|

Sauf nouvelle erreur.

Posté par adoulou adoulou

Merci beaucoup Monsieur J-P  mais je ne sais pas comment faire pour faire une illustration  graphique est- ce que vous pouvez m'aider SVP
je vous remercie infiniment