Enigmo 51 : La courbe du tire-bouchon

Posté par jamo jamo

Bonjour,

tout le monde a déjà croisé un de ces objets situés dans l'image ci-dessous : tire-bouchon, porte-manteaux, dessous-de-plat, ...
Le point commun de ces objets est qu'on y trouve des losanges articulés.

Le but de l'énigme est de me donner l'équation d'une courbe qu'on peut obtenir à l'aide d'un de ces objets.

Prenons un repère orthonormé et plaçons-y un tel système constitué de deux losanges articulés.
Le point O est fixe, et tous les points de la figure sont articulés.
Les barres [OB], [OE], [AD] et [DF] ont une longueur a, et les deux barres [AE] et [BF], de milieu commun C, ont une longueur 2a.

On suppose que les barres ont une épaisseur nulle, ce qui permet de plier et déplier entièrement tout le système.

Initialement, le système est complètement replié, avec les points C et D confondus avec O, A confondu avec B, et E confondu avec F. On déplie ensuite au maximum le système en tirant sur le point D, jusqu'à ce que tous les points soient alignés sur l'axe des abscisses (avec B confondu avec E, et A confondu avec F).

On s'intéresse au point A : celui-ci se déplace sur une courbe, dont j'ai donné une représentation sur le dessin (attention, la courbe que j'ai tracée est volontairement fausse).

Question : donnez-moi l'équation cartésienne de cette courbe sous la forme y=f(x) avec a comme seul paramètre.
Je veux aussi l'ensemble de définition de cette fonction f, mais cela ne devrait pas être trop difficile.

Bonne recherche !

Posté par kioups kioups

La fonction f est définie sur [0;3a] et est définie par

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Le lieu du point A est donc la fonction

sur
, _{bien qu'on puisse calculer f(x) sur [-3a, 3a].}

Posté par ExChoun ExChoun

L'équation est
Domaine de définition suivant x : [0;3a]

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour  


L'ensemble de définition, tout d'abord :
- lorsque la structure est repliée au maximum, les coordonnées du point A sont (0 ; a) ;
- lorsque la structure est étirée au maximum, les coordonnées du point A sont (3a ; 0).
L'ensemble de définition de la fonction à trouver est donc  [0 ; 3a].

On pose l'angle formé par le segment OB avec l'axe des abscisses. en notant    et    les coordonnées du point A, on a :

     soit    

     soit    

Sachant que     cos² + sin² = 1     on obtient donc :








Soit    


Vérification :
si = 0,  on a bien   = a
si = 3a, on a bien   = 0

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

L'ensemble de définition de la fonction f est l'intervalle [0, 3a].

Le point B décrit un quart de cercle d'équation x²+y² = a², avec x dans [0, a].

Le point A décrit un quart d'ellipse dont les abscisses successives sont le triple de celles de B, et dont les ordonnées sont celles de B.

D'où, pour A: (x/3)²+y² = a². Donc  


_{Sauf erreur(s) ou précipitation (coutumière de ma part)}

A+,
gloubi

Posté par infophile infophile

Bonjour

J'ai la flemme de mettre ma démo, mais rapidement :

On considère le cercle de centre C (d'abscisse c) et de rayon a donc d'équation (x-c)²+y²=a² et la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le milieu de [CD] d'abscisse c+c/2 = 3c/2, l'intersection du cercle et de cette droite donne l'ordonnée du point A (qui a  pour abscisse 3c/2) : y² = a² - (3c/2-c)² = a² - c²/4 = a² - (3c/2)²/9.

Donc l'équation est qui est définie sur (car on considère que le tire-bouchon s'étire de gauche à droite). Sinon par parité la fonction est définie sur [-3a,3a].

Comme la fonction est relativement simple, on peut calculer l'aire sous la courbe, le volume du solide de révolution engendré par une rotation autour de l'axe des abscisses...etc

Merci pour l'énigme

Posté par davidh davidh

Bonjour,

Si représente l'angle entre CA et l'axe des abscisses, le point A est à l'abscisse 3.a.cos().
Son ordonnée est a.sin().
L'angle est compris entre 0 et , car le losange articulé ne peut mécaniquement se déplier que d'un seul coté !

Je propose donc pour équation y=a.sin(Arccos()), avec x positif.
Cela s'écrit de manière plus sympathique

ou encore


L'ensemble de définition est bien entendu [0 ; 3.a]

Posté par Eric1 Eric1

y=f(x)=a*sin(arccos(x/3a))

d'après l'énoncé, on ne peut tirer que dans un seul sens, donc l'ensemble de définitin est [0 ; 3a]

Posté par rogerd rogerd

En sortant à peine du yékénia... paf! ... une nouvelle énigmo!

Merci quand même, Jamo!

La courbe décrite par B est le quart de cercle
  , où décrit

A a la même ordonnée que B et une abscisse triple , donc décrit la courbe
  .

On reconnaît un quart d'ellipse.

En définissant f par , fonction dont l'ensemble de définition est , cette courbe est donc le graphe de la restriction de f à

Posté par TiT126 TiT126

salut Jamo,

Encore une belle énigme d'équation de courbe

Tout d'abord le point A varie de zéro jusqu'à 3a, le domaine de définition est donc [0;3a].

Soit J le milieu de [OC] et I celui de [CD].
Les propriétés des losanges nous donne OJ=JC=CI=ID
Comme OJ = x_B, on conclut :

De plus B appartient au cercle de centre O et de rayon a, donc :

(1) et (2) donnent car y_A=y_B

Soit




On conclut que le point A suit la courbe d'équation

La petite image :

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
f(x) (a² - x²/9)
A a la même coordonnée que B
le domaine de définition de f(x) est ]0; 3a[

Posté par yoyodada yoyodada

tiens, tiens... bonjour jamo.
Cette énigme me fait penser à un TP de terminale, sur un dessous de table.
Bon tant pis voici ma réponse:

quand on tire sur le point D, celui-ci se déplace suivant l'axe (O,i) tel que
OD = 4t * u  , t réel appartenant à [0;a]
pour un écartement de 4t, CD = 2t , et donc FA = 2*racine(a²-t²)

on peut donc noter le vecteur OA = OC + CA = 3/4*OD + FA/2
donc OA = 3t*u + racine(a²-t²)*v
donc les coordonnées paramétriques de A sont (3t;racine(a²-t²)), pour t appartenant à [0;a].
En exprimant y en fonction de x, on trouve:

f(x) = y = racine(a² - x²/9).

Donc l'ensemble de définition est [0;3a].
Voilà j'ai trouvé 2 autres méthodes aussi, et il me semble ne pas avoir fait d'erreurs. Merci pour l'énigme !

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

pour l'équation de la courbe cela n'a rien de difficile, mais la suite...

En notant B(b;y) les coordonnées de B, comme B appartient au cercle centré à l'origine passant par B, on a b²+y²=a².
Ensuite, A(x;y) possède la même ordonnée que B et une abscisse triple (i.e. b=x/3) il vérifie l'équation de l'ellipse x²/9+y²=a².
On en déduit alors y=f(x)=.
(j'ai écarté le cas en supposant que le système ne peut subir de rotation autour de (Ox))

Pour ce qui est du domaine de définition, l'énoncé me semble assez flou sur ce point: a priori, même avec O fixe et C,D rivés à l'axe des abscisses (5ème paragraphe), sans savoir si l'axe (Oy) représente un mur, rien n'interdit au système d'être déplié dans la partie négative des abscisses, non ?

Bon, j'imagine que la réponse attendue est [0,3a] (avec des images dans [0,a]), mais [-3a;3a] devrait également convenir... bizarre cet ajout !

Merci pour l'énigme, une fois encore bien emballée !

PS: Admirablement bien trouvé le dessous de plat avec des poissons !

Posté par veleda veleda

bonsoir Jamo,
OB=a donc quand le tire bouchon passe de la position où il est plié avec B sur OY à la position où il est complétement déplié avec B sur OX le point B décrit le 1/4 de cercle de centre O ,de rayon a situé dans le 1/4 de plan OX,OY  
y=(a²-x²) pour 0 xa
On voit facilement que l'on passe du point B au point A par l'affinité orthogonale d'axe OY et de rapport 3=>A décrit le 1/4 d'une ellipse  de cercle  secondaire x²+y²=a² et de cercle principal x²+y²=(3a)²
A décrit la courbe d'équation y=f(x)=(a²-(x²/9))  f étant définie sur[0;3a]

merci pour cette énigme ,je n'avais jamais réfléchi aux trajectoires des points A et B
j'espère ne pas avoir fait d'erreur

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour et merci pour l'énigme.

ma réponse est:  

- 2 points à ajouter sur la figure
  BE coupe OD en H
  AF coupe OD en X

Les coordonnées de A sont: x = OX et y = BH

les quadrilatères OBCE et CADF sont des Losanges:
   4 côtés égaux OB = BC = CE = EO = a
                      et CA = AD = DF = FC = a
   en plus ils sont égaux entre eux
   leurs diagonales se coupent en leur milieu et à angles droits:
                      OH = HC = CX = XD
  
on remarque que OX = OH + HC + CX

dans le triangle OHB:
   OH² + BH² = OB²

que dire de plus:
   - le point B se déplace sur un quart de cercle de rayon a
   - la courbe en rouge sur la figure est fausse:
     lorsque x varie de 0 à 3a, y est continue et strictement décroissante de a à 0
     je dirais que c'est une demi parabole couchée ???

Posté par ITMETIC ITMETIC

Par des considérations géométriques on obtient x_A=3x_B et  y_A=y_B

Or le point B décrit un cercle de centre O et de longueur a, on a donc x_B²+y_B²=a²

On obtient ainsi x_A²/9+y_A²=a² équation d'une ellipse

Le point A décrit ainsi la courbe d'équation cartésienne f(x)=(a²-x²/9) (partie supérieure de l'ellipse précédemment définie, car pour x_A=0 on a y_A=a).

Et ce pour x tel que a²-x²/9>0 soit x²<9a² et 0<x<3a. (on considère x toujours positif, quoique rien dans l'énoncé n'interdise de tirer D vers la gauche auquel cas on aurait -3a<x<0)

Posté par Judeau Judeau

Bonjour,

L'équation de la courbe définissant la trajectoire du point A est

Elle est définie sur l'intervalle

Merci pour l'énigme

Posté par bof bof

Pour ma part, j'ai trouvé l'équation suivante :
Sur l'ensemble de définition :


Il se trouve que la courbe monte au début, et j'ai pensé que c'était du au fait qu'on considère qu'il n'y a pas d'épaisseur...ma foi...!

Posté par jver jver

Les coordonnées de A sont (3a cos(t), a sin(t))
L'équation en cartésienne de cette ellipse sont:
X^2+9 y^2=9 a^2

Posté par piepalm piepalm

Il suffit de remarquer que l'abscisse de A est 3 fois celle de B, donc l'équation cherchée est y=racine(a^2-x^2/9) pour x compris entre 0 et 3: c'est un arc d'ellipse...

Posté par xtasx xtasx

Bonjour,

Je trouve comme équation de la courbe f(x)=sqrt(a²-x²/9)

Pour l'ensemble de définition, je trouve [0,3a] si on suppose (comme le laisse présumer l'énoncer) que le système ne peut pas se déplier pas dans les x négatifs; sinon c'est [-3a,3a].

Merci pour l'énigme !

Posté par torio torio

A+
torio

Posté par Tolokoban Tolokoban

En utilisant pythagore, on obtient :


D'où l'équation cartésienne recherchée :

Elle est définie sur [-3a ; 3a]

Posté par bapader bapader

Bonjour,

Je trouve .
L'ensemble de définition est ici l'intervalle [0;3a], mais la fonction f peut aussi être définie sur [-3a; 3a].

BA.

Posté par matovitch matovitch

Bonjour Jamo !

Sympa ! Et moi qui utilisais mon porte manteau sans réfléchir !
Voilà, on compose les mouvements 3 cosinus pour 1 sinus...tagadam !!



Merci, et vivement d'autres courbes ! Je suis nullissime en logique.

Posté par totti1000 totti1000

  

Posté par ThierryMasula ThierryMasula

Bonsoir jamo,



Le point B décrit un cercle, tandis que le point A suit une éllipse.
L'équation cartésienne de la courbe décrite par le point A est:



Si on suppose que le système de losanges articulés ne permet qu'un déplacement du point D vers la droite
et que les points A et B (respectivement E et F) ne peuvent pas traverser l'axe des abscisses, l'équation est:



Merci pour l'énigme.

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 5

    avec   ( Quart d'ellipse )

Posté par karatetiger karatetiger

Je tente sans grande conviction de ma réponse il m'aurait fallu un logiciel de géométrie dynamique pour déjà visualiser la courbe donc je propose
y=(a²-x²/9) avec x qui varie dans [0,3a].

Voila

Posté par Matouille2b Matouille2b

Bonjour,

f(x)=racine(a^2-1/9*x^2)

Df=[0;3a]

Posté par ugalite ugalite

  On considère x comme la distance du point A par rapport a l'axe des ordonnés, et y la distance du point A par rapport a l'axe des absysses.  On veut donc exprimer y en fonction de x.

  soit l'angle BOC=ACD.
on a:
cos = (x/3)/a = x/3a    et
sin = y/a

or sin²+cos²=1 quoiqu'il arrive...

donc (x/3a)²+(y/a)²=1
après quelque calculs on obtient  y=sqrt(a²-x²/9)

on a donc f(x)=sqrt(a²-x²/9)

pour le domaine de définition:
x peu prendre toutes les valeurs de 0 à 3a d'où le domaine de définition [0;3a]

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

Loin d'être sûr de ma réponse, mais je me lance...

Voici un schéma de la trajectoire:


C'est une courber de type
En 0, elle vaut a , et en 3a, elle vaut 0
Partons de la courbe .
Il faut qu'en 3a, elle valle a.
Il faut donc diviser par
On a:
Il faut lui faire subir une symétrie orthogonale d'axe oy => on change le signe de x.

Ensuite, il faut lui faire subir une translation de 3a unités vers la droite.
Ce qui donne:




Merci pour cette énigme.

Posté par lo5707 lo5707

Je viens de me rendre compte que j'ai oublié l'ensemble de définition...
qui est [0,3a]

poisson?...

Posté par PIL PIL

Bonsoir jamo,

Si A = (x,y) on voit que  B = (x/3,y) et donc que y = f(x) =(a² - (x/3)²), ceci pour 0x3a.
La courbe est un quart d'ellipse.

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

la fonction est définie sur l'intervalle [0,3a] et l'équation est


Merci pour l'énigme

1emeu

Posté par eltrai eltrai

Je trouve cette application f :


sauf erreur ^^

Posté par jugo jugo

Bonjour,

Si on utilise Pythagore avec les coordonnées x et y du point A, on obtient :
x² + (3y)² = (3a)²
x²+ 9y² = 9a²
y² = a² - x²/9
y = √(a² - x²/9)

Le domaine de définition :
-3a ≤ x ≤ 3a
(l'énoncé ne précise pas de quel côté on tire le point D, je suppose donc qu'on peut déplier le système vers la droite ou vers gauche)

Soit 1/2 d'ellipse si je ne m'abuse ...

Posté par jeremoi jeremoi

Bonjour et merci pour l'énigme,

on peut remarquer sur la représentation (c'est la première fois que j'essaye de poster une image, si elle n'apparait pas, reportez-vous sur l'originale en haut de page) que la projection orthogonale de B (notée xB) est au tiers de la distance OxA (xA: projeté orthogonal de A) de longueur x.
On a alors Oxb=x/3 et par la relation de Pythagore:
a²=y²+(x/3)²
y=[a²-(x/3)²]
ou encore y=[(a+x/3)(a-x/3)]
Et l'ensemble de definition de ce truc est [-3a;3a].
Voilà
?

Posté par marcv76 marcv76

Le domaine de définition est [0,3a]
L'équation est :

Posté par akub-bkub akub-bkub

Bonjour.



Domaine :

Merci; Bien à vous.

Posté par Tersaken Tersaken

A vrai dire, je ne suis pas entièrement sur de ma réponse ...
Cependant,
voici mon raisonnement.
Il est clair que le point A et B  ont la même hauteur selon l'étirement effectué.
On peut facilement calculer la hauteur de B selon x, il s'agit de a*arccos(x/a).
Si A est en x, B est situé en 3/x,
d'où la formule suivante

f(x) = a*sin( ArcCos( x / (3*a) ) )

où a est le paramètre.

L'ensemble de définition est [0,3a]

Merci pour l'énigme

Posté par Tersaken Tersaken

Je tiens a préciser également que la fonction est paire, donc définie sur [-3a,3a].
Cependant, je ne pense pas qu'on puisse déplier l'objet dans l'autre sens, d'où le [0,3a] ( on ne travaille qu'avec des positifs, enfin j'espère :-/ )

Posté par evariste evariste

y=((9a²-x²)^1/2)/3
pour a compris entre 0 et 3a, bornes incluses

Posté par Enrub Enrub

Pour tout x appartenant à [0;3a]

f(x)=(a²-x²/3)^1/2

Posté par Kacs Kacs

Si on note l'angle , alors on cherche le lieu du point A lorsque décrit .

On constate que A et B ont la même ordonnée (par symétrie par (Cy)) ; et que l'abscisse de A est le triple de celle de B (par des triangles semblables par exemple).

Or, les coordonnées de B sont . Donc celles de A sont .

De là, , et qui est donc l'équation recherchée.

C'est l'équation d'une ellipse.

Le domaine de définition est , et la courbe dessinée est donc un quart d'ellipse.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

L'équation cartésienne de cette courbe est :
L'ensemble de définition de cette fonction f est [0;3a]

Merci et à+, KiKo21.

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

je vous donne l'adresse où on trouve l'activité qui m'a donné l'idée de cette énigme : (activité "le dessous de plats").

Dans cette activité, on utilise un logiciel pour faire une conjecture sur le lieu géométrique en question.
Le piège consiste à penser que c'est un morceau de parabole, alors que c'est un morceau d'ellipse.
L'étude théorique n'est pas trop difficile et permet de facilement trouver l'équation de la courbe.

Bizarrement, j'ai l'impression que certains ont eu plus de difficultés avec l'ensemble de définition de la fonction que de trouver l'expression de la fonction elle-même !

En fait, qu'appelle-t-on exactement un ensemble de définition ?

Je crois que la notion d'ensemble de définition a un peu changé avec le temps.

A une époque, dans l'enseignement des maths, on donnait l'expression d'une fonction puis on demandait son ensemble de définition : ce sont toutes les valeurs possibles pour la variable.

Mais aujourd'hui, c'est un peu différent : on donne une fonction et on donne un ensemble pour les valeurs que prend la variable, mais ce n'est pas forcément toutes les valeurs possibles.
Bref, aujourd'hui, définir une fonction, c'est donner une expression + un ensemble. Et en fonction de ce qu'on désire étudier, cet ensemble peut changer.

Tout ça pour dire qu'ici, étant donné le morceau de courbe que j'avais tracé, j'attendais plutôt comme réponse [0;3a]. Mais certains ont donné [-3a;3a] qui correspond à toutes les valeurs possibles pour la variable.
Mais étant donné cette définition un peu douteuse de l'ensemble de définition, j'ai accepté les deux réponses.

Bon, en tout cas, bravo à ceux qui ont trouvé, et moi je vais essayer de trouver une nouvelle énigme de ce genre !

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Jamo
pour le domaine de définition, j'ai exclu les limites 0 et 3a en mettant les crochets dans l'autre sens

Posté par geronimo 652 geronimo 652

bonsoir,
je voulais savoir si c'était trouvable pour un niveau de fin de 1°S début T°S?