Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau 2 *
Partager :

Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * *

Posté par
jamo Moderateur
05-08-08 à 13:31

Bonjour,

tout le monde a déjà croisé un de ces objets situés dans l'image ci-dessous : tire-bouchon, porte-manteaux, dessous-de-plat, ...
Le point commun de ces objets est qu'on y trouve des losanges articulés.

Le but de l'énigme est de me donner l'équation d'une courbe qu'on peut obtenir à l'aide d'un de ces objets.

Prenons un repère orthonormé et plaçons-y un tel système constitué de deux losanges articulés.
Le point O est fixe, et tous les points de la figure sont articulés.
Les barres [OB], [OE], [AD] et [DF] ont une longueur a, et les deux barres [AE] et [BF], de milieu commun C, ont une longueur 2a.

On suppose que les barres ont une épaisseur nulle, ce qui permet de plier et déplier entièrement tout le système.

Initialement, le système est complètement replié, avec les points C et D confondus avec O, A confondu avec B, et E confondu avec F. On déplie ensuite au maximum le système en tirant sur le point D, jusqu'à ce que tous les points soient alignés sur l'axe des abscisses (avec B confondu avec E, et A confondu avec F).

On s'intéresse au point A : celui-ci se déplace sur une courbe, dont j'ai donné une représentation sur le dessin (attention, la courbe que j'ai tracée est volontairement fausse).

Question : donnez-moi l'équation cartésienne de cette courbe sous la forme y=f(x) avec a comme seul paramètre.
Je veux aussi l'ensemble de définition de cette fonction f, mais cela ne devrait pas être trop difficile.

Bonne recherche !

Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon

Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon

Posté par
kioups
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 14:07

gagnéLa fonction f est définie sur [0;3a] et est définie parf(x)=\sqrt{a^2-{(\frac{x}{3}})^2}

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 14:11

gagnéLe lieu du point A est donc la fonction
y = \sqrt{a^2-\frac{x^2}{9}}
sur [0, 3a]
, bien qu'on puisse calculer f(x) sur [-3a, 3a].

Posté par
ExChoun
Réponse 05-08-08 à 14:15

gagnéL'équation est y=\sqrt{a^2-\frac{x^2}{9}}
Domaine de définition suivant x : [0;3a]

Posté par
Flo08
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 14:41

gagnéBonjour  


L'ensemble de définition, tout d'abord :
- lorsque la structure est repliée au maximum, les coordonnées du point A sont (0 ; a) ;
- lorsque la structure est étirée au maximum, les coordonnées du point A sont (3a ; 0).
L'ensemble de définition de la fonction à trouver est donc  [0 ; 3a].

On pose \alpha l'angle formé par le segment OB avec l'axe des abscisses. en notant  x  et  y  les coordonnées du point A, on a :

3$ \fr{x}{3} = \rm{a} \hspace{5} \cos{\alpha}     soit    3$ \cos{\alpha} = \fr{x}{3\rm{a}}

3$ y = \rm{a} \hspace{5} \sin{\alpha}     soit    3$ \sin{\alpha} = \fr{y}{\rm{a}}

Sachant que     cos²\alpha + sin²\alpha = 1     on obtient donc :

3$ \(\fr{x}{3\rm{a}}\)^2 + \(\fr{y}{\rm{a}}\)^2 = 1

3$ \fr{y^2}{\rm{a}^2} = 1 - \fr{x^2}{9\rm{a}^2} = \fr{9\rm{a}^2 - x^2}{9\rm{a}^2}

3$ y^2 = \fr{9\rm{a}^2 - x^2}{9}


Soit     5$ \blue \fbox{y = \fr13 \sqr{9\rm{a}^2 - x^2} \hspace{5} \hspace{5} \rm{ definie sur [0 ; 3a]}}


Vérification :
si x = 0,  on a bien  y = a
si x = 3a, on a bien  y = 0

Posté par
gloubi
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 14:42

gagnéBonjour,

L'ensemble de définition de la fonction f est l'intervalle [0, 3a].

Le point B décrit un quart de cercle d'équation x2+y2 = a2, avec x dans [0, a].

Le point A décrit un quart d'ellipse dont les abscisses successives sont le triple de celles de B, et dont les ordonnées sont celles de B.

D'où, pour A: (x/3)2+y2 = a2. Donc   3$ y = \sqrt{a^2-\frac{x^2}{9}}


Sauf erreur(s) ou précipitation (coutumière de ma part)

A+,
gloubi

Posté par
infophile
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 15:12

gagnéBonjour

J'ai la flemme de mettre ma démo, mais rapidement :

On considère le cercle de centre C (d'abscisse c) et de rayon a donc d'équation (x-c)²+y²=a² et la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le milieu de [CD] d'abscisse c+c/2 = 3c/2, l'intersection du cercle et de cette droite donne l'ordonnée du point A (qui a  pour abscisse 3c/2) : y² = a² - (3c/2-c)² = a² - c²/4 = a² - (3c/2)²/9.

Donc l'équation est y=\sqrt{a^2-\frac{x^2}{9}} qui est définie sur [0,3a] (car on considère que le tire-bouchon s'étire de gauche à droite). Sinon par parité la fonction est définie sur [-3a,3a].

Comme la fonction est relativement simple, on peut calculer l'aire sous la courbe, le volume du solide de révolution engendré par une rotation autour de l'axe des abscisses...etc

Merci pour l'énigme

Posté par
davidh
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 15:19

gagnéBonjour,

Si \alpha représente l'angle entre CA et l'axe des abscisses, le point A est à l'abscisse 3.a.cos(\alpha).
Son ordonnée est a.sin(\alpha).
L'angle \alpha est compris entre 0 et \frac{\pi}{2}, car le losange articulé ne peut mécaniquement se déplier que d'un seul coté !

Je propose donc pour équation y=a.sin(Arccos(\frac{x}{3.a})), avec x positif.
Cela s'écrit de manière plus sympathique
y=a.\sqrt{1-{(\frac{x}{3.a})}^2}
ou encore
y=\frac{1}{3}.\sqrt{9.a^2-x^2}

L'ensemble de définition est bien entendu [0 ; 3.a]

Posté par
Eric1
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 16:30

gagnéy=f(x)=a*sin(arccos(x/3a))

d'après l'énoncé, on ne peut tirer que dans un seul sens, donc l'ensemble de définitin est [0 ; 3a]

Posté par
rogerd
La courbe du tire-bouchon 05-08-08 à 16:41

gagnéEn sortant à peine du yékénia... paf! ... une nouvelle énigmo!

Merci quand même, Jamo!

La courbe décrite par B est le quart de cercle
 x=a\cos\theta  y=a\sin\theta, où \theta décrit [0,\frac\pi 2]

A a la même ordonnée que B et une abscisse triple , donc décrit la courbe
 x=3a\cos\theta  y=a\sin\theta.

On reconnaît un quart d'ellipse.

En définissant f par f(x)=\sqrt{a^2-\frac{ x^2}9, fonction dont l'ensemble de définition est [-3a,3a], cette courbe est donc le graphe de la restriction de f à [0,3a]

Posté par
TiT126
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 16:55

gagnésalut Jamo,

Encore une belle énigme d'équation de courbe

Tout d'abord le point A varie de zéro jusqu'à 3a, le domaine de définition est donc [0;3a].

Soit J le milieu de [OC] et I celui de [CD].
Les propriétés des losanges nous donne OJ=JC=CI=ID
Comme OJ = xB, on conclut : 3$\blue\fbox{x_A=3x_B}(1)

De plus B appartient au cercle de centre O et de rayon a, donc : 3$\blue\fbox{x_B^2+y_B^2=a^2}(2)

(1) et (2) donnent 3$\frac{x_A^2^}{9}+y_A^2=a^2 car yA=yB

Soit 3$y_A^2 = \frac{9a^2-x_A^2}{9}

3$y_A = \frac{\sqrt{9a^2-x_A^2}}{3}


On conclut que le point A suit la courbe d'équation 5$\red\fbox{y = \frac{\sqrt{9a^2-x^2}}{3}}

La petite image :

Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 18:31

gagnébonjour
f(x) (a² - x²/9)
A a la même coordonnée que B
le domaine de définition de f(x) est ]0; 3a[

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 19:38

gagnétiens, tiens... bonjour jamo.
Cette énigme me fait penser à un TP de terminale, sur un dessous de table.
Bon tant pis voici ma réponse:

quand on tire sur le point D, celui-ci se déplace suivant l'axe (O,i) tel que
OD = 4t * u  , t réel appartenant à [0;a]
pour un écartement de 4t, CD = 2t , et donc FA = 2*racine(a²-t²)

on peut donc noter le vecteur OA = OC + CA = 3/4*OD + FA/2
donc OA = 3t*u + racine(a²-t²)*v
donc les coordonnées paramétriques de A sont (3t;racine(a²-t²)), pour t appartenant à [0;a].
En exprimant y en fonction de x, on trouve:

f(x) = y = racine(a² - x²/9).

Donc l'ensemble de définition est [0;3a].
Voilà j'ai trouvé 2 autres méthodes aussi, et il me semble ne pas avoir fait d'erreurs. Merci pour l'énigme !

Posté par
manpower
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 21:57

gagnéBonsoir,

pour l'équation de la courbe cela n'a rien de difficile, mais la suite...

En notant B(b;y) les coordonnées de B, comme B appartient au cercle centré à l'origine passant par B, on a b²+y²=a².
Ensuite, A(x;y) possède la même ordonnée que B et une abscisse triple (i.e. b=x/3) il vérifie l'équation de l'ellipse x²/9+y²=a².
On en déduit alors y=f(x)=\sqrt{a^2-\frac{x^2}{9}.
(j'ai écarté le cas -\sqrt{a^2-\frac{x^2}{9} en supposant que le système ne peut subir de rotation autour de (Ox))

Pour ce qui est du domaine de définition, l'énoncé me semble assez flou sur ce point: a priori, même avec O fixe et C,D rivés à l'axe des abscisses (5ème paragraphe), sans savoir si l'axe (Oy) représente un mur, rien n'interdit au système d'être déplié dans la partie négative des abscisses, non ?

Bon, j'imagine que la réponse attendue est [0,3a] (avec des images dans [0,a]), mais [-3a;3a] devrait également convenir... bizarre cet ajout !

Merci pour l'énigme, une fois encore bien emballée !

PS: Admirablement bien trouvé le dessous de plat avec des poissons !

Posté par
veleda
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 05-08-08 à 22:37

gagnébonsoir Jamo,
OB=a donc quand le tire bouchon passe de la position où il est plié avec B sur OY à la position où il est complétement déplié avec B sur OX le point B décrit le 1/4 de cercle de centre O ,de rayon a situé dans le 1/4 de plan OX,OY  
y=(a²-x²) pour 0 xa
On voit facilement que l'on passe du point B au point A par l'affinité orthogonale d'axe OY et de rapport 3=>A décrit le 1/4 d'une ellipse  de cercle  secondaire x²+y²=a² et de cercle principal x²+y²=(3a)²
A décrit la courbe d'équation y=f(x)=(a²-(x²/9))  f étant définie sur[0;3a]


merci pour cette énigme ,je n'avais jamais réfléchi aux trajectoires des points A et B
j'espère ne pas avoir fait d'erreur

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 06-08-08 à 00:11

gagnéBonjour et merci pour l'énigme.

ma réponse est:  \red \rm \large \fbox{ y = \sqrt{a^2 - \frac{x^2}{9}} \{ x\in \mathbb{R}\\ x\in [0,3a]}

- 2 points à ajouter sur la figure
  BE coupe OD en H
  AF coupe OD en X

Les coordonnées de A sont: x = OX et y = BH

les quadrilatères OBCE et CADF sont des Losanges:
   4 côtés égaux OB = BC = CE = EO = a
                      et CA = AD = DF = FC = a
   en plus ils sont égaux entre eux
   leurs diagonales se coupent en leur milieu et à angles droits:
                      OH = HC = CX = XD
  
on remarque que OX = OH + HC + CX \Longrightarrow \rm OH = \frac{x}{3}

dans le triangle OHB:
   OH2 + BH2 = OB2 \Longrightarrow \rm (\frac{x}{3})^2 + y^2 = a^2

que dire de plus:
   - le point B se déplace sur un quart de cercle de rayon a
   - la courbe en rouge sur la figure est fausse:
     lorsque x varie de 0 à 3a, y est continue et strictement décroissante de a à 0
     je dirais que c'est une demi parabole couchée ???

Posté par
ITMETIC
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 06-08-08 à 10:44

gagnéPar des considérations géométriques on obtient xA=3xB et  yA=yB

Or le point B décrit un cercle de centre O et de longueur a, on a donc xB²+yB²=a²

On obtient ainsi xA²/9+yA²=a² équation d'une ellipse

Le point A décrit ainsi la courbe d'équation cartésienne f(x)=(a²-x²/9) (partie supérieure de l'ellipse précédemment définie, car pour xA=0 on a yA=a).

Et ce pour x tel que a²-x²/9>0 soit x²<9a² et 0<x<3a. (on considère x toujours positif, quoique rien dans l'énoncé n'interdise de tirer D vers la gauche auquel cas on aurait -3a<x<0)

Posté par
Judeau
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 06-08-08 à 13:45

gagnéBonjour,

L'équation de la courbe définissant la trajectoire du point A est y=\sqrt{a^2-\frac{x^2}{9}}

Elle est définie sur l'intervalle [0 ; 3a]

Merci pour l'énigme

Posté par
bof
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 06-08-08 à 15:08

perduPour ma part, j'ai trouvé l'équation suivante :
Sur l'ensemble de définition [0;3a] :
y=-\frac{2}{9a}x^2+\frac{1}{3}x+a

Il se trouve que la courbe monte au début, et j'ai pensé que c'était du au fait qu'on considère qu'il n'y a pas d'épaisseur...ma foi...!

Posté par
jver
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 06-08-08 à 17:40

perduLes coordonnées de A sont (3a cos(t), a sin(t))
L'équation en cartésienne de cette ellipse sont:
X^2+9 y^2=9 a^2

Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon

Posté par
piepalm
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 07-08-08 à 00:21

gagnéIl suffit de remarquer que l'abscisse de A est 3 fois celle de B, donc l'équation cherchée est y=racine(a^2-x^2/9) pour x compris entre 0 et 3: c'est un arc d'ellipse...

Posté par
xtasx
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 07-08-08 à 08:42

gagnéBonjour,

Je trouve comme équation de la courbe f(x)=sqrt(a²-x²/9)

Pour l'ensemble de définition, je trouve [0,3a] si on suppose (comme le laisse présumer l'énoncer) que le système ne peut pas se déplier pas dans les x négatifs; sinon c'est [-3a,3a].

Merci pour l'énigme !

Posté par
torio
La courbe du tire-bouchon 07-08-08 à 14:27

gagnéA+
torio

La courbe du tire-bouchon

Posté par
Tolokoban
Proposition 07-08-08 à 14:41

gagnéEn utilisant pythagore, on obtient :
f^2(x) + (\frac{x}{3})^2 = a^2

D'où l'équation cartésienne recherchée :
f(x) = \sqrt{a^2 - (\frac{x}{3})^2}
Elle est définie sur [-3a ; 3a]

Posté par
bapader
*challenge en cours* 07-08-08 à 15:11

gagnéBonjour,

Je trouve f(x) = \sqrt{a^2-\frac{x^2}{9}}.
L'ensemble de définition est ici l'intervalle [0;3a], mais la fonction f peut aussi être définie sur [-3a; 3a].

BA.

Posté par
matovitch
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 07-08-08 à 15:22

perduBonjour Jamo !

Sympa ! Et moi qui utilisais mon porte manteau sans réfléchir !
Voilà, on compose les mouvements 3 cosinus pour 1 sinus...tagadam !!

5$ \blue\fbox{f(a) = \sqrt{1-\fr{x^2}{9a^2}}}

Merci, et vivement d'autres courbes ! Je suis nullissime en logique.

Posté par
totti1000
Tire bouchon 07-08-08 à 21:33

gagné  

Tire bouchon

Posté par
ThierryMasula
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 08-08-08 à 18:07

gagnéBonsoir jamo,

\unitlength{1}\picture(385,220){(5,75){\circle(200,200;-20,90)}(5,75){\circle(600,200;-5,90)}(5,20){\line(0,200)}(0,80){\0}(0,75){\line(360)}(5,75){\line(80,60)}(5,75){\line(80,-60)}(85,135){\line(160,-120)}(85,15){\line(160,120)}(245,135){\line(80,-60)}(245,15){\line(80,60)}(345,80){+2$x}(10,200){+2$y}(35,110)a(3,172){\bullet}(10,180)a(102,73){\bullet}(95,80)a(302,73){\bullet}(285,80){3a}(85,135){B{\compose{-}{=}}\,x^\2+y^\2=a^\2}(245,135){A{\compose{-}{=}\,(\frac{x}{3})^\2+y^\2=a^\2}}(160,80)C(320,80)D(85,0)E(245,0)F}

Le point B décrit un cercle, tandis que le point A suit une éllipse.
L'équation cartésienne de la courbe décrite par le point A est:

4$y=\pm\sqrt{a^\2-(\frac{x}3)^\2}

Si on suppose que le système de losanges articulés ne permet qu'un déplacement du point D vers la droite
et que les points A et B (respectivement E et F) ne peuvent pas traverser l'axe des abscisses, l'équation est:

4$y=\sqrt{a^\2-(\frac{x}3)^\2}\qquad pour\,x\,\in\,[0,3a]\quad{-1$(et\,y\,\in\,[0,a])}

Merci pour l'énigme.

Posté par
Poldenys
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 09-08-08 à 11:02

gagnéEnigmo 5

  y=f(x)=\frac{1}{3}\sqrt{9a^2-x^2}=\frac{1}{3}\sqrt{(3a-x)(3a+x)}  avec D_f=[0;3a]  ( Quart d'ellipse )

Posté par
karatetiger
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 09-08-08 à 13:52

gagnéJe tente sans grande conviction de ma réponse il m'aurait fallu un logiciel de géométrie dynamique pour déjà visualiser la courbe donc je propose
y=(a²-x²/9) avec x qui varie dans [0,3a].

Voila

Posté par
Matouille2b
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 10-08-08 à 20:20

gagnéBonjour,

f(x)=racine(a^2-1/9*x^2)

Df=[0;3a]

Posté par
ugalite
enigme du tire bouchon 11-08-08 à 11:57

gagné  On considère x comme la distance du point A par rapport a l'axe des ordonnés, et y la distance du point A par rapport a l'axe des absysses.  On veut donc exprimer y en fonction de x.

  soit l'angle BOC=ACD.
on a:
cos = (x/3)/a = x/3a    et
sin = y/a

or sin²+cos²=1 quoiqu'il arrive...

donc (x/3a)²+(y/a)²=1
après quelque calculs on obtient  y=sqrt(a²-x²/9)

on a donc f(x)=sqrt(a²-x²/9)

pour le domaine de définition:
x peu prendre toutes les valeurs de 0 à 3a d'où le domaine de définition [0;3a]

Posté par
lo5707
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 11-08-08 à 18:30

perduBonjour,

Loin d'être sûr de ma réponse, mais je me lance...

Voici un schéma de la trajectoire:
Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon

C'est une courber de type y=\sqrt{x}
En 0, elle vaut a , et en 3a, elle vaut 0
Partons de la courbe y=\sqrt{x}.
Il faut qu'en 3a, elle valle a.
Il faut donc diviser par \sqrt{3a}
On a: y=\sqrt{\frac{x}{3a}}
Il faut lui faire subir une symétrie orthogonale d'axe oy => on change le signe de x.
y=\sqrt{\frac{-x}{3a}}
Ensuite, il faut lui faire subir une translation de 3a unités vers la droite.
Ce qui donne: y=\sqrt{\frac{-(x-3a)}{3a}}
y=\sqrt{\frac{-x+3a}{3a}}
\fbox{y=\sqrt{\frac{-x}{3a}+1}}


Merci pour cette énigme.

Posté par
lo5707
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 12-08-08 à 12:35

perduJe viens de me rendre compte que j'ai oublié l'ensemble de définition...
qui est [0,3a]

poisson?...

Posté par
PIL
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 12-08-08 à 23:48

gagnéBonsoir jamo,

Si A = (x,y) on voit que  B = (x/3,y) et donc que y = f(x) =(a2 - (x/3)2), ceci pour 0x3a.
La courbe est un quart d'ellipse.

Posté par
1emeu
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 13-08-08 à 17:16

gagnéBonjour,

la fonction est définie sur l'intervalle [0,3a] et l'équation est
f(x)=\sqrt{a^2-x^2/9}

Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par
eltrai
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 15-08-08 à 12:30

gagnéJe trouve cette application f :
\begin{array}
 \\ f & : & [-3a;3a] & \rightarrow & [0;a] & & \\
 \\ & & x & \mapsto & f(x) & = & a \cdot \sin(\arccos(\frac{x}{3a})) \\
 \\ \end{array}

sauf erreur ^^

Posté par
jugo
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 16-08-08 à 23:57

gagnéBonjour,

Si on utilise Pythagore avec les coordonnées x et y du point A, on obtient :
x2 + (3y)2 = (3a)2
x2+ 9y2 = 9a2
y2 = a2 - x2/9
y = √(a2 - x2/9)

Le domaine de définition :
-3a ≤ x ≤ 3a
(l'énoncé ne précise pas de quel côté on tire le point D, je suppose donc qu'on peut déplier le système vers la droite ou vers gauche)

Soit 1/2 d'ellipse si je ne m'abuse ...

Posté par
jeremoi
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 17-08-08 à 00:23

gagnéBonjour et merci pour l'énigme,

on peut remarquer sur la représentation (c'est la première fois que j'essaye de poster une image, si elle n'apparait pas, reportez-vous sur l'originale en haut de page) que la projection orthogonale de B (notée xB) est au tiers de la distance OxA (xA: projeté orthogonal de A) de longueur x.
On a alors Oxb=x/3 et par la relation de Pythagore:
a²=y²+(x/3)²
y=[a²-(x/3)²]
ou encore y=[(a+x/3)(a-x/3)]
Et l'ensemble de definition de ce truc est [-3a;3a].
Voilà
?

Posté par
marcv76
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 17-08-08 à 10:56

gagnéLe domaine de définition est [0,3a]
L'équation est :
y = \sqrt{a^2-(\frac{x}{3})^2

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 17-08-08 à 16:12

gagnéBonjour.

y=\sqrt{-\frac{x^2}{9}+a^2

Domaine : [0;3a]

Merci; Bien à vous.

Posté par
Tersaken
Tentative ... 17-08-08 à 22:20

gagnéA vrai dire, je ne suis pas entièrement sur de ma réponse ...
Cependant,
voici mon raisonnement.
Il est clair que le point A et B  ont la même hauteur selon l'étirement effectué.
On peut facilement calculer la hauteur de B selon x, il s'agit de a*arccos(x/a).
Si A est en x, B est situé en 3/x,
d'où la formule suivante

f(x) = a*sin( ArcCos( x / (3*a) ) )

où a est le paramètre.

L'ensemble de définition est [0,3a]

Merci pour l'énigme

Posté par
Tersaken
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 18-08-08 à 13:45

gagnéJe tiens a préciser également que la fonction est paire, donc définie sur [-3a,3a].
Cependant, je ne pense pas qu'on puisse déplier l'objet dans l'autre sens, d'où le [0,3a] ( on ne travaille qu'avec des positifs, enfin j'espère :-/ )

Posté par
evariste
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 19-08-08 à 21:48

gagnéy=((9a2-x2)1/2)/3
pour a compris entre 0 et 3a, bornes incluses

Posté par
Enrub
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 22-08-08 à 11:59

perduPour tout x appartenant à [0;3a]

f(x)=(a²-x²/3)1/2

Posté par
Kacs
Un quart d'ellipse 23-08-08 à 12:52

gagnéSi on note \alpha l'angle \widehat{(Ox, OB)}, alors on cherche le lieu du point A lorsque \alpha décrit [0, \frac\pi2].

On constate que A et B ont la même ordonnée (par symétrie par (Cy)) ; et que l'abscisse de A est le triple de celle de B (par des triangles semblables par exemple).

Or, les coordonnées de B sont (a \cos \alpha, a \sin \alpha). Donc celles de A sont (X, Y) = (3 a \cos \alpha, a \sin \alpha).

De là, \alpha = \arccos \left( \frac{X}{3 a} \right), et Y = a \sin \left( \arccos \left( \frac{X}{3 a} \right) \right) = a \sqrt{1 - \frac{X^2}{9 a^2}} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{X}3\right)^2) qui est donc l'équation recherchée.

C'est l'équation d'une ellipse.

Le domaine de définition est [0, 3 a], et la courbe dessinée est donc un quart d'ellipse.

Posté par
kiko21
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 25-08-08 à 11:36

gagnéBonjour,

L'équation cartésienne de cette courbe est : 5$ \magenta \fbox{y=\frac{\sqrt{9a^2-x^2}}{3}}
L'ensemble de définition de cette fonction f est [0;3a]

Merci et à+, KiKo21.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 25-08-08 à 12:24

Clôture de l'énigme

je vous donne l'adresse où on trouve l'activité qui m'a donné l'idée de cette énigme : (activité "le dessous de plats").

Dans cette activité, on utilise un logiciel pour faire une conjecture sur le lieu géométrique en question.
Le piège consiste à penser que c'est un morceau de parabole, alors que c'est un morceau d'ellipse.
L'étude théorique n'est pas trop difficile et permet de facilement trouver l'équation de la courbe.

Bizarrement, j'ai l'impression que certains ont eu plus de difficultés avec l'ensemble de définition de la fonction que de trouver l'expression de la fonction elle-même !

En fait, qu'appelle-t-on exactement un ensemble de définition ?

Je crois que la notion d'ensemble de définition a un peu changé avec le temps.

A une époque, dans l'enseignement des maths, on donnait l'expression d'une fonction puis on demandait son ensemble de définition : ce sont toutes les valeurs possibles pour la variable.

Mais aujourd'hui, c'est un peu différent : on donne une fonction et on donne un ensemble pour les valeurs que prend la variable, mais ce n'est pas forcément toutes les valeurs possibles.
Bref, aujourd'hui, définir une fonction, c'est donner une expression + un ensemble. Et en fonction de ce qu'on désire étudier, cet ensemble peut changer.

Tout ça pour dire qu'ici, étant donné le morceau de courbe que j'avais tracé, j'attendais plutôt comme réponse [0;3a]. Mais certains ont donné [-3a;3a] qui correspond à toutes les valeurs possibles pour la variable.
Mais étant donné cette définition un peu douteuse de l'ensemble de définition, j'ai accepté les deux réponses.

Bon, en tout cas, bravo à ceux qui ont trouvé, et moi je vais essayer de trouver une nouvelle énigme de ce genre !

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon * * 25-08-08 à 19:17

gagnébonjour Jamo
pour le domaine de définition, j'ai exclu les limites 0 et 3a en mettant les crochets dans l'autre sens

Posté par
geronimo 652
Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon 25-08-08 à 20:27

bonsoir,
je voulais savoir si c'était trouvable pour un niveau de fin de 1°S début T°S?

1 2 +


Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 110:37:31.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !