valeurs d'adhérence de cos(nt) et sin(nt)

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valeurs d'adhérence de cos(nt) et sin(nt)

Posté le 04-08-08 à 00:53

Posté par romu

Bonsoir,

je bloque sur cet exo:

Citation :
Soit $\theta$ un nombre réel, on pose $U_{\theta}=\{e^{in\theta},\ n\in \mathbb{Z}\}$ . Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $S^1$ définie par $f(t)=e^{it}$ .

1. Montrer que l'image d'un ouvert de $\mathbb{R}$ par $f$ est un ouvert de $S^1$ .

2. Montrer que $G_{\theta} = f^{-1}(U_{\theta})$ est un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$ . Montrer que $f(G_{\theta})=U_{\theta}$ .

3. On suppose que $U_{\theta}$ n'est pas dense dans $S^1$ .

(a) Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $0\in \mathbb{R}$ tel que $V\cap G_{\theta}=\{0\}$ .
En déduire qu'il existe un voisinage $U$ de $1\in S^1$ tel que $U\cap U_{\theta} = \{1\}$ .

(b) En déduire que pour tout $n$ , il existe un voisinage $U_n$ de $e^{in\theta}$ tel que $U_n\cap U_{\theta} = \{e^{in\theta}\}$ .

(c) En déduire que $U_{\theta}$ est fini ssi $\theta\in \mathbb{Q}\p$ .

4. Déduire de ce qui précède que $U_{\theta}$ est fini ou dense dans $S^1$ .

5. Montrer que $U_{\theta}$ est fini ssi $\theta\in \mathbb{Q}\p$ .

6. En déduire les valeurs d'adhérences des suites $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ .

Je bloque à partir de la 3) (a), je ne vois pas comment déduire qu'il existe un voisinage $U$ de $1\in S^1$ tel que $U\cap U_{\theta} = \{1\}$ .

Merci pour votre aide.

re : valeurs d'adhérence de cos(nt) et sin(nt)

Posté le 04-08-08 à 10:02

Posté par 1 Schumi 1

Salut

Perso j'ai fais un dessin et j'ai appliqué f... (j'ai pris V boule ouverte, on perd rien à le supposer).

re : valeurs d'adhérence de cos(nt) et sin(nt)

Posté le 04-08-08 à 15:37

Posté par romu

Salut Ayoub,

j'avais essayé aussi mais ça me pose quelques soucis:

Il existe $\varepsilon>0$ tel que si on note $V=]-\varepsilon,\varepsilon[$ , on a $V\cap G_{\theta} = \{0\}$ , et donc $f(V\cap G_{\theta}) = \{1\}$ .

Là j'ai bien envie de poser $U=f(V)$ et on a par surjectivité de $f$ , $f(G_{\theta}) = f(f^{-1}(U_{\theta}))=U_{\theta}$ .

On veut montrer (en supposant que j'ai choisi un bon candidat pour $U$ ) que $f(V)\cap f(G_{\theta})) = \{1\} = f(V\cap G_{\theta})$ ,

mais on sait juste que $f(V\cap G_{\theta})\subset f(V)\cap f(G_{\theta}))$ .

Sinon je pensais aussi que dire que $V\cap G_{\theta} = \{0\}$ équivaut à dire que $\inf (G_{\theta}\cap ]0,+\infty[) \geq \varepsilon$ ,
mais après je ne vois pas trop comment exploiter cette hypothèse.

re : valeurs d'adhérence de cos(nt) et sin(nt)

Posté le 04-08-08 à 15:53

Posté par 1 Schumi 1

Oui romu, en effet, on a qu'une seule inclusion. Mais par bijectivité de f de ]-pi, pi] il m'a semblé qu'on s'en sortait.

re : valeurs d'adhérence de cos(nt) et sin(nt)

Posté le 04-08-08 à 16:42

Posté par Camélia

Bonjour

3)a) par négation. Si la propriété est fausse, il existe une suite z_k d'éléments de $U_\theta$ qui tend vers 1. Alors on peut choisir les arguments de manière à ce que la suite des arguments tende vers 0, ce qui est contradictoire avec le fait que $V\cap G_\theta=\{0\}$

re : valeurs d'adhérence de cos(nt) et sin(nt)

Posté le 05-08-08 à 23:45

Posté par romu

ok maintenant c'est clair.

Merci à vous deux

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